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Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 16 प्रायिकता एांव प्रायिकता बंटन Ex 16.1

प्रश्न 1.
यदि P(A) =  , P(B) =  और P(A∩B) =  हो, तो  ज्ञात करो।
हल :
हम जानते हैं कि

प्रश्न 2.
यदि P(B) = 0.5 और P(A∩B) = 0.32 हो तो  ज्ञात करो।
हल :

प्रश्न 3.
यदि 2P(A) = P(B) =  और  हो तो P(A∪B) ज्ञात करो।
हल :

प्रश्न 4.
यदि P(A) = 0.6, P(B) = 0.3 और P(A∩B) = 0.2 हो तो  तथा  ज्ञात करो।
हल :

प्रश्न 5.
यदि P(A) = 0.8, P(B) = 0.5 और  = 0.4 हो तो ज्ञात करो

हल :

(iii) P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= 0.8 + 0.5 – 0.32
= 1.3 – 0.32
= 0.98

प्रश्न 6.
एक परिवार में दो बच्चे हैं। यदि यह ज्ञात हो कि दोनों बच्चों में से कम से कम एक बच्च लड़का है तो दोनों बच्चों के लड़का होने की प्रायिकता ज्ञात करो।
हल :
एक परिवार वमें कम से कम एक बच्चा लड़का होने के लिए
A = {BB, BG, GB}
दोनों बच्चे लड़का होने के लिये
B = {B, B}
प्रतिदर्श समष्टि S = {BB, BG, GB, GG}
∴ A∩B = {B, B}
∴ n(A) = 3

प्रश्न 7.
दो सिक्कों को एक बार उछाला गया हैं। इस प्रयोग से संबंधित घटनाओं A व B को निम्न प्रकार परिभाषित किया गया है तो  ज्ञात कीजिए।
(i) A : एक सिक्के पर पट प्रकट होता है; B : एक सिक्के पर चित प्रकट होता है।
(ii) A : कोई पट प्रकट नहीं होता है; B : कोई चिंत प्रकट नहीं होता
हल :
(i) दो सिक्कों की एक बार उछालने की समष्टि
S = {HH, HT, TH, TT}
A = एक सिक्के पर पट प्रकट होता है
= {TH, HT}
तथा B = एक सिक्के पर चित प्रकट होता है।
= {HT, TH}
∴ A∩B = {HT, TH}
∴ n(A∩B) = 2
n(S) = 4

प्रश्न 8.
एक पारिवारिक चित्र में माता, पिता व पुत्र यादृच्छया सीधी रेखा में खड़े है। इससे सम्बद्ध घटनाओं A व B को निम्न प्रकार परिभाष्नित किया गया है तो  ज्ञात करो यदि
A : पुत्र एक सिरे पर खड़ा है, B : पिता मध्य में खड़े है।
हल :
माना माता (M), पिता (F) तथा पुत्र S यादृच्छया खड़े हैं।
∴ तीनों के खड़े होने की कुल विधियाँ = 3
A = पुत्र एक सिरे पर खड़ा है = 3 x 2 x 1 = 6
A = {(SMF), (SFM), (FMS), (MFS)}
B = पिता मध्य में खड़े हैं।
= {(M, F, S), (S, F, M)}
∴A∩B = {(M, F, S), (S, F, M}}

प्रश्न 9.
एक न्याय्य पासे की उछाला गया है। घटनाओं A = {1, 3, 5}, B = {2, 3} और C = {2, 3, 4, 5} के लिये निम्नलिखित ज्ञात कीजिए :

हल :
(i) पासे को उछालने पर कुल परिणाम = 6
A = {1, 3, 5}, B = {2, 3}
∴ A∩B = {3}

(ii) दिया है : A = {1, 3, 5}, B = {2, 3, 4, 5}
∴ A∩C = {3, 5}

(iii) दिया है, A = {1, 3, 5}, B = {2, 3}, C = {2, 3, 4, 5}
∴ A∩C = {3, 5}, B∩C = {2, 3}, A∩B = {3}
(A∩B)∩C = {3}

प्रश्न 10.
यह दिया गया है कि पासों को फेंकने पर प्राप्त संख्याएँ भिन्न-भिन्न हैं। दोनों संख्याओं का योग 4 होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
माना E = विभिन्न संख्या रखता है।
F = योग 4 है = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}

प्रश्न 11.
एक बक्से में दस कार्ड 1 से 10 तक लिखकर रखे गये हैं और उन्हें अच्छी तरह मिलाया गया है। इस बक्से में से एक कार्ड यादृच्छया निकाला गया है। यदि यह ज्ञात हो कि निकाले गये कार्ड पर संख्या 3 से अधिक है, तो इस संख्या के सम होने की क्या प्रायिकता
हल :
मान लीजिए कि A घटना निकाले गए कार्ड पर सम संख्या है’ और B घटना निकाले गये कार्ड पर संख्या 3 से बड़ी है’ को निरूपित करते हैं। यहाँ हमें P(A/B) ज्ञात करना है।
इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि निम्न है
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
तब A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
तथा A∩B = {4, 6, 8, 10}

प्रश्न 12.
एक विद्यालय में 1000 विद्यार्थी हैं, जिनमें से 430 लड़कियाँ हैं। यह ज्ञात है कि 430 में से 10% लड़कियाँ कक्षा XI में पढ़ती हैं। क्या प्रायिकता है कि एक यादृच्छया चुना गया विद्यार्थी कक्षा XI में पढ़ता है। यदि यह ज्ञात है कि चुना गया विद्यार्थी लड़की है।
हल :
मान लीजिए A घटना ‘यादृच्छया चुना गया विद्यार्थी कक्षा XI में पढ़ता है और B घटना ‘यादृच्छया चुना गया विद्यार्थी लड़की है’ को व्यक्त करते हैं। यहाँ हमें P(A/B) ज्ञात करना है।
अब P(B) =  = 0.43
यहाँ 10% लड़कियाँ कक्षा XI में पढ़ती हैं।
∴ कक्षा XI में पढ़ने वाली लड़कियों की संख्या

