Category: Mathematics

RBSE Class 10 Maths Chapter 19 सड़क सुरक्षा शिक्षा
सड़क सुरक्षा शिक्षा

पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

प्रश्न 1.
A व B के मध्य की दूरी 150 कि.मी. है तथा इसके मध्य 10 यातायात सिग्नल मिलते हैं। यदि एक कार 60 कि.मी. प्रति घण्टा की समान गति से सभी हरे सिग्नलों को पार करते हुए वह B बिन्दु पर 2 घण्टे 30 मिनट पर पहुँच जाती है लेकिन अन्य दिन भारी यातायात के कारण अग्रानुसार रुकना पड़ता है
प्रथम यातायात सिग्नल 1 मिनट
द्वितीय यातायात सिग्नल 2 मिनट …… 10वें सिग्नल तक ….. 10 मिनट
उसी कार द्वारा लिए गये कुल समय की गणना कीजिए यदि वह सभी यातायात सिग्नलों की अनुपालना करती है (अन्य बाधाओं को छोड़कर) जबकि कार की गति 60 किमी. प्रति घण्टा है।
हल:
प्रश्नानुसार, कार द्वारा सिग्नलों पर रुकने में लिए गए कुल समयों को श्रेढ़ी रूप में लिखने पर हमें प्राप्त होता है’–
1, 2, 3, 4, …… 10
यहाँ पर a = 1, d = 2 – 1 = 1, पदों की संख्या n = 10
इसलिए सभी सिग्नलों पर रुकने में लिया गया कुल समय को S, से प्रदर्शित करें, तब

अतः कार द्वारा A से B तक पहुँचने में लिया कुल समय।
= 2 घण्टा 30 मिनट + 55 मिनट
= 3 घण्टा 25 मिनट
अतः कार अन्य दिनों में 3 घण्टा 25 मिनट में B बिन्दु पर पहुँचेगी

अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
प्रत्येक किलोमीटर के बाद का टैक्सी किराया जबकि प्रथम किलोमीटर के लिए किराया 10 रुपए है और प्रत्येक अतिरिक्त किलोमीटर के लिए किराया 6 रुपए है। उपरोक्त स्थिति समान्तर श्रेढ़ी है या नहीं?
हल:
माना कि टैक्सी का 7वें किलोमीटर का किराया 4, से व्यक्त किया जाता है अतः प्रश्नानुसार

अतः दी गई स्थिति समान्तर श्रेढ़ी के रूप की है।

प्रश्न 2.
यातायात संकेतों में लाल बत्ती की कैसी ज्यामिति आकृति होती है? (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2017-18)
उत्तर:
अष्टभुज

लघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि आप पहली, दूसरी, तीसरी व चौथी सिग्नल लाइट को क्रमशः 3, 9, 15, 21 सेकण्ड में पार करते हों तो 69 सेकण्ड में कौनसी सिग्नल लाइट पार कर चुके होंगे?
हल:
सिग्नल लाइट को पार करने में लगे समय को श्रेढ़ी में लें तो इस प्रकार है
3, 9, 15, 21, ….
a = 3, a = 9 – 3 = 6
माना 69 सेकण्ड में n वीं सिग्नल लाइट पार करते हों तो

अतः 69 सेकण्ड में 12 वीं सिग्नल लाइट पार कर चुके होंगे।

प्रश्न 2.
यदि एक टैक्सी का किराया प्रथम किलोमीटर के लिए 12 रुपए है और इसके बाद आने वाले प्रति किलोमीटर के लिए यह किराया 9 रुपए हो तो 15 किमी. चलने के लिए आपको क्या किराया चुकाना पड़ेगा?
हल:
प्रश्नानुसार दिया है–

अतः 15 किमी. के लिए 138 रुपए चुकाने पड़ेंगे।

प्रश्न 3.
एक रोड स्टोन से 35वाँ सिग्नल कितनी दूर लगा है जबकि 11वाँ सिग्नल 390 मीटर तथा 16वाँ सिग्नल 740 मीटर पर लगा है।
हल:
प्रश्नानुसार

समीकरण (1) में d वें का मन रखने पर

इसलिए 35 सिगनल की दुरी

अतः 35वाँ सिंग्नल स्टोन से 2070 मीटर दूर लगा है।

प्रश्न 4.
एक मोटर कार A स्थान से B स्थान तक 175 किमी. दूरी 70 किमी./घण्टा समान गति से सभी 10 हरे यातायात सिग्नलों को पार करती है। भारी यातायात के कारण यह प्रथम सिग्नल पर एक मिनट, दूसरे सिग्नल पर 3 मिनट, तीसरे सिग्नल पर 5 मिनट एवं इसी प्रकार दसवें सिग्नल पर 19 मिनट रुकती है। स्थान B तक पहुँचने में इसे कुल कितना समय लगेगा? उपयुक्त गणितीय विधि से हल कीजिए।
हल:
मोटर कार A स्थान से B स्थान तक बिना रुके जाने का समय

अर्थात्: 2 घण्टे 30 मिनट
प्रश्नानुसार, मोटरकार द्वारा सिग्नलों पर रुकने में लिये गये कुल समयों को श्रेणी के रूप में लिखते हैं तब
1, 3, 5, ……………. 19
a = 1, d = 3 – 1 = 2, n = 10
∵ सिग्नलों की संख्या = 10 है।
इसलिए सिग्नलों पर रुकने में लिया गया कुल समय

अतः मोटरकार द्वारा A से B तक पहुँचने में लिया गया कुल समय
= 2 घण्टा 30 मिनट + 100 मिनट
= 4 घण्टा 10 मिनट
भारी यातायात होने के कारण मोटरकार द्वारा A से B तक पहुँचने में लिया गया कुल समय = 4 घण्टा 10 मिनट उत्तर

प्रश्न 5.
दो कार एक ही दिशा में एक स्थान से चलना प्रारम्भ करती हैं। पहली कार 100 किमी./घण्टा की समान चाल से चलती है। दूसरी कार पहले घण्टे में 8 किमी./घण्टा की चाल से चलना प्रारम्भ करती है तथा उसकी चाल प्रति घण्टा 0.5 किमी. बढ़ जाती है। यदि दोनों कारें बिना रूकावट चलें तो दूसरी कार पहली कार को कितने घण्टे में पार कर देगी?
हल:
माना, दूसरी कार, पहली को t घण्टों में पार कर देगी, दोनों कार t घण्टे में समान दूरी को तय करेंगी घण्टे में पहली कार द्वारा चली गई दूरी = 10t किमी. तथा t घण्टे में दूसरी कार द्वारा चली गई दूरी

जब दूसरी कार पहली कार को पार करती है तो
अतः दूसरी कार 9 घण्टे में पहली कार को पार कर देगी।

आँकड़ों का संकलन

पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

प्रश्न 1.
दिये गये आलेख प्रमुख वातावरणीय प्रदूषकों की सान्द्रता को प्रदर्शित करता है। किस वर्ष में प्रमुख प्रदूषक की कमी को देखा गया। इसके लिए आप किसे श्रेय देते हैं ?

उत्तर:
प्रमुख प्रदूषक (CO), वर्ष 2003 में सबसे कम देखा गया। इसका श्रेय हम सरकार को देते हैं। साथ ही जनता को भी इसका श्रेय दिया जा सकता है। सरकार ने प्रदूषक के खिलाफ पी.यू.सी. जारी करना, इसकी आवश्यकता अनैच्छिक करना व पी.यू.सी. ने रखने पर कानूनी कार्यवाही के दौरान सजा या दण्ड का प्रावधान किया तथा जनता ने भी यथासम्भव इसका पालन किया। साथ ही सरकार ने इसके लिए L.P.G. (Liquified Petrolium Gas) तथा C.N.G. (Compressed Natural Gas) को पेट्रोल के स्थान पर प्रयोग करने की योजना शुरू की.व पूरी की।

अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
PU.C. का पूरा नाम लिखें।
उत्तर:
प्रदूषण नियंत्रित प्रमाण-पत्र (Pollution Under Control Certificate)।

प्रश्न 2.
क्या P.U.C. सभी वाहनों के लिए आवश्यक है?
उत्तर:
जी हाँ, PU.C. प्रत्येक वाहन के लिए आवश्यक है।

प्रश्न 3.
PU.C. को बढ़ावा देने के लिये क्या कदम उठाये गये हैं?
उत्तर:
इसे बढ़ावा देने के लिये सरकार ने L.P.G. (Liquified Petrolium Gas) तथा C.N.G. (Compressed Natural Gas) को पैट्रोल के स्थान पर प्रयोग करने की योजना शुरू की गयी है और वह पूरी की गयी।

प्रश्न 4.
सभी वाहनों को PU.C. क्यों दिया जाता है?
उत्तर:
यह एक प्रमाण-पत्र है जो यह बताता है कि वाहन द्वारा किया जाने वाला प्रदूषण किस स्तर का है। यदि यह मानक स्तर से अधिक होता है तो वाहन मालिक के विरुद्ध कानूनी कार्यवाही की जाती है।

प्रश्न 5.
आँकड़ों का अध्ययन क्यों आवश्यक है?
उत्तर:
आँकड़ों के अध्ययन से सम्बन्धित कारकों की भविष्यवाणी अधिक यथार्थता के साथ की जा सके।

लघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
नीचे दिये गये ग्राफ में दो प्रकार के वाहनों A व B के छः वर्षों के प्रदूषण का आँकड़ा दिया गया है। A घरेलु वाहनों तथा B व्यावसायिक वाहनों को दर्शाता है, तो ग्राफ का अध्ययन कर आगे दिये गये प्रश्नों को उत्तर दीजिए।

(i) यदि B का वर्ष 2010 तथा 2011 में कुल प्रदूषण 2.4 इकाई हो तो वर्ष 2008 व 2009 में प्रदूषण कितना मापा गया?
(ii) A का प्रदूषण किन-किन वर्षों में B के प्रदूषण से कम रहा है?
(iii) दिये गये वर्षों में से कितने वर्षों में B का प्रदूषण A के प्रदूषण से कम रहा है?
(iv) दिये गये वर्षों में B का औसत प्रदूषण कितना है?
हल:
(i) B का वर्ष 2008 एवं 2009 में कुल प्रदूषण
$=1.00+\frac{0.2}{4}$
= 1.00 + 0.05 = लगभग 1.05
(ii) A का प्रदूषण B के प्रदूषण से वर्ष 2008 और वर्ष 2012 में कम रहा है।
(iii) B का प्रदूषण A के प्रदूषण से वर्ष 2009 तथा वर्ष 2011 में कम रहा है।
(iv) B का औसत प्रदूषण

प्रश्न 2.
चित्र में दिया गया वृत्त चार्ट मई-जून 2013 के दौरान वाहनों का केन्द्रीय सरकार द्वारा चलाये गये अभियान में कटे हुए चालानों की संख्या को डिग्री (°) में दर्शाता है। इसे ध्यानपूर्वक पढ़िये व निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए
(i) यदि कुल वाहन 72 लाख हैं तो मध्य प्रदेश में कटे चालानों की संख्या राजस्थान के कटे चालानों की संख्या से कितना अधिक है?
(ii) हरियाणा में कटे चालानों की संख्या ज्ञात करो।

हल:
(i) मध्यप्रदेश में राजस्थान में कटे चालानों से अधिक चालान डिग्री में

(ii) हरियाणा में कटे चालानों की संख्या = 72°

प्रश्न 3.
निम्न वृत्त-चित्र एक अभ्यार्थी द्वारा प्रदूषण जाँच अभियान के द्वारा विभिन्न वाहनों के विभाजन को दर्शाता है-इस चित्र को पढ़कर नीचे दिये गये प्रश्नों का उत्तर दीजिए–
यदि कुल प्रदूषण 720° इकाई है तो मोटर
(i) कारों द्वारा किये गये प्रदूषण की साईकिले, मात्रा बताओ।
(ii) स्कूल वाहनों की अपेक्षा ट्रकों के ट्रक द्वारा प्रदूषण कितना अधिक है?
(iii) कारों व बाइकों द्वारा प्रदूषण की मात्रा में अन्तर बताओ।

