Chapter 2.1
प्रश्न 1.
निम्नलिखित कोणों के मुख्य मान ज्ञात कीजिए:
हल :
(i) sin-1(1)
sin-1की मुख्य मान शाखाहै।
माना
⇒ sin x = 1
(ii) cos-1
cos-1की मुख्य मान शाखा [0, π] है।
माना cos-1= x
(iii) sec-1(-√2)
sec-1का मुख्य मान शाखा [0, π] –है।
(iv) cosec-1(-1)
cosec-1की मुख्य मान शाखा– {0} है।
माना cosec-1(-1) = x
(v) cot-1
cot-1का मुख्य मान शाखा [0, π] है।
(vi) tan-1
tan-1की मुख्य मान शाखाहै।
प्रश्न 2.
हल :
LHS
इति सिद्धम्।
प्रश्न 3.
हल :
LHS
इति सिद्धम्।
प्रश्न 4.
हल :
LHS
इति सिद्धम्।
प्रश्न 5.
sec² (tan-12) + cosec² (cot-13) = 15
हल :
माना tan-12 = θ ⇒ tan θ = 2
∴ sec² θ = 1 + tan² θ
= 1 + (2)² = 1 + 4 = 5
∴ sec²(tan-12) = 5 …(i)
माना cot-13 = Φ
⇒ cot Φ = 3
∴ cosec² Φ = 1 + cot² Φ
= 1 + (3)² = 1 + 9 = 10
∴ cosec²(cot-13) = 10 …(ii)
(i) और (ii) को जोड़ने पर
sec²(tan-12) + cosec² (cot-13) = 5 + 10
sec² (tan-12) + cosec² (cot-13) = 15.
इति सिद्धम्
प्रश्न 6.
हल :
(i) 2 tan-1x = sin-1
माना tan-1x = θ
∴ x = tan θ
इति सिद्धम्।
प्रश्न 7.
हल :
LHS
= tan-1(0)
= tan-1(π)
= π
= RHS
इति सिद्धम्।
प्रश्न 8.
हल :
माना tan-1x = θ
x = tan θ
इति सिद्धम्।
प्रश्न 9.
यदि cos-1x + cos-1y + cos-1z = π, तो सिद्ध कीजिए कि x² + y² + x² + 2xyz = 1.
हल :
∵ cos-1x + cos-1y + cos-1z = π
⇒ cos-1x + cos-1y = π – cos-1z
⇒ cos-1[xy – √1 – x² √1 – y²] = cos-1(-z)
⇒ [∵ cos-1x + cos-1y = cos-1[xy – √1 – x² √1 – x²] तथा (cos-1(-x) = π – cos-1x)
⇒ xy – √1 – x² √1 – x² = (- z)
⇒ xy + z = √1 – x² √1 – x²
⇒ (xy + z)² = (1 – x²)(1 – y²)
⇒ x²y² + z² + 2xyz = 1 – y² – x² + x²y²
⇒ z² + 2xyz = 1 – y² – x²
⇒ x² + y² + z² + 2xyz = 1
इति सिद्धम्।
प्रश्न 10.
यदि sin-1+ x + sin-1y + sin-1z = π, तो सिद्ध कीजिए कि.
हल :
माना
sin-1x = A ∴ x = sin A
sin-1y = B ∴ y = sin B
sin-1z = C ∴ z = sin C
∴ sin-1x + sin-1y + sin-1z = π
A + B + C = π
⇒[2 sin (A + B) cos (A – B) + 2 sin C cos C]
⇒ sin (A + B) cos (A – B) + sin C cos C
⇒ sin (π – C) cos (A – B) + sin cos C
⇒ sin C cos (A – B) + sin C cos C
⇒ sin ( [cos (A – B) + cos {π – (A + B)}]
⇒ sin ( [cos (A – B) – cos (A + B)]
⇒ sin ( [2 sin A sin B]
[∵ cos C – cos D = 2sinsin]
= 2 sin A sin B sin C
= 2 xyz
= R.H.S.
इति सिद्धम्
प्रश्न 11.
यदि tan-1x + tan-1y + tan-1z =, तो सिद्ध कीजिए कि xy + yz + zx = 1.