प्रश्न 13.
एक पासे को दो बार उछाला गया और प्रकट हुई संख्याओं का योग 6 पाया गया। संख्या 4 के न्यूनतम एक बार प्रकट होने की सप्रतिबंध प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए कि घटना ‘संख्या 4 का न्यूनतम एक बार प्रकट होना’ और B दोनों पासों पर प्रकट संख्याओं का योग 6 होने के दर्शाते हैं,
तब A = {{4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), ( 1, 4), (2, 4), (3, 4), (5, 4), (6, 4)
और B = {{1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1}}
हम जानते हैं कि

प्रश्न 14.
एक सिक्के को उछालने के परीक्षण पर विचार कीजिए यदि सिक्के पर चित प्रकट हो, तो सिक्के को पुनः उछालिए परंतु यदि सिक्के पर पट प्रकट हो, तो एक पासा फेंकिए। यदि घटना ‘कम से
कम एक पट प्रकट होना’ का घटित होना दिया गया है, तो घटना ‘पासे पर 4 से बड़ी संख्या प्रकट होना की सप्रतिबंध प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
परीक्षण की परिणामों को निम्न चित्र में व्यक्त किया जा सकता है इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि है :

S = {(H, H), (H, T), T(, 1), (T, 2), (T, 3), (T, 4), (7, 5), (7, 6)}
जहाँ (HH) दर्शाता है कि दोनों उछालों पर चित प्रकट हुआ है तथा (T, i) दर्शाता है कि पहली उछाल पर प्रकट हुआ है और पासे को फेंकने पर i प्रकट हुई है।
अत: 8 मौलिक घटनाओं (H, H), (H, T), (T, 1), (T, 2), (T, 3), (T, 4), (T, 5), (T, 6) की क्रमशः प्रायिकताएँ

जैसा कि पाश्र्व चित्र में दर्शाया गया है। मान लीजिए कि B घटना ‘न्यूनतम एक पट प्रकट होना’ और A घटना ‘पासे पर 4 से बड़ी संख्या प्रकट होना’ को दर्शाते हैं।

तब B = {(H, T), (T, 1), (T, 2), (T, 3), (T, 4), (T, 5), (T, 6)}
∴ P(B) = P[{(H, T}}] + P[(T, 1)}} + P[{T, 5)}] + P[{(T, 6}}]

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 16 प्रायिकता एांव प्रायिकता बंटन Ex 16.2

प्रश्न 1.
यदि दो घटनाएँ A तथा B इस प्रकार से है कि P(A) =  , P(B) =  तथा P(A∩B) =  तो  ज्ञात करो।
हल :
दिया है,

प्रश्न 2.
यदि P(A) = 0.6, P(B) = p में P(A∩B) = 0.2 तथा A और B स्वतन्त्र घटनाऐ है तब p का मान ज्ञात करो।
हल :
दिया है
P(A) = 0:6
P(B) = p
P(A∩B) = 0.2
∵ A और B स्वतंत्र घटनायें हैं।
अतः P(A∩B) = P(A).P(B)
0.2 = 0.6×p

प्रश्न 3.
यदि A और B स्वतन्त्र घटनाएँ है तथा P(A) = 0.3 व P(B) = 0.4 तब ज्ञात करो
(i) P(A∩B)
(ii) P(A∪B)
(iii) 
(iv) 
हूल :
(i) दिया है :
P(A) = 0.3
P(B) = 0.4
जब A और B स्वतंत्र घटनायें हैं तो
P(A∩B) = P(A).P(B)
= 0.3 × 0.4
= 0.12
(ii) P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= 0.3 + 0.4 – 0.12
= 0.7 – 0.12
= 0.58

प्रश्न 4.
यदि A और B स्वतंत्र घटनाएँ है जहाँ P(A) = 0.3, P(B) = 0.6 तब ज्ञात करो
(i) P(A∩B)
(ii) 
(iii) P(A∪B)
(iv) 
हल :
दिया है :
P(A) = 0.3
P(B) = 0.6
(i) P(A∩B) = P(A) x P(B)
= 0.3 x 0.6
= 0.18

(ii) 
= P(A) – P(A∩B)
= 0.3 – 0.18
= 0.12

(iii) P(A∪B)
= P(A) + P(B) – P(A∩B)
= 0.3 + 0.6 – 0.18
= 0.90 – 0.18
= 0.72

(iv) 
= 
= [1 – P(A)][1 – P(B)]
= [1 – 0.3] [1 – 0.6]
= 0.7 x 0.4
= 0.28

प्रश्न 5.
एक थैले में 5 सफेद, 7 लाल और 8 काली गेंदे है। यदि चार गेंदों को एक-एक कर बिना प्रतिस्थापन के निकाला जाये तो सभी गेंदों के सफेद होने की प्रायिकता ज्ञात करो।
हल :
दिया है :
सफेद गेंद = 5
लाल गेंद = 7
काली गेंद = 8
कुल गेंदों की संख्या = 5 +7+ 8 = 20
अतः पहली सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता

प्रश्न 6.
यदि एक पासे को तीन बार उछाला जाये तो कम से कम एक विषम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात करो।
हल :
एक पासे पर सम संख्या 2, 4, 6 तीन तरीकों से आ सकती है।
एक पासे के उछालने पर प्रतिदर्श परिणाम
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
∴ सम संख्या आने की प्रायिकता =  = 
∴ एक सम संख्या आने की प्रायिकता = 
∴ तीनों बार पासों पर सम संख्या आने की प्रायिकता