हल:
(i) कारों द्वारा किया गया प्रदूषण
$=\frac{720}{360^{\circ}} \times 110^{\circ}=220$   इकाई उत्तर
(ii) स्कूल वाहनों व ट्रकों के द्वारा किये गये प्रदूषण में अन्तर
$=105^{\circ}=\frac{720}{360^{\circ}} \times 105^{\circ}=210$   इकाई उत्तर
(iii) कारों व मोटर साईकिल द्वारा किये गये प्रदूषण में अन्तर :
$=70^{\circ}=\frac{720}{360^{\circ}} \times 70^{\circ}=140$   इकाई उत्तर

प्रश्न 4,
वाहनों के चालान काटे जाने के सम्भावित कारणों को लिखें।
उत्तर:
सम्भावित कारण
1. ओवरलोडिंग करना
2. वाहन नियत या निर्धारित गति से तेज चलाना
3. हेलमेट या सीट बेल्ट का उपयोग न करना
4. यातायात के नियम तोड़ना
5. कोई अपराधिक क्रियाविधि करना
6. ड्राइविंग लाइसेंस, R.C., PU.C, तथा Insurance में से कोई एक या सभी का वाहन तथा वाहन चालक के पास न होना
7. वाहन चलाते समय मोबाइल का उपयोग करना।
8. वाहनों पर अनौपचारिक रूप से लिखवाना या लाल-नीली लाइट लगवाना
9. पुलिस व एम्बुलेंस के हॉर्न के समान हॉर्न लगवाना
10. वाहन की नम्बर प्लेट पर नम्बर यातायात विभाग द्वारा निर्धारित मानक-प्रारूप के अनुसार न लिखवाना और एक तीव्र आवाज का हॉर्न लगा लेना।
त्रिकोणमिति का अनुप्रयोगhttps

पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

प्रश्न 1.
एक सीधे व 12 मीटर ऊँचे पोल के शीर्ष पर एक CCTV कैमरा लगाना है ताकि पोल के शीर्ष से 13 मीटर दूर दृष्टि रेखा के आगे भी यातायात देखा जा सके। इस स्थिति में|
1. पोल के पाद (Feet) से वह दूरी जिसके आगे से यातायात दिखाई देता है, क्या होगी?
2, पोल के चारों ओर अदर्शनीय वृत्त (Green Patch) का क्षेत्रफल कितना होगा?
3. क्या आप सोचते हैं कि CCTV कैमरा यातायात चेतना को प्रबंधन करने में उपयोगी है, यदि हाँ तो कैसे ?
हल:
(1) पाइथागोरस प्रमेय से

अतः पोल के पाद से 5 मीटर की दूरी के आगे का यातायात दिखाई देगा।
(2) पोल के चारों ओर अदर्शनीय वृत का क्षेत्रफल
= πR²
= 3.14 × (5)²
= 3.14 × 25
= 78.5 मीटर²
(3) CCTV कैमरा यातायात चेतना को प्रबंधन करने में उपयोगी है। इसके निम्न प्रकार से उपयोग हैं
- CCTV की सहायता से असामाजिक तत्वों का पीछा व पता आसानी से लगाया जा सकता है।
- यदि किसी रोड पर दुर्घटना हो गई है और वहाँ पर यातायात रुका हुआ है तो कैमरे में देखकर शीघ्रातिशीघ्र हटाया जा सकता है।
- यदि हम कैमरे की नजर में हैं तो हम चालान कटने के डर से यातायात के नियमों का उल्लंघन नहीं करेंगे।
- इसी डर के कारण वाहन को धीरे व बिना लापरवाही के चलायेंगे।
- इससे लाल बत्ती कूदने की घटनाओं पर भी अंकुश लगता है।
अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
एक चौराहे पर मध्य में एक AB ऊध्र्वाधर पोल गड़ा हुआ है और उस पर कैमरा लगा है, जिसका B भाग भूमि के सम्पर्क में है। कैमरे का फोकस बिन्दु भूमि पर बिन्दु C पर है जो कि B से 4 मीटर दूरी पर है, तो कैमरे व बिन्दु C के बीच क्षैतिज दूरी ज्ञात करो:जिसमें दिया है (∠ACB = 60°)
हल:
हम जानते हैं–

अतः कैमरे व बिन्दु C के बीच क्षैतिज दूरी = 8 मीटर है।

प्रश्न 2.
एक बस स्टैण्ड पर एक खम्भे के आधार से 40 मीटर दूरी पर स्थित प्लेटफार्म के एक बिन्दु से खम्भे की चोटी पर लगे हुए कैमरे का उन्नयन कोण 60° है तो खम्भे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
हम जानते हैं–

प्रश्न 3.
पुलिस की PCR वैन में सुरक्षा की दृष्टि से छोटी-छोटी बन्दूकें क्षैतिज के साथ 45° का कोण बनाते हुए लगाई गई हैं। यदि बन्दूक द्वारा छोड़ी गई गोली 195 मीटर जाती है तो गोली के अन्तिम स्थान की पृथ्वी तल से ऊँचाई की गणना कीजिए।
हल:
हम जानते हैं–

अतः गोली के अन्तिम स्थान की पृथ्वी तल से ऊँचाई 138 मीटर होगी।

प्रश्न 4.
यदि एक खम्भे के आधार से 20 मीटर दूर स्थित प्लेटफार्म के एक बिन्दु से खम्भे की चोटी पर लगे हुये कैमरे का उन्नयन कोण 60° है तो खम्भे की ऊँचाई ज्ञात कीजिये।(माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2018)
हल:
माना BC एक खम्भा है जिसकी ऊँचाई मीटर (माना) है।
खम्भे के आधार से 20 मीटर दूर स्थित प्लेटफार्म पर A एक बिन्दु है।

अतः खम्भे की ऊँचाई = 34.64 मीटर

लघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
समुद्र के किनारे सुरक्षा की दृष्टि से एक खम्भे पर एक CCTV कैमरा लगाया गया है। यदि इस कैमरे के द्वारा 1.5 मीटर लम्बा व्यक्ति 33.5 मीटर की दूरी पर स्पष्ट देखा जा सकता है जबकि कैमरा 35 मीटर की ऊँचाई पर लगा है, तो कैमरे का अवनमन. कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
$\tan \theta=\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{AB}}$

अतः कैमरे का अवनमन कोण = 45°

प्रश्न 2.
एक सीधे व 8 मीटर ऊँचे पोल पर यातायात नियन्त्रण के लिए CCTV कैमरा लगा है। जो पोल के शीर्ष से 17 मीटर दूर दृष्टि रेखा तक यातायात देख सकता है। पोल के चारों ओर यह कैमरा कितना क्षेत्रफल यातायात देख सकता है?
हल:
पोल के चारों ओर अदर्शनीय वृत्त का क्षेत्रफल

प्रश्न 3.
एक सीधे व 12 मीटर ऊँचे पोल के शीर्ष पर एक CCTV कैमरा लगा है ताकि पोल के शीर्ष से 13 मीटर दूर दृष्टि रेखा के आगे भी यातायात देखा जा सके। इस स्थिति में पोल के बाद से वह दूरी, जिसके आगे से यातायात दिखाई देता है, ज्ञात कीजिए। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2017-18)
हल:
दिया है–

अतः पोल के पाद से वह दूरी जिसके आगे से यातायात, दिखाई देगा। = 5 मीटर होगी।

प्रश्न 4.
एक 24 मीटर ऊँचे पोल पर यातायात नियन्त्रण के लिए CCTV कैमरा लगाया गया है ताकि यह पोल के शीर्ष से 25 मीटर दूर दृष्टि रेखा के आगे भी यातायात देख सकता है। पोल के चारों ओर अदर्शनीय वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2018)
हल:
पाइथागोरस प्रमेय से।

अतः पोल के पाद से 7 मीटर की दूरी के आगे का यातायात दिखाई देगा। पोल के चारों ओर अदर्शनीय वृत्त का क्षेत्रफल = ER
$=\frac{22}{7} \times 7 \times 7$
= 154 वर्ग मीटर

दो चर राशियों पर आधारित समस्याएँ

पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

प्रश्न 1.
एक कार 50 किमी./घण्टा की गति से चलती है। यदि रुकने की दूरी 40 मीटर तथा मन्दन की दर 4.4 मी./से². है तो पहुँचने का समय ज्ञात करो।
(i) क्या वाहन की गति के साथ रुकने की दूरी परिवर्तित होगी?
(ii) गीली फिसलन वाली सड़क पर यह कैसे परिवर्तित होगी?
हल:
कार की गति

अतः कार को लगभग 3 सेकण्ड में रोका जा सकता है।
(i) जी हाँ, वाहन की गति के साथ रुकने की दूरी परिवर्तित होगी। वाहन की तेज गति होने पर रुकने की दूरी बढ़ जायेगी जबकि गति कम होने पर रुकने की दूरी कम हो जायेगी।
(ii) गीली फिसलन वाली सड़क पर अवरोध दूरी बढ़ने से रुकने की दूरी बढ़ जायेगी।

प्रश्न 2.
निम्न सारणी के रिक्त स्थान भरो

हल:
कुल रुकने की दूरी = प्रतिक्रिया दूरी × पीछा करने की दूरी माना रिक्त स्थान की संख्या = x है।

अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
एक बस स्टैण्ड पर साधारण बसों की संख्या डीलक्स बसों की संख्या की तिगुनी है, यदि साधारण बसों की संख्या ४ है तो 5 वर्ष बाद डीलक्स बसों की संख्या लिखिए।
हल:
दिया गया है कि साधारण बसों की संख्या= x है।
तब डीलक्स बसों की संख्या $=\frac{1}{3} x$
5 वर्ष बाद डीलक्स बसों की संख्या $=\frac{1}{3} x+5$

प्रश्न 2.
दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म का निरूपण एवं हल प्रस्तुत करने की विधियाँ लिखिए।
हल:
(i) बीजीय विधि
(ii) ग्राफीय विधि।

प्रश्न 3.
एक बस में बस स्टैण्ड से स्थान A के लिए 3 टिकट और स्थान B के लिए 4 टिकट 67 रुपए में मिलते हैं, जबकि A के लिए 3 टिकट और B के लिए 5 टिकट 77 रुपए में मिलते हैं। तो बस स्टैण्ड से B तक का किराया निकालिये।।
हल:
माना A व B तक का किराया x व y रुपए है।
तब प्रश्नानुसार
3x + 4y = 67 ………..(1)
3x + 5y = 77 ………..(2)
समीकरण (2) में से (1) को घटाने पर।
y = 10
अतः बस स्टैण्ड से B तक का किराया 10 रुपए होगा।

प्रश्न 4.
‘रोक दृष्टि दूरी’ का समीकरण लिखिए। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2017-18)
हल:
रुकने की दूरी = प्रतिक्रिया दूरी + अवरोध दूरी

प्रश्न 5.
किसी नगर में टैक्सी का किराया पहले किलोमीटर का ₹ 5 और उसके बाद में ₹ 3 है। यदि तय की गई दूरी x किमी. और किराया ₹ y हो, तो इसे समीकरण रूप में व्यक्त कीजिये। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2018)
हल:
पहले किलोमीटर का किराया = ₹ 5
अगले किलोमीटर का किराया = ₹ 3
तय की गई दूरी = x किमी.
और कुल किराया = ₹ y
प्रश्नानुसार
y = 5 × 1 + 3(x – 1)
y = 5 + 3x – 3
y = 3x + 2
3x – y + 2 = 0

लघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
किसी नगर में टैक्सी का किराया पहले किलोमीटर का 9 रुपए, उसके बाद के लिए 6 रुपए है। यदि तय की गई दूरी x किमी. और किराया y रुपए है तो इसे समीकरण के रूप में व्यक्त कीजिए।
हल:
पहले किलोमीटर का किराया = 9 रुपए
अगले किलोमीटर के लिए किराया = 6 रुपए
कुल दूरी = x किमी.
और कुल किराया = y रुपए।
प्रश्नानुसार
y = 9 × 1 + 6(x – 1) y
= 9 + 6x – 6
y = 6x + 3
6x – y + 3 = 0

प्रश्न 2.
किसी स्थिर बल F को लगाकर 15 मी./से. के वेग से चलती कारं को 30 मीटर की दूरी में रोका जा सकता है। यदि कार का वेग 45 मी./से. हो, तो इस बल के द्वारा इसे कितनी दूरी में रोका जा सकता है?
हल:
माना इसे S₂ दूरी में रोका जा सकता है।
दिया है–
u₁ = 15 मी./से.
u₂ = 45 मी./से.
S₁ = 30 मीटर
S₂ = ?