हल :
प्रश्नानुसार
tan-1x + tan-1y + tan-1z =
⇒ 1 – xy – yz – zx = 0
⇒ xy + yz + zx = 1
इति सिद्धम्
प्रश्न 12.
यदि
तो सिद्ध कीजिए कि x + y + z = xyz.
हल :
माना x = tanA, y = tanB, z = tanC
⇒ x + y = -2(1 – xy) = -z + xyz
x + y + z = xyz.
इति सिद्धम्
प्रश्न 13.
यदि
तो सिद्ध कीजिए कि x + y + z = xyz.
हल :
प्रश्नानुसार
x + y + z – xyz = 0
x + y + z = xyz
इति सिद्धम्।।
प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए कि
tan-1x + cot-1(x + 1) = tan-1(x² + x + 1)
हल :
LHS
= tan-1x + cot-1(x + 1)
= tan-1(x² + x + 1)
= RHS
इति सिद्धम्।।
प्रश्न 15.
यदि tan-1x, tan-1y, tan-1z, समान्तर श्रेढ़ी में हो, तो सिद्ध कीजिए कि y² (x + z) + 2y(1 – xz) – x – z = 0
हल :
tan-1x, tan-1y, tan-1z, समान्तर श्रेढ़ी में हैं, अतः
⇒ (z + x) (1 – y²) = 2y (1 – zx)
⇒ z + x – y²(x + z) = 2y (1 – xz)
⇒ y²(x + 2) + 2y (1 – xz) – x – z = 0
इति सिद्धम्।।
प्रश्न 16.
यदि x3+ px2+ qx + p = 0 के मूल α, β, γ हो, तो सिद्ध कीजिए कि एक विशेष परिस्थिति के अलावा tan-1α + tan-1β + tan-1γ = nπ और वह विशेष स्थिति भी ज्ञात कीजिए जब ऐसा नहीं होता है।
हल :
दिया है :
α, β, γ समीकरण : x3+ px2+ qx + p = 0 के मूल हैं; अत:
= tan-1(0) [∵ α + β + γ = αβγ = -p]
= nπ
= RHS
प्रश्न 17.
हल :
प्रश्न 18.
हल :
प्रश्न 19.
हल :
⇒ x(3x² – 7x – 6) =0
⇒ x(3x² – 9x + 2x – 6) = 0
⇒ x[3x(x – 3) + 2(x – 3) = 0
⇒ x(x – 3)(3x + 2) = 0
⇒ x = 0, x = 3, x =
प्रश्न 20.
हल :
प्रश्न 21.
हल :
⇒ 2x – 1 = 2 + x
⇒ 2x – x = 2 + 1
⇒ x = 3
प्रश्न 22.
हल :
⇒ 3 + x = 3x – 1
⇒ 2x = 4
⇒ x = 2
प्रश्न 23.
sin 2 (cos-1{cot (2 tan-1x)} = 0
हल :
दी गई समीकरण है
sin 2 [cos-1{cot (2 tan-1x)}] = 0
⇒
⇒ (6x² – 1 – x4) (x4– 2x² + 1) = 0
⇒ 6x² – 1 – x4= 0 ….(1)
⇒ x4– 2x² + 1 = 0 …(2)
समीकरण (1) से,
⇒ 6x² – 1 – x4= 0
⇒ x4– 6x² + 1 = 0
⇒ x4– 2 x 3x² + (3)² – 8 = 0
⇒ (x² – 3)² = 8
⇒ x² – 3 = ± 2√2
⇒ x² = 3 ± 2√2
⇒ x² = 1 + 2 ± 2√2
⇒ x² = (1)² + (√2)² ± 2√2
⇒ x² = (1±√2)²
⇒ x = ± (1+√2)
समीकरण (2) से
⇒ x4– 2x² + 1 = 0
⇒ (x²)² – 2x² + (1)² = 0
⇒ (x² – 1)² = 0
⇒ x² = 1
⇒ x = ± 1
प्रश्न 24.