अतः तीनों बार पासों को उछालने पर कम से कम एक विषय संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता = 
= 

प्रश्न 7.
52 पत्तों की गड्डी में यादृच्छया बिना प्रतिस्थापित किये दो पत्ते निकले गये है। इन दोनों पत्तों के काले रंग का होने की प्रायिकता ज्ञात करो।
हल :
ताश के 52 पत्तों में से काले रंग के पत्तों की संख्या = 26 है।
∴ एक काला पत्ता निकालने की प्रायिकता

एक पत्ता खींचने के बाद गड्डी में 51 पत्ते बचते हैं जिनमें 25 काले है।
तथा दूसरा काला पत्ता निकालने की प्रायिकता बिना प्रतिस्थापन किये

अतः दोनों काले रंग के पत्ते होने की प्रायिकता

प्रश्न 8.
दो सिक्कों को उछाला गया है। दो चित आने की प्रायिकता ज्ञात करो जबकि यह ज्ञात है कि कम से कम एक चित्त आ चुका है।
हल :
दो सिक्कों के उछालने पर संम्भावित विधियाँ
{HH, HT, TH, TT} = 4
∵एक चित्त कम से कम आ चुका है, अत: शेष विधियाँ
= 4 – 1 = 3
दोनों चित्त आने की विधियाँ = 1
अतः दोनों चित्त आने की प्रायिकता = 

प्रश्न 9.
एक छात्रावास में 60% विद्यार्थी हिन्दी का 40% अंग्रेजी का और 20% दोनों अखबर पढ़ते है। एक छात्र को यादृच्छया चुना जाता है
(i) प्रायिकता ज्ञात करो कि वह न तो हिन्दी और न ही अंग्रेजी का अखबार पढ़ती है।
(ii) यदि वह हिन्दी का अखबार पढ़ती है तो उसके अंग्रेजी का अखबार भी पढ़ने वाली होने की प्रायिकता ज्ञात करो।
(iii) यदि वह अंग्रेजी का अखबार पढ़ती है तो उसके हिन्दी का अखबार भी पढ़ने वाली होने के प्रायिकता ज्ञात करो।
हल :
(i) माना छात्रावास में छात्राओं के हिंदी और अंग्रेजी के अखबार पढ़ने की घटनाओं को क्रमशः H तथा E से निरूपित करते हैं, अतः

छात्रा के कम से कम एक अखबार पढ़ने की प्रायिकता
= P(H∪E)
∴ P(H∪E) = P(H) + P(E) – P(H∩E)
= 0.6 + 0.4 – 0.2
= 0.8
अत: छात्रा के न तो हिंदी और न ही अंग्रेजी का अखबार पढ़ने की प्रायिकता
= 1 – P(H∪E)
= 1 – 0.8
= 0.2
= 20%
स्पष्ट है कि 20% छात्र अखबार नहीं पढ़ते हैं।
∴ अभीष्ट प्रायिकता = 
= 

(ii) यदि वह हिन्दी का अखबार पढ़ती है तो उसके अंग्रेजी का अखबार भी पढ़ने वाली होने की प्रायिकता

(iii) यदि वह अंग्रेजी का अखबार पढ़ती है तो उसके हिन्दी का अखबार भी पढ़ने वाली होने की प्रायिकता

प्रश्न 10.
A, किसी पुस्तक की 90% समस्याओं को तथा B, उसी पुस्तक की 70% समस्याओं को हल कर सकता है। पुस्तक से यादुच्छया चयनित किसी समरूा का उनमें से कम से कम एक के द्वारा हल किए जाने की प्रायिकता ज्ञात करो।
हल :
माना

∴ कम से कम एक के द्वारा हल किये जाने की प्रायिकता

प्रश्न 11.
तीन विद्यार्थियों को गणित की एक समस्या को हल करने के लिये दिया गया। इन विद्यार्थियों के द्वारा समस्या को हल करने की प्रायिकता क्रमशः  व  है। समस्या के हल हो जाने की क्या प्रायिकता है?
हल :
प्रश्न तभी हल होगा जबकि तीनों में से कम से कम कोई एक छात्र हल कर सके।
एक विद्यार्थी के हल करने की प्रायिकता = 
अतः इस विद्यार्थी के हल न करने की प्रायिकता = 
= 
दूसरे विद्यार्थी के हल न करने की प्रायिकता
= 
इसी प्रकार तीसरे विद्यार्थी के न हल कर पाने की प्रायिकता
= 
∴ तीनों में से किसी के भी प्रश्न हल न कर सकने की प्रायिकता

∴ कम से कम एक विद्यार्थी द्वारा हल करने की प्रायिकता
= 

प्रश्न 12.
एक थैले में 5 सफेद तथा 3 काली गेंदे है। थैले में से 4 गेंदे उत्तरोतर बिना प्रतिस्थापन के निकाली जाती है। इन गेंदों के एकान्तरतः विभिन्न रंगों के होने की प्रायिकता ज्ञात करो।
हुल :
कुल गेंदों की संख्या = 5 + 3 = 8
पहली सफेद गेंद होने की प्रायिकता = 
अब शेष गेंदों की संख्या = 8 – 1 = 7 जिनमें 4 सफेद और 3 काली गेंदें है अतः
दूसरी गेंद काली होने की प्रायिकता = 
अब शेष गेंदों की संख्या 7 – 1 = 6 जिनमें 4 सफेद व 2 काली गेंदें है अतः
तीसरी गेंद सफेद होने की प्रायिकता = 
चौथी गेंद निकालने के लिए शेष गेंदों की संख्या = 6 – 1 = 5
जिनमें 3 सफेद और 2 काली गेंदें हैं अतः
चौथी गेंदें काली होने की प्रायिकता = 
∵ प्रत्येक बार गेंद निकालने की घटनायें स्वतंत्र है।
अतः विभिन्न रंगों के होने की प्रायिकता