प्रश्न 3.
A व B दो स्थान हैं जिनके बीच की दूरी 9 किमी. है। एक ही समय पर उन स्थानों से दो व्यक्ति एक-दूसरे की ओर दौड़ना शुरू करते हैं और वे 45 मिनट में एक-दूसरे से मिलते हैं। यदि वे एक ही दिशा में चलते हैं तो 3 घण्टों में मिलते हैं। उनकी चाल ज्ञात करो।
हल:
माना उनकी चाल क्रमशः x व y किमी./घण्टा है, तो

अत: उनकी साल 7 किमी./घणटा तथा 5 किमी./घणटा है।
24/01/2021
RBSE Class 10 Maths Chapter 18 प्रायिकता Additional Questions

अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न

वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
52 पत्तों की गड्डी में से एक पत्ता खींचा जाए तो उसके राजा या ईंट का पत्ता होने की प्रायिकता है|
(A)   $\frac{1}{26}$
(B)   $\frac{3}{26}$
(C)   $\frac{1}{13}$
(D)   $\frac{3}{13}$
उतर:
(C)   $\frac{1}{13}$

प्रश्न 2.
A, B, C तीन घटनाएँ हैं, जिनमें से एक अवश्य होती है। यदि A के होने की प्रायिकता 3/11, B के होने की प्रायिकता 2/7 हो तो C के होने की प्रायिकता होगी
(A)   $\frac{1}{77}$
(B)   $\frac{43}{77}$
(C)   $\frac{34}{77}$
(D) इनमें से कोई नहीं
उतर:
(C)   $\frac{34}{77}$

प्रश्न 3.
यदि PA), घटना A के होने की प्रायिकता को दर्शाता हो तो|
(A) P(A) < 0
(B) P(A) > 1
(C) 0 ≤ P(A) ≤ 1
(D) – 1 ≤ P(A) ≤ 1
उतर:
(C) 0 ≤ P(A) ≤ 1

प्रश्न 4.
एक पासे को फेंकने पर सम अंके आने की प्रायिकता होगी|
(A)   $\frac{1}{3}$
(B)   $\frac{2}{3}$
(C)   $\frac{1}{2}$
(D) इनमें से कोई नहीं
उतर:
(C)   $\frac{1}{2}$

प्रश्न 5.
एक पासे को फेंकने पर एक विषम अंक आने की प्रायिकता होगी|
(A)   $\frac{2}{3}$
(B)   $\frac{3}{4}$
(C)   $\frac{1}{4}$
(D)   $\frac{1}{2}$
उतर:
(D)   $\frac{1}{2}$

प्रश्न 6.
दो पासों को उछालने पर उनके अंकों का योग 7 या 11 आने की प्रायिकता
(A)   $\frac{1}{6}$
(B)   $\frac{1}{18}$
(C)   $\frac{2}{9}$
(D)   $\frac{23}{108}$
उतर:
(A)   $\frac{1}{6}$

प्रश्न 7.
ताश के 52 पत्तों में यादृच्छिक रूप से एक पत्ता चुने जाने पर उसके हुकुम का पत्ता होने की प्रायिकता है|
(A)   $\frac{1}{13}$
(B)   $\frac{1}{2}$
(C)   $\frac{3}{4}$
(D)   $\frac{1}{4}$
उतर:
(D)   $\frac{1}{4}$

प्रश्न 8.
एक पासे को उछालने पर अंक 7 आने की प्रायिकता होगी
(A) 0
(B) 1
(C)   $\frac{1}{2}$
(D)   $\frac{3}{4}$
उतर:
(A) 0

प्रश्न 9.
52 ताशों की एक गड्डी में से एक कार्ड निकाला जाता है। कार्ड का ईंट का … इक्का न होना घटना E है। E के अनुकूल परिणामों की संख्या है—
(A) 4
(B) 13
(C) 48
(D) 5
उतर:
(D) 5

प्रश्न 10.
एक थैले में कार्ड हैं जिन पर 2, 3, 4, ………., 11 संख्यायें अंकित हैं। थैले में से यादृच्छया एक कार्ड निकाला गया है। निकाले गये कार्ड पर एक अभाज्य संख्या होने की प्रायिकता है—
(A)   $\frac{1}{2}$
(B)   $\frac{2}{5}$
(C)   $\frac{3}{10}$
(D)   $\frac{5}{9}$
उतर:
(A)   $\frac{1}{2}$

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
एक पासे के उछाल में 3 से छोटा अंक आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
एक पासा फेंकने पर 1 से 6 तक कोई भी अंक आ सकता है। अतः कुल निश्शेष स्थितियाँ 6 होंगी। यहाँ पर घटना 3 से छोटा अंक आना है। स्पष्ट है। कि पासे की फेंक में 1 या 2 अंक आना है अर्थात् 2 अनुकूल स्थितियाँ होंगी।
∴ अभीष्ट प्रायिकता   $=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

प्रश्न 2.
दो पासों के एक फेंक में कम से कम एक पासे में 6 अंक आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
यहाँ पर निश्शेष स्थितियाँ 62 = 36 है। घटना कम से कम एक पासे में 6 अंक प्राप्त होना दी गई है। अतः अनुकूल स्थितियाँ हैं-(1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5) अर्थात् कुल अनुकूल स्थितियाँ 11 हैं।
∴ अभीष्ट प्रायिकता   $=\frac{11}{36}$

प्रश्न 3.
एक पासे के फेंकने पर सम अंक आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
अनुकूल स्थितियाँ (2, 4, 6) = 3
कुल स्थितियाँ = 6
∴ अभीष्ट प्रायिकता   $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$   उत्तर

प्रश्न 4.
किसी प्रयोग की सभी प्रारम्भिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग कितना होता है?
अथवा
किसी प्रयोग की सभी प्रारम्भिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग लिखिए।
उत्तर:
किसी प्रयोग की सभी प्रारम्भिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग 1 होता है। यह व्यापक रूप में भी सत्य है।

प्रश्न 5.
एक पासे की एक फेंक में अभाज्य संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2017-18)
हल:

प्रश्न 6.
एक थैले में 4 लाल और 6 काली गेंदें हैं। इसे थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। इसकी प्रायिकता क्या है कि गेंद काली हो?
हल:
थैले में कुल गेंद = 4 + 6 = 10
एक गेंद निकालने पर कुल सम्भावित परिणाम = 10
गेंद काली होने की घटना के अनुकूल परिणाम = 6

प्रश्न 7.
एक थैले में एक से लेकर दस अंक तक के दस टिकट हैं। थैले से यादृच्छयो एक टिकट निकाला जाता है। निकाले गये टिकट पर विषम अंक प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिये।
हल:
थैले में विषम अंकों के कुल टिकट होंगे = 1, 3, 5, 7, 9 अर्थात् = 5
कुल सम्भावित परिणाम = 10
अतः विषम अंक आने की प्रायिकता   $=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$

प्रश्न 8.
किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता 0.7 है तो उसे घटना के घटित नहीं होने की प्रायिकता क्या है?
हल:
घटना घटित होने की प्रायिकता P(E) = 0.7
इसलिये घटना घटित न होने की प्रायिकता
= 1 – P(E)
= 1 – 0.7 = 0.3 उत्तर

प्रश्न 9.
यदि P(E) = 0.05 है, तो ‘E नहीं’ की प्रायिकता क्या है?
हल:
हम जानते हैं

प्रश्न 10.
यदि एक पासा एक बार फेंका जाता है तो उसे छोटी संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिये।
हल:
पासा फेंकने पर कुल स्थितियाँ = 6
छोटी संख्या प्राप्त करने की अनुकूल स्थितियाँ = 1

प्रश्न 11.
अच्छी तरह फेंटी हुई ताश की गड्डी से एक पत्ता निकाला गया। इस पत्ते के बादशाह या हुकुम का पत्ता होने की प्रायिकता क्या होगी?
हल:
एक पत्ता 52 तरह का निकल सकता है।
अतः निश्शेष स्थितियाँ = 52
अनुकूल पत्तों की संख्या = 13 + 4 – 1 = 16 है।
∴ ताश की गड्डी में 13 पत्ते हुकुम के होते हैं और 4 बादशाह होते हैं। एक हुकुम का बादशाह 13 पत्तों में भी शामिल है, उसे एक बार ही लेना है।
प्रायिकता   $=\frac{16}{52}=\frac{4}{13}$   उत्तर

प्रश्न 12.
यदि किसी छात्र द्वारा एक प्रश्न को हल करने की प्रायिकता। है, तो छात्र द्वारा प्रश्न हल नहीं करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ प्रश्न हल करने की प्रायिकता   $=\frac{2}{3}$
∴ प्रश्न हल नहीं करने की प्रायिकता   $=1-\frac{2}{3}$
$=\frac{1}{3}$   उत्तर

प्रश्न 13.
अच्छी प्रकार से फेंटी गई 52 पत्तों की एक गड्डी में से एक पत्ता इक्का नहीं होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
गड्डी को अच्छी प्रकार से फेंटने से परिणामों का समप्रायिक होना सुनिश्चित हो जाता है।
माना कि घटना F एक इक्का नहीं है।
माना F के अनुकूल परिणामों की संख्या = 52 – 4 = 48
सभी संभव परिणामों की संख्या = 52
अत:   $P(F)=\frac{48}{52}=\frac{12}{13}$   उत्तर

प्रश्न 14.
एक सिक्के को एक बार उछाला जाता है। इसके पट नहीं आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
जब हम सिक्के को उछालते हैं तो केवल दो ही सम्भावनाएँ होती हैं। अर्थात् परिणाम चित या पट दो समप्रायिक हैं। इसलिए सिक्के के पट प्राप्त होने की प्रायिकता   $=\frac{1}{2}$
सिक्का पट प्राप्त न होने की प्रायिकता अर्थात् सिक्के के चित प्राप्त होने की प्रायिकता   $=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$   उत्तर

प्रश्न 15.
बारह टिकटों पर एक-एक संख्या 1 से 12 तक लिखी गई है। यदि उनमें से कोई एक टिकट का यादृच्छिक चयन किया जाये तो इस पर लिखी हुई संख्या के 2 या 3 के गुणज होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
1 से 12 तक अंकों में 2 या 3 के गुणज 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12 हैं। अतः समप्रायिक 12 स्थितियों में से 8 अनुकूल हैं।
∴ अभीष्ट प्रायिकता   $=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$

प्रश्न 16.
दो खिलाड़ी राम और श्याम शतरंज का एक मैच खेलते हैं। यह ज्ञात है कि राम द्वारा मैच जीतने की प्रायिकता   $\frac{4}{5}$   है। श्याम के जीतने की क्या प्रायिकता है?
हल:
मान लीजिए R और S क्रमशः राम के जीतने और श्याम के जीतने की घटनाएँ व्यक्त करते हैं।
राम के जीतने की प्रायिकता   $=\mathrm{P}(\mathrm{R})=\frac{4}{5}$
श्याम के जीतने की प्रायिकता   $=\mathrm{P}(\mathrm{S})=1-\mathrm{P}(\mathrm{R})=1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$