हल :
प्रश्न 25.
sin-1x – sin-1y =; cos-1x – cos-1y =
हल :
प्रश्नानुसार,
sin-1x – sin-1y =…(i)
cos-1x – cos-1y =….(ii)
प्रश्न 25.
sin-1x – sin-1y =; cos-1x – cos-1y =
हल :
प्रश्नानुसार,
sin-1x – sin-1y =…(i)
cos-1x – cos-1y =….(ii)
Chapter 2 विविध
प्रश्न 1.
tan-1(-1) का मुख्य मान है
(a) 45°
(b) 135°
(c) – 45°
(d) – 60°
हल :
∵ tan-1(-x) = – tan-1x
∴ tan-1(-1) = – tan-1(1)
माना tan-11 = θ
∴ tan θ = 1
tan θ = tan 45°
∴ θ = 45°
∴ tan-1(-1) = – 45°
अत: सही विकल्प (c) है।
प्रश्न 2.
2 tan-1(1/2) बराबर है
हल :
अत: सही विकल्प (a) है।
प्रश्न 3.
यदि tan-1(3/4) = θ, तो sin θ का मान है
हल :
प्रश्नानूसार,
अतः सही उत्तर का विकल्प (b) है।
प्रश्न 4.
cot [tan-1α + cot-1α] का मान है
(a) 1
(b) ∞
(c) 0
(d) इनमें से कोई नहीं
हल :
cos (tan-1α + cot-1α).
= cot(∵ tan-1x + cot-1x =)
= 0
अत: सही उत्तर का विकल्प (c) है।
प्रश्न 5.
यदितो का व्यापक मान है
हल :
दिया है,
अत: सही उत्तर का विकल्प (d) है।
प्रश्न 6.
2 tan (tan-1x + tan-1x³) का मान है
(a)
(b) 1 + x²
(c) 2x
(d) इनमें से कोई नहीं
हल :
अतः सही विकल्प (a) है।
प्रश्न 7.
यदि tan-1(3x) + tan-1(2x) =. तो x का मान
हल :
tan-1(3x) + tan-1(2x) =
⇒
⇒ 1 – 6x² = 5x
⇒ 6x² + 5x – 1 = 0
⇒ 6x² + 6x – x – 1 = 0
⇒ 6x(x + 1) – 1(x + 1) = 0
⇒ (x + 1) (6x – 1) = 0
⇒ x = – 1,x =
अतः सही विकल्प (a) है।
प्रश्न 8.
का मान है
हल :
अतः सही विकल्प (c) है।
प्रश्न 9.
यदि tan-1(1) + cos-1= sin-1x, तो x का मान है
(a) -1
(b) 0
(c) 1
(d)
हल :
अतः सही विकल्प (c) है।
प्रश्न 10.
यदि cot-1x + tan-1तो x का मान है
(a) 1
(b) 3
(c)
(d) इनमें से कोई नहीं
हल :
अत: सही विकल्प (c) है।
प्रश्न 11.
यदि 4 sin-1x + cos-1x = π, तो x का मान कीजिए।
हल :
4 sin-1x + cos-1x = π
प्रश्न 12.
का मान कीजिए।
हल :
प्रश्न 13.
यदि
तो x का मान कीजिए।
हल :
प्रश्न 14.
का मान कीजिए।
हल :
प्रश्न 15.
यदि
तो x का मान कीजिए।
हल :
प्रश्न 16.
सिद्ध कीजिए कि :
हल :
प्रश्न 17.
यदि tan-1x + tan-1y + tan-1z = π, तो सिद्ध कीजिए : x + y + z = xyz
हल :
tan-1x + tan-1y + tan-1z = π
x + y + z – xyz = 0 × (1 – xy – yz + xyz)
x + y + z – xyz = 0
अत: x + y + z = xyz
इति सिद्धम्।
प्रश्न 18.
सिद्ध कीजिए कि :
tan-1[tan 2A] + tan-1(cot A) + tan-1(cot A) = 0.
हल :
tan-1[tan 2A] + tan-1(cot A) + tan-1(cot A) = 0.
प्रश्न 19.
सिद्ध कीजिए कि :
tan-1x = 2 tan-1[cosec (tan-1x) – tan (cot-1x)]
हल :
माना tan-1θ
= tan-1x
= RHS
इति सिद्धम्।
प्रश्न 20.
यदिऔरतो सिद्ध कीजिए Φ – θ का मान 30° है।
हल :
tan (Φ – θ) = tan 30°
∴ Φ – θ = 30°
इति सिद्धम्।
प्रश्न 21.
सिद्ध कीजिए कि :
हल :
LHS
= 2 tan-1[tan (45° – α) tan β/2]