प्रश्न 13.
एक विशेष समस्या को A और B द्वारा स्वतंत्र रूप से हल करने की प्रायिकतायें क्रमश  व  है। यदि दोनों स्वतंत्र रूप से समस्या को हल करने का प्रयास करते है तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि
(i) समस्या हल हो जाती है।
(ii) उनमें से तथ्यतः कोई एक समस्या हल कर लेता है।
हल :
A द्वारा समस्या के हल होने की की प्रायिकता
= P(A) = 
A द्वारा समस्या के हल न होने की प्रायिकता

तथा B द्वारा समस्या के हल होने की प्रायिकता
P(B) = 
B द्वारा समस्या के हल न होने की प्रायिकता

∴ समस्या हल नहीं होती है; की प्रायिकता

समस्या हल हो जाती है की प्रायिकता

(ii) A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं।
∴और भी स्वतंत्र हैं।

∴ उनमें से तथ्यत: कोई एक समस्या हल कर देता है, की प्रायिकता

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 16 प्रायिकता एांव प्रायिकता बंटन Ex 16.3

प्रश्न 1.
दो थैले I वे II दिए गए है। थैले I में 3 लाल और 4 काली गेंदें है जबकि II थैले में 5 लाल और 6 काली गेंदे है। किसी एक थैले में से यादृच्छया एक गेंद निकाली गई है जोकि लाल है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि यह गेंद II थैले से निकाली गई है ?
हल :
माना थैले I का E1 से तथा थैले II को E2 से निरूपित किया गया है और लाल रंग की गेंद निकालने की घटना को A से निरूपित करते हैं, तब

प्रश्न 2.
एक डॉक्टर को एक रोगी को देखने आना है। पहले के अनुभवों से यह ज्ञात है कि उसके ट्रेन, बस, या अन्य किसी वाहन से आने की प्रायिकताएँ क्रमशः  या  है। यदि वह ट्रेन, बस या स्कूटर से आता है तो उसके देर से आने की प्रायिकताएँ क्रमशः  या  है परन्तु किसी अन्य वाहन से आने पर उसे देर नहीं होती है। यदि वह देर से आया, तो उसके ट्रेन से आने की प्रायिकता ज्ञात करो।
हल :
माना “डॉक्टर के रोगी के यहाँ देर से आने की घटना E है।
यदि डॉक्टर ट्रेन, बस, स्कूटर या अन्य किसी वाहन से आने की घटनायें . क्रमश: T1, T2, T3 और T4 है तो

अतः डॉक्टर के ट्रेन द्वारा आने पर देर से पहुँचने की प्रायिकता

(अन्य वाहन से आने पर देर नहीं होती है)।
अतः बेज प्रमेय द्वारा
डॉक्टर द्वारा देर से आने पर ट्रेन द्वारा आने की प्रायिकता

प्रश्न 3.
प्रथम थैले में 3 लाल और 4 काली गेंदे है तथा द्वितीय थैले में 4 लाल और 5 काली गेंद हैं। एक गेंद प्रथम थैले से द्वितीय थैले से द्वितीय थैले में स्थानांतरित की जाती है और तब एक गेंद को द्वितीय थैले से निकाला जाता है। निकाली गई गेंद लाल रंग की प्राप्त होती है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि स्थानांतरित गेंद काली है ?
हल :
थैला एक में 3 लाल तथा 4 काली गेंद हैं।
थैला दूसरे में 4 लाल तथा 5 काली गेंद है।
माना घटनायें E1 = थैला एक में से लाल गेंद निकाली गई।
E2 = थैला दूसरे में से काली गेंद निकाली गई।

एक गेंद स्थानान्तरित करने के बाद दूसरे थैले में से
माना लाल गेंद निकालने की घटना A है।

प्रश्न 4.
एक थैले में 4 लाल और 4 काली गेंद है और एक अन्य थैले में 2 लाल और 6 काली गेंदे है। इन दोनों थैले में से एक थैले को यादृच्छया चुना जाता है और उसमें से एक गेंद निकाली जाती है जोकि लाल है। इस बात की प्रायिकता है कि गंद पहले थैले से निकाली गई है ?
हल :
माना पहले थैले को चुनने की घटना को E1 से और दूसरे थैले को चुनने की घटना को E2 से व्यक्त करते हैं।
लाल गेंद निकालने की घटना को A से दर्शाते हैं।
∴ एक थैले को चुनने की प्रायिकता = 

प्रश्न 5.
तीन सिक्के दिये गये हैं एक सिक्के के दोनों ओर चित्त है। दूसरा सिक्का अभिनत है जिसमें चित्त 75% बार प्रकट होता है। और तीसरा सिक्का अनभिनत है। तीनों में से एक सिक्के को यादृच्छया चुना गया और उसे उछाला गया। यदि सिक्के पर चित्त प्रकट हो तो इस बात की क्या प्रायिकता है कि वह दोनों ओर चित्त वाला सिक्का है ?
हल :
तीनों सिक्कों में से एक सिक्का चुनने की प्रायिकता = 
यदि तीनों सिक्कों की घटनायें E1, E2 तथा E3 हैं। और चित्त आने की घटना A है।