प्रश्न 17.
दो खिलाड़ी संगीता और रेशमा टेनिस का एक मैच खेलते हैं। यह ज्ञात है कि संगीता द्वारा मैच जीतने की प्रायिकता 0.62 है । रेशमा के जीतने की क्या प्रायिकता है?
हल:
माना कि S और R क्रमशः संगीता के जीतने और रेशमा के जीतने की घटनाएँ व्यक्त करते हैं।
संगीता के जीतने की प्रायिकता = P(S) = 0.62 (दिया है)
रेशमा के जीतने की प्रायिकता = P(R) = 1 – P(S)
[चूँकि घटनाएँ R और S पूरक हैं]
= 1 – 0.62 = 0.38 उत्तर

प्रश्न 18.
एक अच्छी प्रकार से फेंटी गई 52 पत्तों की ताश की गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। इसके इक्का होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिये ।
हल:
एक गड्डी में 4 इक्के होते हैं। माना घटना ‘E’ एक इक्का होना है। इसलिये E के अनुकूल परिणामों की संख्या = 4
होगी और सभी सम्भव परिणामों की संख्या = 52

प्रश्न 19.
एक पासे के एक बार फेंकने पर विषम अंक आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2018)
हल:

लघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं। इस थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। इसकी प्रायिकता क्या है कि गेंद काली नहीं है?
हल:
थैले में गेंदों की कुल संख्या = 3 लाल +5 काली = 8
थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकालने पर कुल सम्भावित परिणाम = 8
गेंद काली (B) होने की घटना के अनुकूल परिणाम = 5

अतः गेंद काली होने की प्रायिकता   $=\frac{5}{8}$
तब गेंद काली न होने की प्रायिकता = 1- गेंद काली होने की प्रायिकता
$=1-\frac{5}{8}=\frac{3}{8}$

प्रश्न 2.
52 ताशों की एक गड्डी को फेंट कर एक पत्ता खींचा जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए
(i) वह काला रंग का पत्ता है।
(ii) वह बादशाह का पत्ता है।
हल:
(i) कुल सम्भावित परिणाम = 52
तथा अनुकूल परिणाम = 26 (चूँकि गड्डी में काले पत्तों की संख्या = 26)
∴ गड्डी में से एक पत्ता निकालने पर काला पत्ता आने की प्रायिकता
$=\frac{26}{52}=\frac{1}{2}$   उत्तर

(ii) गड्डी में बादशाह की संख्या = 4
∴ अनुकूल परिणाम = 4
∴ बादशाह का पत्ता आने की प्रायिकता

प्रश्न 3.
किसी कारण 12 खराब पेन 132 अच्छे पेनों में मिल गये हैं। केवल देखकर यह नहीं बताया जा सकता है कि कोई पेन खराब है या अच्छा है। इस मिश्रण में से, एक पेन यादृच्छया निकाला जाता है। निकाले गये पेन के खराब होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिये।
हल:
खराब पेनों की संख्या = 12
अच्छे पेनों की संख्या = 132
पेनों की कुल संख्या = 12 + 132 = 144
खराब पेन प्राप्त करने की प्रायिकता

प्रश्न 4.
यह दिया हुआ है कि 3 विद्यार्थियों के एक समूह में से 2 विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन न होने की प्रायिकता 0.992 है। इसकी क्या प्रायिकता है कि इन 2 विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन हो?
हल:
दो विद्यार्थियों के एक ही दिन होने की घटना को E मान लीजिए।
∴ दो विद्यार्थियों के जन्म एक ही दिन न होने की घटना   $(\overline{\mathrm{E}})$   है।

∴ दो विद्यार्थियों का जन्म एक ही दिन होने की प्रायिकता 0.008 है।

प्रश्न 5.
एक पेटी में 30 डिस्क हैं, जिन पर 1 से 30 तक संख्याएँ अंकित हैं। यदि इस पेटी में से एक डिस्क यादृच्छया निकाली जाती है, तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस डिस्क पर अंकित होगी–
(i) दो अंकों की एक संख्या
(ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या।।
हल:
पेटी में रखी डिस्क पर 1 से 30 तक कुल 30 संख्याएँ हैं और 10 से 30 तक 21 संख्याएँ दो अंकों वाली हैं।
(i) दो अंकों वाली संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता   $=\frac{21}{30}$
∴ P (दो अंकों की एक संख्या)   $=\frac{21}{30}=\frac{7}{10}$   उत्तर

(ii) 1 से 30 तक आने वाली पूर्ण वर्ग संख्याएँ होंगी {1, 4, 9, 16, 25}
अर्थात् 1 से 30 तक आने वाली कुल पूर्ण वर्ग संख्याएँ 5 (पाँच) होंगी।
अतः 1 से 30 तक आने वाली पूर्ण वर्ग संख्याएँ प्राप्त करने की प्रायिकता
$=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}$

प्रश्न 6.
एक लीप वर्ष (Leap Year) का यादृच्छक चुनाव करने पर उसमें 53 रविवार आने की प्रायिकता बताइए।
हल:
एक लीप वर्ष में 366 दिन अर्थात् 52 सप्ताह और 2 दिन होते हैं
अतः प्रत्येक लीप वर्ष में 52 रविवार तो आवश्यक रूप से आते ही हैं। 53 रविवार आने की प्रायिकता हेतु शेष 2 दिनों में रविवार के आने की प्रायिकता ज्ञात करनी चाहिए।
सप्ताह के दो दिनों के आने की कुल निम्न सात सम्भावनाएँ निम्न प्रकार से हो सकती हैं–
(सोम, मंगल), (मंगल, बुध), (बुध, बृहस्पति), (बृहस्पति, शुक्र), (शुक्र, शनि), (शनि, रवि) और (रवि, सोम) रविवार आने की कुल अनुकूल स्थितियाँ = 2
निश्शेष स्थितियाँ = 7
∴ अभीष्ट प्रायिकता   $=\frac{2}{7}$

प्रश्न 7.
दो पासों को एक साथ फेंकने पर इस बात की क्या प्रायिकता है। कि उन पर न तो समान अंक आये और न ही अंकों का योग 9 आये।
हल:
यहाँ समस्त सम्भावित स्थितियाँ
{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2),
(2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4),
(3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
(5,1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2),
(6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
कुल नि:शेष स्थितियाँ = 36
समान अंक व 9 योग आने की स्थितियाँ
= {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4)}।
कुल प्रतिकूल स्थितियाँ = 10
अत: अनुकूल स्थितियाँ = 36 – 10 = 26
अभीष्ट प्रायिकता   $=\frac{26}{36}=\frac{13}{18}$   उत्तर

प्रश्न 8.
एक थैले में एक लाल गेंद, एक नीली गेंद और एक पीली गेंद है। तथा सभी गेंदें एक ही साइज की हैं। कृतिका बिना थैले के अन्दर झाँके, इसमें से एक गेंद निकालती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह गेंद।
(i) पीली होगी ?
(ii) लाल होगी ?
(iii) नीली होगी?
हल:
कृतिको थैले में से, उसमें बिना झाँके, गेंद निकालती है। अतः, उस द्वारा कोई भी गेंद निकालना समप्रायिक है।
माना कि ‘पीली गेंद निकालना’ घटना Y है, ‘लाल गेंद निकालना’ घटना R है तथा ‘नीली गेंद निकालना’ घटना B है।।
अब, सभी सम्भव परिणामों की संख्या = 3 है।
(i) घटना Y के अनुकूल परिणामों की संख्या = 1
अतः   $\mathrm{P}(\mathrm{Y})=\frac{1}{3}$
इसी प्रकार,   $P(R)=\frac{1}{3}$   और   $P(B)=\frac{1}{3}$   उत्तर

प्रश्न 9.
किसी अलीप वर्ष में 53 रविवार आने की प्रायिकता बताइए।
हल:
एक अलीप वर्ष में 365 दिन होते हैं अर्थात् एक अलीप वर्ष में   $\frac{365}{7}=52$   सप्ताह व 1 दिन होते हैं।
इससे यह अर्थ निकलता है कि 52 सप्ताह में 52 रविवार तो होंगे ही, अब 1 दिन जो बचा है वह निम्न में से एक हो सकता है
[रविवार, सोमवार, मंगलवार, बुधवार, गुरुवार, शुक्रवार, शनिवार]
अतः कुल नि:शेष स्थितियाँ = 7
रविवार के पक्ष में अनुकूल स्थिति = 1
अतः अभीष्ट प्रायिकता   $=\frac{1}{7}$   उत्तर

प्रश्न 10.
मान लीजिए हम एक पासे को एक बार फेंकते हैं।
(i) 4 से बड़ी संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता क्या है ?
(i) 4 से छोटी या उसके बराबर संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता क्या है?
हल:
(i) यहाँ माना कि ‘4 से बड़ी संख्या प्राप्त करना’ घटना E है। सभी सम्भव परिणाम छः हैं, ये 1, 2, 3, 4, 5 और 6 हैं। स्पष्टतः, घटना E के अनुकूल परिणाम 5 और 6 हैं। अतः E के अनुकूल परिणामों की संख्या 2 है। इसलिए ।
P(E) = P (4 से बड़ी संख्या)   $=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
(ii) माना कि ‘4 से छोटी या उसके बराबर संख्या प्राप्त करना’ घटना F है । सभी सम्भव परिणाम चार हैं जो कि इस प्रकार से हैं-1, 2, 3, 4
$P(F)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$   उत्तर

24/01/2021
RBSE Class 10 Maths Chapter 18 प्रायिकता Ex 18.1

प्रश्न 1.
एक पासे को फेंकने पर 4 से बड़ा अंक आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
एक पासे को फेंकने पर 6 तरह के अंक आ सकते हैं। अतः घटना की नि:शेष स्थितियाँ = 6, {1, 2, 3, 4, 5, 6}
4 से बड़े अंक = 5 व 6 जिनकी संख्या दो है।
अर्थात् घटना के अनुकूल स्थितियाँ = 2

प्रश्न 2.
एक सिक्के को दो बार उछाला जाता है। दोनों बार चित्त आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
एक सिक्के को दो बार उछालने के प्रयोग में सम्भव परिणामों की संख्या 4 है। चित्त (H) तथा पट (T)। तब सम्भव परिणाम = HH, HT, TH, TT
दोनों बार चित्त आने की घटना E है तब E के होने की कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 1

प्रश्न 3.
1 से 17 तक की प्राकृत संख्याओं में से एक संख्या का यादृच्छिक चयन किया जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह एक अभाज्य संख्या हो।
हल:
1 से 17 तक की प्राकृत संख्याओं की संख्या = 17
1 से 17 तक में अभाज्य संख्याएँ = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 1 से 17 तक में कुल अभाज्य संख्याएँ = 7
यदि 1 से 17 तक की प्राकृत संख्याओं में से एक संख्या का चयन करना है। तो सभी सम्भव परिणाम = 17 और अभाज्य संख्या होने के अनुकूल परिणाम = 7.
अभीष्ट प्रायिकता   $=\frac{7}{17}$   उत्तर

प्रश्न 4.
एक सिक्के के लगातार तीन उछालों में एकान्तरतः चित्त या पट आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
एक सिक्के को उछालने पर चित्त (H) व पट (T) से लिखते हैं। सिक्के के तीन उछालों में सम्भव परिणाम = HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT
इन सम्भव परिणामों की कुल संख्या = 8
एकान्तरतः चित्त या पट आने की स्थितियाँ = HTH, THT
अर्थात् अनुकूल स्थितियाँ = 2
अंतः यदि घटना E एकान्तरतः चित्त या पट आना है तब अभीष्ट प्रायिकता,