प्रश्न 6.
किसी विशेष रोग के सही निदान के लिए रक्त की जाँच 99% असरदार है, जब वास्तव में रोगी उस रोग से ग्रस्त होता है किन्तु 0.5% बार किसी स्वस्थ व्यक्ति की रक्त जाँच करने पर निदान गलत सूचना देता है यानि व्यक्ति को रोग से ग्रस्ति बताता है। यदि किसी जनसंख्या में 0.1% व्यक्ति उस रोग से ग्रस्त है तो क्या प्रायिकता है कि कोई यादृच्छया चुना गया व्यक्ति उस रोग से ग्रस्त होगा यदि उसके रक्त की जाँच में यह बताया जाता है कि उसे यह रोग है ?
हल :
मानो घटनायें E1 = रोग से ग्रस्त रोगी
E2 = रोग से ग्रस्त नहीं रोगी
A = रक्त की जाँच की गई
∴ रोग से ग्रस्त रोगी व्यक्ति की प्रायिकता

कोई यदृच्छया चुना गया व्यक्ति रोग से ग्रस्त होता। यदि रक्त की जाँच में रोग पाये जाने की प्रायिकता

प्रश्न 7.
यह ज्ञात है कि एक महाविद्यालय के छात्रों में से 60% छात्रावास में रहते हैं और 40% छात्रावास में नहीं रहते है। पूर्ववर्ती वर्ष से परिणाम सूचित करते हैं कि छात्रावास में रहने वाले छात्रों में से 30% तथा छात्रावास में नहीं रहने वाले छात्रों में से 20% छात्रों ने A ग्रेड लिया। वर्ष के अन्त में महाविद्यालय के एक छात्र को यादृच्छया चुना गया और यह पाया गया कि उसे A ग्रेड मिला है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि वह छात्र छात्रावास में रहने वाला है ?
हल :
माना छात्रावास में रहने वाले और न रहने वाले छात्रों की E1 और E2 हैं।
अतः छात्रावास में रहने वाले छात्रों की प्रायिकता

प्रश्न 8.
एक बीमा कंपनी ने 2000 स्कूटर चालकों, 4000 कार चालकों और 6000 ट्रक चालकों का बीमा किया। स्कुटर चालक, कर चालक तथा ट्रक चालक के दुर्घटना होने की प्रायिकताएँ क्रमशः 0.01 व 0.15 है। बीमित व्यक्तियों में से एक दुर्घटनाग्रस्त हो जाता है। उस व्यक्ति के स्कूटर चालक होने की प्रायिकता क्या है ?
हल :
माना “स्कूटर चालक का बीमा होना” की घटना = E1
“कार चालक का बीमा होना” की घटना = E2
तथा “ट्रक चालक की बीमा होना” की घटना = E3
∵ बीमा कम्पनी 2000 स्कूटर चालकों, 4000 कार चालकों तथा 6000 ट्रक चालकों का बीमा करती है।
∴ कुल चालकों की संख्या = 2000 + 4000 + 6000
= 12000
स्कूटर चालकों के बीमा होने की प्रायिकता

प्रश्न 9.
एक बहुविकल्पीय प्रश्न का उत्तर देने में एक विद्यार्थी या तो प्रश्न का उत्तर जानता है या वह अनुमान लगाता है। माना कि विद्यार्थी के प्रश्न के उत्तर ज्ञात होने की प्रायिकता  तथा अनुमान लगाने की प्रायिकता  है। यह मानते हुए कि विद्यार्थी के प्रश्न के उत्तर का अनुमान लगाने पर सही उत्तर देने की प्रायिकता  है, इस बात की क्या प्रायिकता है कि विद्यार्थी प्रश्न का उत्तर जनता है यदि यह ज्ञात है कि उसने सही उत्तर दिया है ?
हल :
माना “विद्यार्थी उत्तर जानता है घटना E1 से तथा विद्यार्थी अनुमान लगाता है” घटना E2 से निरूपित की गई है।

प्रश्न 10.
कल्पना कीजिए कि 5% पुरुषों और 0.25% महिलाओं के बाल सफेद हैं एक सफेद बालों वाले व्यक्ति को यादृच्छया चुना गया है। इस व्यक्ति के पुरुष होने की प्रायिकता है? यह मानते हुए कि पुरुषों तथा महिलाओं की संख्या समान है।
हल :
दिया है :
महिलाओं और पुरुषों की संख्या समान है।
माना घटनाएँ E1 = पुरुषों का होना ।
E2 = महिलाओं का होना
A = सफेद बाल होना

प्रश्न 11.
दो दल एक निगम के निदेशक मंडल में स्थान पाने की प्रतिस्पर्धा में है। पहले तथा दुसरे दल के जीतने की प्रायिकताओं क्रमशः 0.6 व 0.4 है। इसके अतिरिक्त यदि पहला दल जीतता है तो एक नये उत्पाद के प्रारम्भ होने की प्रायिकता 0.7 है और यदि दूसरा दल जीतता है तो इस बात की संगत प्रायिकता 0.3 है। प्रायिकता ज्ञात करो कि नया उत्पाद दूसरे दल द्वारा प्रारंभ किया गया था।
हल :
माना घटनायें
E1 = पहले दल की जीत
E2 = दूसरे दल क जीत
= पहला दल नया उत्पादन प्रारम्भ करेगा।
= दूसरा दल नया उत्पादन प्रारम्भ करेगा।
दिया है : पहले दल के जीतने की प्रायिकता = P(E1) = 0.6
दूसरे दल के जीतने की प्रायिकता = P(E2) = 0.4
पहला दल जीतता है तो एक नये उत्पाद के प्रारम्भ होने की प्रायिकता