प्रश्न 5.
एक अलीप वर्ष में केवल 52 रविवार आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
एक अलीप वर्ष में 365 दिन अर्थात् 52 सप्ताह और 1 दिन होते हैं। अतः प्रत्येक अलीप वर्ष में 52 रविवार तो आवश्यक रूप से आते ही हैं। सप्ताह के शेष 1 दिन में कुल सात दिन आने की सम्भावनाएँ हैं–
सोमवार, मंगलवार, बुधवार, बृहस्पतिवार, शुक्रवार, शनिवार, रविवार अब इसमें अनुकूल स्थितियाँ जब केवल 52 रविवार ही अलीप वर्ष में हों तो शेष एक दिन में रविवार नहीं आना चाहिए। ऐसी स्थितियाँ 6 हैं।
अत: अभीष्ट प्रायिकता   $=\frac{6}{7}$   उत्तर

प्रश्न 6.
यदि P(A) = 0.65 है तो A नहीं की प्रायिकता क्या है?
हल:
P(A) = 0.65
P(A नहीं) =
$\begin{aligned}=\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}}) &=1-\mathrm{P}(\mathrm{A}) \\ &=1-0.65 \end{aligned}$
= 0.35 उत्तर

प्रश्न 7.
दों सिक्कों को एक बार उछालने पर अधिक से अधिक एक पट आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
सिक्के को उछालने पर चित्त (H) वे पट (T) से लिखते हैं। दो सिक्के उछालने पर कुल स्थितियाँ = 4
HH, HT, TH, TT
अधिक से अधिक एक पट का अर्थ है कि एक पट या एक से कम अर्थात् कोई पट नहीं = HH, HT, TH
अतः अनुकूल स्थितियाँ = 3
यदि अधिक से अधिक एक पट आने की घटना E है तो अभीष्ट प्रायिकता

प्रश्न 8.
एक पासे को दो बार उछाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है। कि संख्याओं का योग
(i) 9 है।
(ii) 13 है।
हल:
जब एक पासा ‘1’ दर्शाता है, तो दूसरे पासे पर संख्याओं 1, 2, 3, 4, 5, 6 में से कोई भी संख्या हो सकती है। यही तब भी होगा, जब एक पासे पर ‘2’, ‘3’, ‘4’, ‘5’ या ‘6’ होगा। इस प्रयोग के सम्भावित परिणामों को नीचे सारणी में दिया गया है। प्रत्येक क्रमित युग्म की पहली संख्या पहले पासे पर आने वाली संख्या है तथा दूसरी संख्या दूसरे पासे पर आने वाली संख्या है।

यहाँ पर युग्म (1, 4) युग्म (4, 1) से भिन्न है। इस कारण से सम्भावित परिणामों की संख्या = 6 x 6 = 36 है।
अतः, सम्भावित परिणामों की संख्या = 6 x 6 = 36 है।
(i) E द्वारा व्यक्त घटना ‘संख्याओं का योग 9 है’ के अनुकूल परिणाम (3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4) हैं।
अर्थात् E के अनुकूल परिणाम = 4
इसलिए
$P(E)=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$

(ii) जैसा कि आप आकृति से देख सकते हैं, घटना ‘संख्याओं का योग 13 है’ के अनुकूल कोई परिणाम नहीं है। अतः
$P(F)=\frac{0}{36}=0$   उत्तर

प्रश्न 9.
एक थैले में 5 लाल और 3 सफेद गेंदें हैं। इस थैले में से एक गेंद। यादृच्छया निकाली जाती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि गेंद
(i) सफेद हो?
(ii) सफेद नहीं हो?
हल:
थैले में गेंदों की कुल संख्या = 5 लाल + 3 सफेद = 8 थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकालने पर कुल सम्भावित परिणाम = 8
(i) गेंद सफेद होने की घटना के अनुकूल परिणाम = 3

$=\frac{3}{8}$   उत्तर
(ii) गेंद सफेद नहीं होने की प्रायिकता = 1 – गेंद सफेद होने की प्रायिकता :
$=1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$   उत्तर

प्रश्न 10.
किसी कारण 12 खराब पेन, 132 अच्छे पेनों में मिल गए हैं। केवल देखकर यह नहीं बताया जा सकता है कि कोई पेन खराब है या अच्छा है। यदि एक पेन यादृच्छया चुना जाता है तो इसके अच्छे होने की क्या प्रायिकता हैं?
हल:
समूह में बॉल पेनों की कुल संख्या = 132 + 12 = 144
खराब पेनों की संख्या = 12
अच्छे पेनों की संख्या = 132

प्रश्न 11.
52 पत्तों की अच्छी प्रकार से फेंटी गई एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए|
(i) लाल रंग का गुलाम
(ii) लाल रंग का पत्ता
(iii) पान का इक्का
(iv) ईंट की बेगम
(v) हुकुम का पत्ता।
हल:
पत्तों की कुल संख्या = 52
(i) लाल रंग के गुलाम पत्ते की संख्या = 2 अतः लाल रंग के गुलाम के पत्ते को प्राप्त करने की प्रायिकता
$=\frac{2}{52}=\frac{1}{26}$   उत्तर
(ii) लाल रंग के कुल पत्ते = 26
अतः लाल रंग के पत्ते को प्राप्त करने की प्रायिकता   $=\frac{26}{52}=\frac{1}{2}$ उत्तर
(iii) पान के इक्कों की संख्या = 1
अतः पान के इक्के को प्राप्त करने की प्रायिकता   $=\frac{1}{52}$   उत्तर
(iv) ईंट की बेगम की संख्या = 1
ईंट की बेगम प्राप्त करने की प्रायिकता   $=\frac{1}{52}$   उत्तर
(v) हुकुम के पत्तों की संख्या = 13
हुकुम का पत्ता प्राप्त करने की प्रायिकता   $=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}$   उत्तर

24/01/2021
विविध प्रश्नमाला 17
निम्न प्रश्नों के उत्तरों के चार संभावित विकल्प दिए हुए हैं। सही उत्तर वाले विकल्प का चुनाव कीजिए।

प्रश्न 1.
किसी श्रेणी का बहुलक मूल्य होता है
(क) मध्यवर्ती मूल्य
(ख) सर्वाधिक बारम्बारता वाला मूल्य
(ग) न्यूनतम बारम्बारता मूल्य
(घ) सीमान्त मूल्य
उत्तर:
(ख) सर्वाधिक बारम्बारता वाला मूल्य

प्रश्न 2.
निम्न श्रेणी का माध्यक मूल्य है 520, 20, 340, 190, 35, 800, 1210, 50, 80
(क) 1210
(ख) 520:
(ग) 190
(घ) 35
उत्तर:
(ग) 190

प्रश्न 3.
चार छात्रों के सांख्यिकी में प्राप्तांक 53, 75, 42, 70 हैं, उनके प्राप्तांकों का समान्तर माध्य है
(क) 42
(ख) 64
(ग) 60
(घ) 56
उत्तर:
(ग) 60

प्रश्न 4.
एक छात्र को गणित, भौतिक विज्ञान तथा रसायन विज्ञान में क्रमशः 85, 87 तथा 83 अंक मिले। उसके इन विषयों में प्राप्तांकों का माध्य है
(क) 86
(ख) 84
(ग) 85
(घ) 85.5
उत्तर:
(ग) 85

प्रश्न 5.
यदि 5, 7, 9, x का समान्तर माध्य 9 हो, तो x का मान है
(क) 11
(ख) 15
(ग) 18
(घ) 16
उत्तर:
(ख) 15

प्रश्न 6.
बंटन 2, 3, 4, 7, 5, 1 का माध्यक है
(क) 4
(ख) 7
(ग) 11
(घ) 3.5
उत्तर:
(घ) 3.5

प्रश्न 7.
बंटन 1, 3, 2, 5, 9 का माध्यक है
(क) 3
(ख) 4
(ग) 2
(घ) 20
उत्तर:
(क) 3

प्रश्न 8.
बंटन 3, 5, 7, 4, 2, 1, 4, 3, 4 का बहुलक है
(क) 7
(ख) 4
(ग) 3
(घ) 1
उत्तर:
(ख) 4

प्रश्न 9.
किसी स्कूल के छात्रों की संख्या उनकी आयु के अनुसार निम्न प्रकार है इनका बहुलक होगा

आयु वषों में 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
छात्रों की संख्या 15 25 40 36 41 37 20 13 5 3

(क) 41
(ख) 12
(ग) 3
(घ) 17
उत्तर:
(ख) 12

निम्न बंटनों को समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए-(प्रश्न 10 से 14)

प्रश्न 10.

X 5 6 7 8 9
f 4 8 14 11 3

हल:
समान्तर माध्य के लिये सारणी।

X f fx
5 4 20
6 8 48
7 14 98
8 11 88
9 3 27
∑f = 40 ∑fx = 281

समान्तर माध्य   $=\frac{\Sigma f x}{\Sigma f}=\frac{281}{40}=7.025$   उत्तर

प्रश्न 11.

प्राप्तांक 10 15 17 20 22 30 35
छात्रों की संख्या 5 10 2 8 3 6 6

हल:
समान्तर माध्य के लिये सारणी

X f fx
10 5 50
15 10 150
17 2 34
20 8 160
22 3 66
30 6 180
35 6 210
∑f = 40 ∑fx = 850

समान्तर माध्य
उत्तर

प्रश्न 12.

X 19 21 23 25 27 29 31
f 13 15 16 18 16 15 13

हल:
समान्तर माध्य के लिये सारणी

X f fx
19 13 247
21 15 315
23 16 368
2.5 18 450
27 16 432
29 15 435
31 13 403
∑f = 106 ∑fx = 2650

समान्तर माध्य
$=\frac{\Sigma f x}{\Sigma f}=\frac{2650}{106}=25$

प्रश्न 13.

X 1 2 3 4 5 6
f 45 25 19 8 2 1

हल:

X f fx
1 45 45
2 25 50
3 19 57
4 8 32
5 2 10
6 1 06
∑f = 100 ∑fx = 200

समान्तर माध्य   $=\frac{\Sigma f x}{\Sigma f}=\frac{200}{100}=2$   उत्तर

प्रश्न 14.
निम्न बारम्बारता बंटन से समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए

भार (किग्रा. में) 40-44 44-48 48-52 52-56 56-60 60-64
व्यक्तियों की संख्या 5 6 5 9 3 2

हल:
समान्तर माध्य की गणना के लिये सारणी माना A = 50, h = 4

भार (किग्रा. में) (f) मध्यमान (x) (f.x)
40-44 5 42 210
44-48 6 46 276
48-52 5 50 250
52-56 9 54 486
56-60 3 58 174
60-64 2 62 124
∑f = 30 ∑fx = 1520

समान्तर माध्य
किग्रा. (लगभग)
अतः अभीष्ट समान्तर माध्य = 50.67 उत्तर

निम्न बंटन का माध्यक ज्ञात कीजिए–(प्रश्न 15-16)

प्रश्न 15.

x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
f 30 60 20 40 10 50 35

हल:
बंटन को सारणी के रूप में लिखने पर

X f cf
0.1 30 30
0.2 60 90
0.3 20 110
0.4 40 150
0.5 10 160
0.6 50 210
0.7 35 245
∑f = 245

अब
$\begin{aligned} \frac{\mathrm{N}}{2} &=\frac{\Sigma \mathrm{f}}{2} \\ &=\frac{245}{2}=122.5 \end{aligned}$
यह माध्यक 150 संचयी आवृत्ति में होगा जिसका विचर 0.4 है।
अतः माध्यक M = 0.4 उत्तर

प्रश्न 16.

जूतों की नाप 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0
बारम्बारता 1 2 4 5 15 30 60 95 82 75

हल:
बंटन को सारणी के रूप में लिखने पर

X f संचयी बारम्बारता (cf)
4.5 1 1
5.0 2 3
5.5 4 7
6.0 5 12
6.5 15 27
7.0 30 57
7.5 60 117
8.0 95 212
8.5 82 294
9.0 75 369
∑f = 369

माध्यक   $\begin{array}{l}{=\frac{N}{2}} \\ {=\frac{369}{2}} \\ {=184.5}\end{array}$
184.5 184.5 संचयी बारम्बारता 212 के अन्तर्गत आती है जो कि विचर 8.0 में है।
अतः माध्यक = 8.0 उत्तर

प्रश्न 17.
क्रिकेट की एक टीम के खिलाड़ियों द्वारा बनाए गये रनों की संख्या निम्न प्रकार है–
57, 17, 26, 91, 115, 26, 83, 41, 57, 0, 26.
इसका समान्तर माध्य, माध्यक और बहुलक ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) समान्तर माध्य-समान्तर माध्य   $\overline{\mathrm{X}}=\frac{\Sigma \mathrm{x}}{\mathrm{n}}$

(ii) माध्यक के लिये-विचर की संख्याओं को आरोही क्रम में रखने पर 0, 17, 26, 26, 26, 41, 57, 57, 83, 91, 115
यहाँ n = 11
अतः माध्यक   $M=\frac{n+1}{2}$   वीं संख्या   $=\frac{11+1}{2}$   वीं संख्या = 6वीं संख्या
अतः माध्यक M = 41 रन उत्तर
(iii) बहुलक के लिये

विचार 0 17 26 41 57 83 91 115
गणन चिह | | | | | | | | | | |
बारम्बारता 1 1 3 1 2 1 1 1

यहाँ पर बारम्बारता 3 अधिकतम है। इसके संगत विचर को मान 26 है।
अतः बहुलक = 26 रन उत्तर

निम्न बारम्बारता बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए (प्रश्न 18-19)

प्रश्न 18.

वर्ग 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50
बारम्बारता 4 7 13 9 3

हल:
यहाँ बारम्बारता 13, वर्ग अन्तराल (20-30) की सबसे अधिक है।
अतः यह बहुलक वर्ग होगा।

प्रश्न 19.

वर्ग 0-20 20-40 40-60 60-80 80-100
बारम्बारता 3 15 24 8 5

हल:
बारम्बारेता 24 सबसे अधिक है अतः बहुलक वर्ग 40-60 होगा।
अतः l = 40, f_i = 24, f₀ = 15, f₂ = 8, h = 20

अतः अभीष्ट बहुलक = 47.2 उत्तर

प्रश्न 20.
समान्तर माध्य की परिभाषा देते हुए इसके किन्हीं दो दोषों को बताइए।
हल:
समान्तर माध्य-आँकड़ों में दिए गए चर के योगफल को मानों की संख्या से भाग देकर प्राप्त राशि समान्तर माध्य है। यह औसत भी कहलाती है। अर्थात्

दोष–
- कभी-कभी इसके मान के गणन में ऐसी राशि आ सकती है जो प्रकृति के अनुसार संभव नहीं हो, जैसे परिवार के सदस्यों की संख्या 8.8 या 15.6 होना।
- किसी भी एक मूल्य के नहीं होने पर गणना संभव नहीं है।
प्रश्न 21.
माध्यक की प्रमुख उपयोगिता बताइए।
हल:
माध्यक की उपयोगिता–
- यह गुणात्मक विशेषताओं के अध्ययन में श्रेष्ठ है।
- माध्यक ज्ञात करना सरल व सुविधाजनक है। कभी-कभी यह निरीक्षण मात्र से ज्ञात किया जा सकता है।
- इसकी गणना में संपूर्ण आंकड़ों की आवश्यकता नहीं होती है।
- माध्यक सदैव निश्चित एवं स्पष्ट होता है।
- इस पर चरम मानों का प्रभाव नहीं पड़ता, जबकि माध्य में अधिक प्रभाव पड़ता है।
प्रश्न 22.
वर्गीकृत बारम्बारता बंटन से माध्यक ज्ञात करने का सूत्र लिखिए।
हल:
माध्यक $(M)=l+\left(\frac{\frac{N}{2}-C}{f}\right) \times h$
- l = माध्यक वर्ग निम्न सीमा
- N = कुल बारम्बारता (Ef)
- C = माध्यक वर्ग से पूर्व की संचयी बारम्बारता
- h = माध्यक वर्ग का अन्तराल
- f = माध्यक वर्ग की बारम्बारता
24/01/2021
RBSE Class 10 Maths Chapter 17 केन्द्रीय प्रवृत्ति के माप Ex 17.8
प्रश्न 1.
निम्न बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए
(i) 2, 5, 7, 5, 3, 1, 5, 8, 7, 5.
(ii) 2, 4, 6, 2, 6, 6, 7, 8
(iii) 2.5, 2.5, 2,1, 2.5, 2.7, 2.8, 2.5
हल:

सारणी से स्पष्ट है कि सबसे अधिक बारम्बारता 4 चर के मान 5 की है। अतः बहुलक 5 है। उत्तर

यहाँ बहुलक 6 है। उत्तर

यहाँ बहुलक 2.5 है। उत्तर

प्रश्न 2.
निम्न बारम्बारता बंटनों का बहुलक ज्ञात कीजिए

(i)

X 3 4 5 6 7 8
f 2 4 6 3 2 1

(ii)

X 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
f 20 50 80 60 1.5 8

हल:
- सबसे अधिक बारम्बारता 6 विचर 5 की है अत: बहुलक 5 होगा। उत्तर
- सबसे अधिक बारम्बारता 80 विचर 1.3 की है अत: बहुलक 1.3 : होगा। उत्तर
प्रश्न 3.
एक गाँव के 30 परिवारों में उनके सदस्यों की संख्या निम्न सारणी के अनुसार है। इनका बहुलक ज्ञात कीजिए।

सदस्यों संख्या 2 3 4 5 6 7 8
परिवारों की संख्या 1 2 4 6 10 3 5

हल:
सबसे अधिक बारम्बारता 10 विचर 6 की है अतः बहुलक 6 होगा। उत्तर

प्रश्न 4.
एक कक्षा के 20 छात्रों की आयु वर्षों में निम्न प्रकार है–

15 16 13 14 14 13 15 14 13 13
14 12 15 14 16 13 14 14 13 15

इन्हें बारम्बारता बंटन में व्यक्त कर बहुलक ज्ञात कीजिए।
हल:
दिए हुए बंटन को बारम्बारता सारणी द्वारा व्यक्त किया जा सकता है–

सारणी से स्पष्ट है कि सर्वाधिक बारम्बारता 7, विचर के मान 14 की है। अतः बहुलक 14 है। उत्तर

प्रश्न 5.
कुछ विद्यार्थियों के प्राप्तांक नीचे दिए हुए हैं, प्राप्तांकों का बहुलक ज्ञात कीजिए

प्राप्तांक 10 20 30 40 50 60 70 80
विद्यार्थियों की संख्या 2 8 16 26 20 16 7 4

हल:
सबसे अधिक बारम्बारता 26 विचर 40 की है अतः बहुलक 40 होगी। उत्तर

निम्न बारम्बारता बंटन से बहुलक ज्ञात कीजिए-(प्रश्न 6-9)

प्रश्न 6.

वर्ग 10-15 15-20 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45
बारम्बारता 3 7 16 12 9 5 3

हल:
वर्ग अन्तराल (20-25) की बारम्बारता 16 सर्वाधिक है। अतः बहुलक वर्ग (20-25) है।
अतः l = 20, f₁ = 16, f₀ = 7, f₂ = 12, h = 5

बहुलक $=20+\frac{9}{13} \times 5=23.46$ (लगभग) उत्तर

प्रश्न 7.

प्राप्तांक छात्रों की संख्या
0-10 5
10-20 12
20-30 14
30-40 10
40-50 8
50-60 6

हल:
यहाँ सर्वाधिक बारम्बारता 14 समूह (20-30) की है।
अतः l = 20, f₁ = 14, f₀ = 12, f₂ = 10, h = 10

प्रश्न 8.

प्राप्तांक 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70
छात्रों की संख्या 4 28 42 20 6

हल:
यहाँ सबसे अधिक बारम्बारता 42 समूह (40-50) की है।
अतः l = 40, f₁ = 42, f₂ = 20, h = 10, f₀ = 28

अतः अभीष्ट बहुलक = 43.89 (लगभग) उत्तर

प्रश्न 9.

ऊँचाई (सेमी. में) 52-55 55-58 58-61 61-64
छात्रों की संख्या 10 20 25 10

हल:
बारम्बारता 25 सर्वाधिक है।
∴ बहुलक वर्ग (58–61) है।
अतः L₁ = 58, f₁ = 25, f₀ = 20, f₂ = 10 व h = 3 है।

अतः अभीष्ट बहुलक = 58.75 सेमि।. उत्तर
24/01/2021
RBSE Class 10 Maths Chapter 17 केन्द्रीय प्रवृत्ति के माप Ex 17.7

प्रश्न 1.
100 छात्रों के प्राप्तांक निम्न सारणी में दिये गए हैं। इनसे माध्यक ज्ञात कीजिए।

प्राप्तांक 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80
छात्रों की संख्या 6 20 44 26 3 1

हल:
संचयी बारम्बारता सारणी बनाने पर

वर्ग f_i संचयी बारम्बारता (c.f.)
20-30 6 6
30-40 20 26
40-50 44 70
50-60 .26 96
60-70 3 99
70-80 1 100

यहाँ N/2 = 100/2 = 50 ⇒ माध्यक वर्ग अन्तराल “40-50” है तथा यहाँ संगतl = 40, C = 26, h = 10 व f = 44

अतः माध्यक (M) = 40 + 5.45 = 45.45 उत्तर

प्रश्न 2.
एक कक्षा के छात्रों के प्राप्तांक निम्न बारम्बारता बंटन में दिए हुए हैं। इनसे माध्यक ज्ञात कीजिए–

प्राप्तांक 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50
बारम्बारता 4 28 42 20 6

हल:
संचयी बारम्बारता सारणी बनाने पर

प्राप्तांक f c.f.
0-10 4 4
10-20 28 32
20-30 42 74
30-40 20 94
40-50 6 100
N = ∑f = 100

$\mathrm{m}=\frac{\mathrm{N}}{2}=\frac{100}{2}=50$   और 50 से बड़ी संचयी बारम्बारता 74 है जिसकी संगत वर्ग 20-30 है। अतः माध्यक वर्ग अन्तराल (20-30) है।
अतः यह माध्य 20-30 वर्ग में आता है।
अतः l = 20, C = 32, h = 10, f = 42

अंक अतः माध्यक 24.29 अंक होगा। उत्तर

निम्न बारम्बारता बंटन का माध्यक ज्ञात कीजिए-(प्रश्न 3 व 4)

प्रश्न 3.

वर्ग 0-10 10-20 20-30 30-40
f_i 2 6 10 17
वर्ग 40-50 50-60 60-70 70-80
f_i 30 15 10 10

हल:

वर्ग (x) बारम्बारता (f) संचयी बारम्बारता cf
0-10 2 2
10-20 6 8
20-30 10 18
30-40 17 35
40-50 30 65
50-60 15 80
60-70 10 90
70-80 10 100
N = ∑f = 100

यहाँ   $\frac{N}{2}=\frac{\Sigma f}{2}=\frac{100}{2}=50$   और 50 से बड़ी संचयी बारम्बारता 65 है। जिसका संगत वर्ग = 40-50 है।
अतः l = 40, C = 35, h = 10, f = 30

प्रश्न 4.

वर्ग 0-8 8-16 16-24 24-32 32-40 40-48
f_i 42 30 50 22 8 5

हल:

वर्ग अन्तराल बारम्बारता (f) संचयी बारम्बारता (cf)
0-8 42 42
8-16 30 72
16-24 50 122
24-32 22 144
32-40 8 152
40-48 5 157
N = ∑f = 157

यहाँ   $\frac{N}{2}=\frac{\Sigma f}{2}=\frac{157}{2}=78.5$
78.5 से बड़ी संचयी बारम्बारता (cf) 122 है। जिसका संगत वर्ग-अन्तराल 16–24 है।।
अतः l = 16, C = 72, i = 8, f = 50 है।

24/01/2021

RBSE Class 10 Maths Chapter 17 केन्द्रीय प्रवृत्ति के माप Ex 17.3

निम्न बारम्बारता बंटन को समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए-[1 से 4]

प्रश्न 1.