अब नया उत्पादन दूसरे दल द्वारा प्रारम्भ किये जाने की प्रायिकता

प्रश्न 12.
माना कोई लड़की एक पासा उछालती है। यदि उसे 5 या 6 का अंक प्राप्त होता है तो वह सिक्के का तीन बार उछालती है। और चितों की संख्या नोट करती है यदि उसे 1, 2, 3 या 4 का अंक प्राप्त होता है तो वह एक सिक्के को एक बार उछालती है और यह नोट करती हैं कि उस पर चित्त या पक्ष प्राप्त हुआ। यदि उसे तथ्यतः एक चित्त प्राप्त होता है तो उसके द्वारा उछाले गये पसे पर 1, 2, 3 या 4 प्राप्त होने की क्या प्रायिकता है ?
हल :
एक पासे को उछालने से 6(1, 2, 3, 4, 5, 6) परिणाम प्राप्त होते हैं।
माना घटनाएं E1 = 5 या 6 का प्राप्त होना
E2 = 1, 2, 3, 4 का प्राप्त होना
A = सिक्का उछालने का चित्त प्राप्त होना।
5 या 6 की संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता

जब वह 5 या 6 प्राप्त करती है तब वह सिक्का तीन बार उछालती
(HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT)
एक चित्त प्राप्त होने के तरीके (HTT, THT, TTH) यानी तीन तरीके। एक चित्त प्राप्त होने की प्रायिकता

जब वह 1, 2, 3, 4 प्राप्त करती है तब वह एक सिक्के की एक बार उछालती है।

यदि उसे ठीक एक चित्त प्राप्त होता है तो उसके द्वारा उछाले गये। पासों पर 1, 2, 3 या 4 प्राप्त होने की प्रायिकता

प्रश्न 13.
52 पत्तों की एक भाँति फैंटी गई गड्डी में एक पत्ता खो जाता है। शेष पत्तों से दो पत्ते निकाले जाते हैं नो ईंट के पत्ते है। खो गये पत्ते के ईट का पत्ता होने की क्या प्रायिकता है?
हल :
माना घटनायें E1 = खोया हुआ पत्ता ईंट का है।
E2 = खोयो पत्ता ईंट का नहीं है।
यहाँ 52 पत्तों की गड्डी में 13 पत्ते ईंट के हैं।

(i) जब एक ईंट का पत्ता खो गया हो तब 5 (पत्तों में से 12 पत्ते ईंट के रह जायेंगे।

यहाँ A खो गये पत्तों को प्रदर्शित करता है।
(ii) जब ईंट के पत्ते खोए नहीं है तब यहाँ 13 ईंट के पत्ते हैं।
∴ दो ईंट के पत्ते खींचने की प्रायिकता

प्रश्न 14.
एक थैले में 3 लाल और 7 काली गेंदे है। एक-एक करके बिना प्रतिस्थापन के दो गेंदो का यादृच्छया चयन किया गया है। यदि द्वितीय चयनित गेंद लाल प्राप्त हो तो क्या प्रायिकता है कि प्रथम चयनित गेंद भी लाल है ?
हल :
माना A = पहली बार में लाल गेंद आने की घटना
और B = दूसरी बार में लाल गेंद आने की घटना
तब P(A∩B) = P( 1 लाल और 1 लाल गेंद)

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 16 प्रायिकता एांव प्रायिकता बंटन Ex 16.4

प्रश्न 1.
बताइए कि निम्नलिखित प्रायिकता बंटन में से कौन-से एक यादृच्छिक चर X के लिए संभव है।
(i)

(ii)

(iii)

हल :
(i) प्रायिकताओं का योग
= 0.4 + 0.4 + 0.2
= 1
अतः दिया गया बंटन प्रायिकता बंटन है।
(ii) प्रायकिताओं का योग = 0.6 + 0.1 + 0.2
= 0.9 ≠ 1
अतः दिया गया बंटन, प्रायिकता बंटन नहीं है।
(iii) यहाँ पर एक प्रायिकता P(3) = – 0:1 है जो ऋणात्मक है।
अतः यह बंटन, प्रायिकता बंटन नहीं है।

प्रश्न 2.
दो सिक्कों के युगपत उछाल में चित्तों की संख्या को यादृच्छिक चर X मानते हुए प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
हल :
X के सम्भव मान 0, 1 या 2 हैं।
अब P(X = 0) = P(कोई चित्त नहीं)
= P(पहली उछल में पट और दूसरी उछल से पट)
= P(पहली उछल में पट), P(दूसरी उछल में पट)

प्रश्न 3.
चार खराब संतरे, 16 अच्छे संतरों में भूलवश मिला दिए गए हैं। दो संतरों के निकाल में खराब संतरों की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
हल :
16 अच्छे सन्तरों में 4 खराब सन्तरे मिला दिये गये हैं। अतः कुल सन्तरों की संख्या = 4 + 16 = 20
2 खराब सन्तरे चुनने हैं।
∴ एक खराब सन्तरे की प्रायिकता

प्रश्न 4.
एक कलश में 4 सफेद तथा 3 लाल गेंद हैं। तीन गेंदों के यादृच्छय निकाल में लाल गेंदों की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
हल :
एक कलश में तीन गेंदें निकाली गई हैं। अतः
प्रतिदर्श = S {RRR, RRW, RWR, WRR, RWW, WRW, WWR WWW}
R लाल तथा W सफेद गेंद को व्यक्त करते हैं।
माना X लाल गेंदों की संख्या है। अत: X के सम्भव 3, 2, 1, 2, 1, 0 अथवा 0, 1, 2, 3 है।
∴P(X = 0) = P(कोई लाल नहीं)
= P(WWW)

P(X = 1) = P(RWW, WRW, WWR)
= P(RWW) P(WRW) + P(WWR)