वर्ग	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50
बारम्बारता	9	12	15	10	14

हल:
समान्तर माध्य की गणना

वर्ग	बारम्बारता (f)	माध्यमन	fx
0 – 10	9	5	15
10 – 20	12	15	180
20 – 30	15	25	375
30 – 40	10	35	350
40 – 50	14	45	630
	∑f = 60		∑fx = 1580

समान्तर माध्य $\overline{X}=\frac{\Sigma f x}{\Sigma f}=\frac{1580}{60}=26.33$
अतः समान्तर माध्य $\overline{x}=26.33$ उत्तर

प्रश्न 2.

वर्ग	0 – 6	6 – 12	12 – 18	18 – 24	24 – 30
बारम्बारता	6	8	10	9	7

हल:
समान्तर माध्य की गणना

वर्ग	बारम्बारता (f)	माध्यमन	fx
0 – 6	6	3	18
6 – 12	8	9	72
12 – 18	10	15	150
18 – 24	9	21	189
24 – 30	7	27	189
	∑f = 40		∑fx = 618

समान्तर माध्य $\overline{\mathrm{X}}=\frac{\Sigma \mathrm{fx}}{\Sigma \mathrm{f}}=\frac{618}{40}=15.45$
अतः माध्य $\overline{X}=15.45$ उत्तर

प्रश्न 3.

प्राप्तंlक	100-120	120-140	140-160	160-180	180-200
छात्रों की संख्या	10	20	20	15	5

हल:
समान्तर माध्य की गणना

प्राप्तंlक वर्ग-अंतराल	बारम्बारता (f)	माध्यमन	f.x
100 – 120	10	110	1100
120 – 140	20	130	2600
140 – 160	20	150	3000
160 – 180	15	170	2550
180 – 200	5	190	950
	∑f = 70		∑fx = 10.200

समान्तर माध्य $\overline{X}=\frac{\Sigma f x}{\Sigma f}=\frac{10,200}{70}$
$\overline{X}=145.71$ रुपये
अतः अभीष्ट समान्तर माध्य = 145.71 रुपये उत्तर

प्रश्न 4.

वर्ग	25-35	35-45	45-55	55-65	65-75
बारम्बारता	6	10	8	12	4

हल:
समान्तर माध्य की गणना

प्राप्तंlक वर्ग-अंतराल	बारम्बारता (f)	माध्यमन	fx
25 – 35	6	30	180
35 – 45	10	40	400
45 – 55	8	50	400
55 – 65	12	60	720
65 – 75	4	70	280
	∑f = 40		∑fx = 1980

समान्तर माध्य
$\begin{aligned} \overline{\mathbf{X}} &=\frac{\Sigma \mathrm{fx}}{\Sigma \mathrm{f}} \\ &=\frac{1980}{40}=49.5 \end{aligned}$
अतः अभीष्ट समान्तर माध्य = 49.5 उत्तर

प्रश्न 5.
निम्न बारम्बारता बंटन का माध्य ज्ञात कीजिए–

भर (किग्रा में)	40 – 50	50 – 60	60 – 70	70 – 80	80 – 90	90 – 100
छात्रों की संख्या	10	25	28	12	10	15

हल:

भर (किग्रा में)	बारम्बारता	माध्यमन x	f.x
40 – 50	10	45	450
50 – 60	25	55	1375
60 – 70	28	65	1820
70 – 80	12	75	900
80 – 90	10	85	850
90 – 100	15	95	1425
	∑f = 100		∑fx = 6820

माध्य

अतः बारम्बारता बंटन माध्य = 68.2 उत्तर

प्रश्न 6.
एक फैक्ट्री में कर्मचारियों के वेतन निम्न सारणी अनुसार हैं–

प्रतिमाह वेतन (रु. में)	1000-1200	1200-1400	1400-1600
कर्मचारियों की संख्या	10	20	20
प्रतिमाह वेतन (रु. में)	1600-1800	1800-2000
कर्मचारियों की संख्या	15	5

वेतन का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए।
हल:
समान्तर माध्य की गणना

प्रतिमाह वेतन (अन्तराल रु. में)	कर्मचारियों की संख्या (f)	माध्यमन (x)	f.x
1000 – 1200	10	1100	11000
1200 – 1400	20	1300	26000
1400 – 1600	20	1500	30000
1600 – 1800	15	1700	25500
1800 – 2000	5	1900	9500
	∑f = 70		∑fx = 10,2000

समान्तर माध्य
रुपये
अतः वेतन का समान्तर माध्य = 1457.14 उत्तर

24/01/2021

RBSE Class 10 Maths Chapter 17 केन्द्रीय प्रवृत्ति के माप Ex 17.3

निम्न बारम्बारता बंटन को समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए-[1 से 4]

प्रश्न 1.

वर्ग	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50
बारम्बारता	9	12	15	10	14

हल:
समान्तर माध्य की गणना

वर्ग	बारम्बारता (f)	माध्यमन	fx
0 – 10	9	5	15
10 – 20	12	15	180
20 – 30	15	25	375
30 – 40	10	35	350
40 – 50	14	45	630
	∑f = 60		∑fx = 1580

समान्तर माध्य $\overline{X}=\frac{\Sigma f x}{\Sigma f}=\frac{1580}{60}=26.33$
अतः समान्तर माध्य $\overline{x}=26.33$ उत्तर

प्रश्न 2.

वर्ग	0 – 6	6 – 12	12 – 18	18 – 24	24 – 30
बारम्बारता	6	8	10	9	7

हल:
समान्तर माध्य की गणना

वर्ग	बारम्बारता (f)	माध्यमन	fx
0 – 6	6	3	18
6 – 12	8	9	72
12 – 18	10	15	150
18 – 24	9	21	189
24 – 30	7	27	189
	∑f = 40		∑fx = 618

समान्तर माध्य $\overline{\mathrm{X}}=\frac{\Sigma \mathrm{fx}}{\Sigma \mathrm{f}}=\frac{618}{40}=15.45$
अतः माध्य $\overline{X}=15.45$ उत्तर

प्रश्न 3.

प्राप्तंlक	100-120	120-140	140-160	160-180	180-200
छात्रों की संख्या	10	20	20	15	5

हल:
समान्तर माध्य की गणना

प्राप्तंlक वर्ग-अंतराल	बारम्बारता (f)	माध्यमन	f.x
100 – 120	10	110	1100
120 – 140	20	130	2600
140 – 160	20	150	3000
160 – 180	15	170	2550
180 – 200	5	190	950
	∑f = 70		∑fx = 10.200

प्रश्न 4.

वर्ग	25-35	35-45	45-55	55-65	65-75
बारम्बारता	6	10	8	12	4

हल:
समान्तर माध्य की गणना

प्राप्तंlक वर्ग-अंतराल	बारम्बारता (f)	माध्यमन	fx
25 – 35	6	30	180
35 – 45	10	40	400
45 – 55	8	50	400
55 – 65	12	60	720
65 – 75	4	70	280
	∑f = 40		∑fx = 1980

प्रश्न 5.
निम्न बारम्बारता बंटन का माध्य ज्ञात कीजिए–

भर (किग्रा में)	40 – 50	50 – 60	60 – 70	70 – 80	80 – 90	90 – 100
छात्रों की संख्या	10	25	28	12	10	15

हल:

भर (किग्रा में)	बारम्बारता	माध्यमन x	f.x
40 – 50	10	45	450
50 – 60	25	55	1375
60 – 70	28	65	1820
70 – 80	12	75	900
80 – 90	10	85	850
90 – 100	15	95	1425
	∑f = 100		∑fx = 6820

माध्य

अतः बारम्बारता बंटन माध्य = 68.2 उत्तर

प्रश्न 6.
एक फैक्ट्री में कर्मचारियों के वेतन निम्न सारणी अनुसार हैं–

प्रतिमाह वेतन (रु. में)	1000-1200	1200-1400	1400-1600
कर्मचारियों की संख्या	10	20	20
प्रतिमाह वेतन (रु. में)	1600-1800	1800-2000
कर्मचारियों की संख्या	15	5

वेतन का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए।
हल:
समान्तर माध्य की गणना

प्रतिमाह वेतन (अन्तराल रु. में)	कर्मचारियों की संख्या (f)	माध्यमन (x)	f.x
1000 – 1200	10	1100	11000
1200 – 1400	20	1300	26000
1400 – 1600	20	1500	30000
1600 – 1800	15	1700	25500
1800 – 2000	5	1900	9500
	∑f = 70		∑fx = 10,2000

समान्तर माध्य
रुपये
अतः वेतन का समान्तर माध्य = 1457.14 उत्तर

24/01/2021

RBSE Class 10 Maths Chapter 17 केन्द्रीय प्रवृत्ति के माप Ex 17.2

निम्न बारम्बारता बंटन का माध्य ज्ञात कीजिए ( प्रश्न 1-4):

प्रश्न 1.

X: 3 5 8 11
f: 2 4 5 3

हल:
समान्तर माध्य के लिये सारणी

X f fx
3 2 3 × 2 = 6
5 4 5 × 4 = 20
8 5 8 × 5 = 40
11 3 11 × 3 = 33
∑f = 14 ∑fx = 99

समान्तर माध्य
$\begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} &=\frac{\Sigma \mathrm{fx}}{\Sigma \mathrm{f}} \\ &=\frac{99}{14}=7.07 \end{aligned}$ उत्तर

प्रश्न 2.

X 2 5 7 9 11
f 1 5 4 7 3

हल:
समान्तर माध्य के लिये सारणी

X f fx
2 1 2
5 5 25
7 4 28
9 7 63
11 3 33
∑f = 20 ∑fx = 151

अतः अभीष्ट समान्तर माध्य = 7.55 उत्तर

प्रश्न 3.

X 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
f 30 60 20 40 10 50

हल:
समान्तर माध्य के लिये सारणी

X f fx
0.1 30 0.1 × 30 = 3.0
0.2 60 0.2 × 60 = 12.0
0.3 20 0.3 × 20 = 6.0
0.4 40 0.4 × 40 = 16.0
0.5 10 0.5 × 10 = 5.0
0.6 50 0.6 × 50 = 30.0
∑f = 210 ∑fx = 72.0

समान्तर माध्य

अतः अभीष्ट समान्तर माध्य = 0.34 (लगभग) उत्तर

प्रश्न 4.

X 0.1 0.3 0.5 0.7 0.89
f 7 8 10 15 10

हल:
समान्तर माथ्य के लिये सारणी

X f fx
0.1 7 0.1 × 7 = 0.7
0.3 8 0.3 × 8 = 2.4
0.5 10 0.5 × 10 = 5.0
0.7 15 0.7 × 15 = 10.0
0.89 10 0.89 × 10 = 8.0
∑f = 50 ∑fx = 27.5

समान्तर माध्य

अतः अभीष्ट समान्तर माध्य = 0.55 उत्तर

प्रश्न 5.
एक सौ परिवारों में बच्चों की संख्या निम्न प्रकार है–

बच्चों की संख्या 1 2 3 4 5 6
परिवारों संख्या 45 25 19 8 2 1

इनका समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए।
हल:
समान्तर माध्य के लिये सारणी

X f fx
1 45 45
2 25 50
3 19 57
4 8 32
5 2 10
6 1 06
∑f = 100 ∑fx = 200

समान्तर माध्य

अतः सौ परिवार में बच्चों का समान्तर माध्य = 2 उत्तर

प्रश्न 6.
एक कक्षा में छात्रों के भार निम्न सारणी में दिये गए हैं—

भार किग्रा में 20 21 22 23 24 25 26 27 28
छात्रों की संख्या 1 2 6 7 4 2 3 2 3

इनका समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए।
हल:
समान्तर माध्य के लिये सारणी

X f fx
20 1 20
21 2 42
22 6 132
23 7 161
24 4 96
25 2 50
26 3 78
27 2 54
28 3 84
∑f = 30 ∑fx = 717

अतः समान्तर माध्य

अतः छात्रों का औसत भार = 23.9 किग्रा.। उत्तर

प्रश्न 7.
यदि निम्न बंटन का माध्य 7.5 हो, तो P का मान ज्ञात कीजिए।

X 3 5 7 9 11 13
f 6 8 15 P 8 4

हल:
समान्तर माध्य के लिये सारणी

X f fx
3 6 18
5 8 40
7 15 105
9 P 9P
11 8 88
13 4 52
∑f = (41 + P) ∑fx = (303 + 9P)

अतः P का मान = 3 उत्तर

प्रश्न 8.
यदि निम्न बारम्बारता बंटन का माध्य 1.46 हो तो अज्ञात बारम्बारताएं ज्ञात कीजिए।

X 0 1 2 3 4 5 योग
f 46 • • • • • • 25 10 5 200

हल:
समान्तर माध्य के लिये सारणी

X f fx
0 46 0
1 L₁ L₁
2 L₂ 2L₂
3 25 75
4 10 40
5 5 25
योग ∑f = 200 ∑fx = 140 + L₁ + 2L₂

यहाँ 86 + L₁ + L₂ = 200 (दिया है)
L₁ + L₂ = 200 – 86 = 114 ………………………(i)
प्रश्नानुसार, समान्तर माध्य = 1.46
अतः 140 + L₁ + 2L₂ = 1.46 x 200 = 292
या L₁ + 2L₂ = 292 – 140 = 152 ………………………..(ii)
समी. (i) व (ii) से।
L₂ = 152 – 114 = 38
L₁ = 114 – 38 = 76
अत: L₁ = 76 – L₂ = 38
अतः अज्ञात बारम्बारतायें 76 व 38 है। उत्तर

24/01/2021
RBSE Class 10 Maths Chapter 17 केन्द्रीय प्रवृत्ति के माप Ex 17.1

प्रश्न 1.
यदि एक कक्षा में गणित विषय में दस छात्रों के प्राप्तांक 52, 75, 40, 70, 43, 40, 65, 35, 48, 52 हों तो समान्तर मध्य ज्ञात कीजिए।
हल:

अतः समान्तर माध्य $\overline{(X)}=52$ अंक उत्तर

प्रश्न 2.
एक विद्यालय के सहायक कर्मचारियों का मासिक वेतन रुपयों में 1720, 1750, 1760 तथा 1710 है, तो समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए।
हल:

अतः अभीष्ट समान्तर माध्य = ₹ 1735 उत्तर

प्रश्न 3.
यदि 3, 4, 8, 5, x, 3, 2, 1 अंकों का समान्तर माध्य 4 हो तो x का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 4.
क्रिकेट के एक खिलाड़ी ने 10 पारियों में क्रमशः 60, 62, 56, 64, 0, 57, 33, 27, 9 और 71 रन बनाए। उसके इन पारियों के रनों का औसत ज्ञात कीजिए।
हल:

अतः खिलाड़ी की पारियों के रनों का औसत = 43.9 रन उत्तर

प्रश्न 5.
एक मासिक परीक्षा में 10 विद्यार्थियों के द्वारा अंग्रेजी में प्राप्त निम्न अंकों से समान्तर माध्य की गणना कीजिए–

अनुक्रमांक: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
प्राप्तांक: 30 28 32 12 18 20 25 15 26 14

हल:

अतः समान्तर माध्य = 22 अंक उत्तर

प्रश्न 6.
एक विद्यालय के पुस्तकालय से 10 दिन में छात्रों को दी गई पुस्तकों की संख्या निम्नलिखित है–

300 405 455 489 375
280 418 502 300 476

प्रतिदिन दी गई पुस्तकों की औसत संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:

अतः प्रतिदिन दी गई पुस्तकों की औसत संख्या = 400 है। उत्तर

प्रश्न 7.
एक कक्षा के वर्ग A के 25 छात्रों का औसत भार 51 किग्रा है, जबकि वर्ग B के 35 छात्रों का औसत भार 54 किग्रा. है। इस कक्षा के कुल 60 छात्रों के भार का औसत ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि x₁, x₂, x₃………………, x₂₅ वे 25 छात्र हैं, जिनका औसत भार 51 किग्रा. है।

अब माना कि y₁, y₂, y₃………………. y₃₅ वे 35 छात्र हैं, जिनका औसत भार 54 किग्रा. है।

अतः 60 छात्रों के भार का औसत 52.75 किग्रा. है। उत्तर

प्रश्न 8.
पाँच संख्याओं का औसत 18 है। यदि एक संख्या हटा दी जाती है तो औसत 16 हो जाता है। हटाई गई संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना संख्या × है।
पाँच संख्याओं का योग = 5 × 18 = 90
संख्या × हटाने पर योग = 4 × 16 = 64
संख्या × = 90 – 64 = 26
हटाई गई संख्या = 26 उत्तर।

प्रश्न 9.
13 संख्याओं का माध्य 24 है। यदि प्रत्येक संख्या में 3 जोड़ दिया जाये, तो नये माध्य में क्या परिवर्तन आयेगा?
हल:
माना x₁, x_2,…………… X₁₃; 13 संख्यायें हैं, जिनका माध्य 24 है।

प्रत्येक संख्या में 3 जोड़ा जाये तो नयी संख्या होगी|
x₁ + 3, x₂ + 3. …………………, x₁₃ + 3
माना $\overline{X}_{1}$ नयी संख्याओं का माध्य है, तब

नया माध्य = 24 + 3 = 27 होगा उत्तर

प्रश्न 10.
एक विद्यालय के पाँच कर्मचारियों का औसत मासिक वेतन ₹ 3000 है। एक कर्मचारी के सेवानिवृत्त होने पर शेष कर्मचारियों का औसत मासिक वेतन र 3200 हो जाता है। सेवानिवृत्त कर्मचारी का, सेवानिवृत्ति के समय कितना वेतन था?
हल:
पाँच कर्मचारियों का कुल वेतन = 3000 × 5
= ₹ 15,000
चार कर्मचारियों का कुल वेतन = 3200 × 4
= ₹ 12,800
सेवानिवृत्त कर्मचारी का वेतन = 15000 – 12800
= ₹ 2,200
अतः सेवानिवृत्त कर्मचारी का मासिक वेतन ₹ 2,200 था। उत्तर

24/01/2021

आयु वषों में	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
छात्रों की संख्या	15	25	40	36	41	37	20	13	5	3

प्राप्तांक	10	15	17	20	22	30	35
छात्रों की संख्या	5	10	2	8	3	6	6

X	f	fx
10	5	50
15	10	150
17	2	34
20	8	160
22	3	66
30	6	180
35	6	210
	∑f = 40	∑fx = 850

X	f	fx
19	13	247
21	15	315
23	16	368
2.5	18	450
27	16	432
29	15	435
31	13	403
	∑f = 106	∑fx = 2650

भार (किग्रा. में)	40-44	44-48	48-52	52-56	56-60	60-64
व्यक्तियों की संख्या	5	6	5	9	3	2

भार (किग्रा. में)	(f)	मध्यमान (x)	(f.x)
40-44	5	42	210
44-48	6	46	276
48-52	5	50	250
52-56	9	54	486
56-60	3	58	174
60-64	2	62	124
	∑f = 30		∑fx = 1520

X	f	cf
0.1	30	30
0.2	60	90
0.3	20	110
0.4	40	150
0.5	10	160
0.6	50	210
0.7	35	245
	∑f = 245

जूतों की नाप	4.5	5.0	5.5	6.0	6.5	7.0	7.5	8.0	8.5	9.0
बारम्बारता	1	2	4	5	15	30	60	95	82	75

X	f	संचयी बारम्बारता (cf)
4.5	1	1
5.0	2	3
5.5	4	7
6.0	5	12
6.5	15	27
7.0	30	57
7.5	60	117
8.0	95	212
8.5	82	294
9.0	75	369
	∑f = 369

विचार	0	17	26	41	57	83	91	115
गणन चिह	\|	\|	\| \| \|	\|	\| \|	\|	\|	\|
बारम्बारता	1	1	3	1	2	1	1	1

वर्ग	0-20	20-40	40-60	60-80	80-100
बारम्बारता	3	15	24	8	5

X	1.1	1.2	1.3	1.4	1.5	1.6
f	20	50	80	60	1.5	8

वर्ग	10-15	15-20	20-25	25-30	30-35	35-40	40-45
बारम्बारता	3	7	16	12	9	5	3

ऊँचाई (सेमी. में)	52-55	55-58	58-61	61-64
छात्रों की संख्या	10	20	25	10

सदस्यों संख्या	2	3	4	5	6	7	8
परिवारों की संख्या	1	2	4	6	10	3	5

प्राप्तांक	10	20	30	40	50	60	70	80
विद्यार्थियों की संख्या	2	8	16	26	20	16	7	4

वर्ग	f_i	संचयी बारम्बारता (c.f.)
20-30	6	6
30-40	20	26
40-50	44	70
50-60	.26	96
60-70	3	99
70-80	1	100

प्राप्तांक	f	c.f.
0-10	4	4
10-20	28	32
20-30	42	74
30-40	20	94
40-50	6	100
	N = ∑f = 100

वर्ग (x)	बारम्बारता (f)	संचयी बारम्बारता cf
0-10	2	2
10-20	6	8
20-30	10	18
30-40	17	35
40-50	30	65
50-60	15	80
60-70	10	90
70-80	10	100
	N = ∑f = 100

वर्ग	0-8	8-16	16-24	24-32	32-40	40-48
f_i	42	30	50	22	8	5

वर्ग अन्तराल	बारम्बारता (f)	संचयी बारम्बारता (cf)
0-8	42	42
8-16	30	72
16-24	50	122
24-32	22	144
32-40	8	152
40-48	5	157
	N = ∑f = 157

X	f	fx
3	2	3 × 2 = 6
5	4	5 × 4 = 20
8	5	8 × 5 = 40
11	3	11 × 3 = 33
	∑f = 14	∑fx = 99

X	f	fx
0.1	30	0.1 × 30 = 3.0
0.2	60	0.2 × 60 = 12.0
0.3	20	0.3 × 20 = 6.0
0.4	40	0.4 × 40 = 16.0
0.5	10	0.5 × 10 = 5.0
0.6	50	0.6 × 50 = 30.0
	∑f = 210	∑fx = 72.0

X	f	fx
0.1	7	0.1 × 7 = 0.7
0.3	8	0.3 × 8 = 2.4
0.5	10	0.5 × 10 = 5.0
0.7	15	0.7 × 15 = 10.0
0.89	10	0.89 × 10 = 8.0
	∑f = 50	∑fx = 27.5

बच्चों की संख्या	1	2	3	4	5	6
परिवारों संख्या	45	25	19	8	2	1

भार किग्रा में	20	21	22	23	24	25	26	27	28
छात्रों की संख्या	1	2	6	7	4	2	3	2	3

X	f	fx
20	1	20
21	2	42
22	6	132
23	7	161
24	4	96
25	2	50
26	3	78
27	2	54
28	3	84
	∑f = 30	∑fx = 717

X	f	fx
3	6	18
5	8	40
7	15	105
9	P	9P
11	8	88
13	4	52
	∑f = (41 + P)	∑fx = (303 + 9P)

X	f	fx
0	46	0
1	L₁	L₁
2	L₂	2L₂
3	25	75
4	10	40
5	5	25
योग	∑f = 200	∑fx = 140 + L₁ + 2L₂

अनुक्रमांक:	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
प्राप्तांक:	30	28	32	12	18	20	25	15	26	14