P(X = 2) = P(RRW, ROR, WRR)
= P(RRW) + P(RWR) + P(WRR)

प्रश्न 5.
10 वस्तुओं के ढेर में 3 वस्तुएँ त्रुअपिर्ण है। इस ढेर में से 4 वस्तुओं का एक प्रतिदर्श खराब वस्तुओं की संख्या को यादृच्छिक चर X द्वारा निरूपित किया जता है। ज्ञात कीजिए
(i) X का प्रायिकता बंटन
(ii) P(X ≤ 1)
(iii) P(X < 1)
(iv) P(0 < X < 2)
हल :
दिया है : 10 वस्तुओं के ढेर में 3 खराब है।
अतः अच्छी वस्तुएँ = 10 – 3 = 7
माना X खराब वस्तुओं की संख्या प्रदर्शित करता है। स्पष्ट है कि X के मान 0, 1, 2, 3 होंगे।
P(X = 0) = P(GGGG)
= P(अच्छी वस्तुएँ)

P(X = 1) = P(एक खराब तीन अच्छी)
= P(BGGG) + P(GBGG) + P(GGBG) + P(GGGB)

P(X = 2) = P(दो खराब दो अच्छी)
= P(BBGG) + P(BGGB) + P(GBBG)

P(X = 3) = P(BBBG) + P(BGBB) + P(BBGB) + P(GBBB)

प्रश्न 6.
एक पासो को इस प्रकार भारित किया गया है कि पासे पर सम संख्या आने की संभावना विषम संख्या आने की अपेक्षा दुगुनी है। यदि पासे को बार उछाला गया है, तब दोनों उछालों में पूर्ण वर्गों को यादृच्छिक चर X मानते हुए प्रायकिता बंटन ज्ञात कीजिए ।
हल :
दिया है X पूर्ण वर्गों की संख्या व्यक्त करता है।
एक पासे को उछालने पर समष्टि = {1, 2, 3, 4, 5, 6}।
एक पासे पर पूर्ण योग प्राप्त होने की प्रायिकता = 
∴ पासे पर पूर्ण वर्ग प्राप्त न होने की प्रायिकता =  = 
जब दो बार उछाला जाता है तो n(S) = 36
∴ P(X = 0) = 8 (कोई पूर्ण वर्ग नहीं)

प्रश्न 7.
एक कलश में 4 सफेद तथा 6 लाल गेंद है। इस कलश में से चार गेंदे यादृक्ष्छया निकाली जाती है। सफेद गेंदों की संख्य का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
हल :
माना X सफेछ गेंद व्यक्त करता है। अतः कुल 4 + 6 = 10
से चार गेंद यादृच्छया निकालने पर X के मान 0, 1, 2, 3, 4 होंगे।
∴ P(X = 0) = P(सभी लाल गेंद)

P(X = 1) = P(एक सफेद और 3 लाल गेंद)
= P(WRRR, RWRR, RRWR, RRRW)

P(X = 2) = P(दो सफेद दो लाल)
= P(WWRR, WRWR, WRRW, RRWW)

P(X= 3) = P(तीन सफेद 1 लाल)
= P(WWWR, WWRW, WRWW, RWWW)

P(X = 4) = P(WWWW)

प्रश्न 8.
पासों में एक जोड़े को तीन बार उछालने पर टिकों (doubleth) की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
हल :
माना X टिट्कों (doubleth) की संख्या है।
अतः X के मान 0, 1, 2, 3 होंगे।
एक उछाल में पासों के एक जोड़े पर प्राप्त होने वाले टिट्कों (doubleth) का समुच्चय
= {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
एक जोड़ा पांसों उछालने की सम्भाविति विधियाँ
= 6 x 6 = 36
अतः एक उछाल में एक जोड़े पर एक टिट्क (doubleth) आने की

प्रश्न 9.
पासों के युग्म को उछाला जाता है। माना यादृच्छिक चर। X, पासों पर प्राप्त अंकों के योग को निरूपित करता है। चर X का माध य ज्ञात कीजिए।
हल :
जब दो पासे फेंके जाते हैं, तब परिणामों की संख्या
= 6 x 6
= 36
P(X = 2) = P(1, 1) = 
P(X = 3) = P[(1, 2), (2, 1)] = 
P(X = 4) = P[(1, 3), (2, 2), (3, 1)] = 
P(X = 5) = P[(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)] = 
P(X = 6) = P[(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)] = 
P(X = 7) = P[(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)] = 
P(X = 8) = P[(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)] = 
P(X = 9) = P[(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)] = 
P(X = 10) = P[(4, 6), (5, 5), (6, 4)] = 
P(X = 11) = P[(5, 6), (6, 5)] = 
P(X = 12) = P[(6, 6)] = 

प्रश्न 10.
एक अनभिनत पासो को फेंकने पर प्राप्त संख्याओं का प्रसारण ज्ञात कीजिए।
हल :
माना परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
X पासे पर प्रकट संख्या को व्यक्त करता है। तब X एक यादृच्छिक चर है जो 1, 2, 3, 4, 5 या 6 मानते हैं।
साथ ही P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 
∴ X का प्रायिकता बंटन निम्न है।

प्रश्न 11.
एक बैठक में 70% सदस्यों ने किसी प्रस्ताव का पक्ष लिया और 30% सदस्यों ने विरोध किया। बैठक में सक एक सदस्य को यादृच्छया चुना गया और माना X = 0, यदि उस चयनित सदस्य ने प्रस्ताव का विरोध किया हो तथा X = 1, यदि सदस्य प्रस्ताव के पक्ष में हो तब X का माध्य तथा प्रसारण ज्ञात कीजिए।
हल :
X = 1 पर किसी प्रस्ताव का पक्ष करने वाले सदस्यों की प्रायकिता = 70% =  = 0.70
X = 0 पर सिकी प्रस्ताव का विरेध करने वाले सदस्यों की प्रायिकता = 30% =  = 0:30
∴ प्रायिकता बंटन इस प्रकार है।

प्रश्न 12.
ताश के 52 पत्तों की एक भली-भाँति फेंटी गई गड्डी में से दो पत्ते उत्तरोतर बिना प्रतिस्थापन के निकाले जाते हैं। बादशाहों की संख्या का माध्य, प्रसरण व मानक विचलन ज्ञात करो।
हल :
ताश की एक गड्डी में से यादृच्छया दो पत्ते खींचे जाते हैं।
दोनों पत्तों के बादशाह न होने पर कुल विधियाँ

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 16 प्रायिकता एांव प्रायिकता बंटन Ex 16.5

प्रश्न 1.
यदि एक न्यायय सिक्के को 10 बार उछाला गया हो तो निम्न प्रायिकताएँ ज्ञात करो :
(i) तथ्यतः छः चित
(ii) कम से कम छः चित
(iii) अधिकतम छः चित।
हल :
(i) एक सिक्के को बार-बार उछालना बरनौली परीक्षण होता है। 10 परीक्षणों में चित्तों की संख्या X मानते हैं।

(ii) P(कम से कम 6 चित्त) = p(X ≥ 6)
= p(X = 6) + p(X = 7) + p(X = 8) + p(X = 9) + p(X = 10)

(iii) P(अधिकतम छः चित्त) = p(X ≤ 6)
= p(X = 0) + p(X = 1) + p(X = 2) + p(X = 3) + p(X = 4) + p(X = 5) + p(X = 6)

प्रश्न 2.
एक कलश में 5 सफेद, 7 लाल और 8 काली गेंदे। यदि चार गेंदे एक-एक करके प्रतिस्थापन सहित निकाली जाती है, तो इस बात की क्या प्रायिकता है कि
(i) सभी सफेद गेंद हो
(ii) केवल तीन गेंदे हो
(ii) कोई भी सफेद गेंद नहीं हो
(iv) कम से कम तीन सफेद हो।
हल :
(i) गेंदों की कुल संख्या = 5 + 7 + 8 = 20
सफेद गेदों की संख्या = 5

(ii) पहली बार सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता = 

(iii) p(कोई भी सफेद गेंद नहीं)
अतः अन्य गेंदों की संख्या = 7 + 8 = 15

(iv) p(कम से कम 3 गेंद सफेद) = p(चार) – p(तीन गेंद सफेद)

प्रश्न 3.
एक बाधा दौड़ में एक खिलाड़ी को 10 बाधाएँ पार करनी हैं। खिलाड़ी के द्वारा प्रत्येक बाधा को पार करने की प्रायिकता  है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि वह 2 कम बाधाओं को गिरा देगा (पार नहीं कर पाएगा?
हल :
कुल बाधाओं की संख्या = 10
⇒ n = 10
बाधा को पार करने की प्रायिकता = p = 
बाधा पार न करन की प्रायकिता =  = 
= q
p(दो से कम बाधाओं को पार न करना)

प्रश्न 4.
पाँच पासों को एक साथ फेंका गया है। यदि एक पासे पर सम अंक आने को सफलता माना जाये तो अधिकतम 3 सफलताओं की प्रायिकता ज्ञात करो।
हल : एक पासे को फेंकने पर
S = {1, 2, 3, 4, 5}
∴ n(S) = 6
माना A एक सम संख्या निरूपित करता है।
∴ A = {2, 4, 6}
n(A) = 3

प्रश्न 5.
10% खराब अंडों वाले एक ढेर से 10 अंडे उत्तरोत्तर प्रतिस्थापन के साथ निकाले गऐ है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि 10 अंडों के प्रतिदर्श में कम से कम खाब अंडा है।
हल :
खराब अंडों की प्रयिकता = 10%

10 अंडों के नमूने में कम से कम एक अंडा खराब होने की प्रायिकता
= p(1) + p(2) + p(3) +…
= p(0) + p(1) + p(2) +…+ p(10) – p(0)
= [p(0) + p(1) + p(2) +…+ p(10)] – p(0)
= 1 – p(0)

प्रश्न 6.
एक व्यक्ति एक लॉटरी के 50 टिकट खरीदता है, जिसमें उसके प्रत्येक में जीतने की  प्रायिकता है। इस बात की क्या प्रायिकता हैं कि वह
(i) कम से कम एक बार
(ii) तथ्यतः एक बार
(iii) कम से कम दो बार इनाम जीत लेगा।
हल :
∴ प्रत्येक टिकट जीतने की प्रायिकता = 
प्रत्येक टिकट हारने की प्रायिकता =  = 
(i) कम से कम एक बार जीतने की प्रायिकता

(ii) तथ्यतः एक बार जीतने की प्रायिकता

(iii) कम से कम दो बार जीतने की प्रायिकता
= p(2) + p(3) +…+ p(50)
= [p(0) + p(1) + p(2) +…+ p(50)] – p(0) – p(1)
= 1 – [p(0) + p(1)]

प्रश्न 7.
किसी कारखाने में बने एक बल्ब की 150 दिनों के उपयोग के बाद फ्यूज होने की प्रायिकता 0.05 हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस प्रकार के 5 बल्बों में से
(i) एक भी नहीं
(ii) एक से अधिक नहीं
(iii) एक से अधिक
(iv) कम से कम एक 150 दिनों से उपयोग के बाद फ्यूज हो जायेंगे।
हल :
बल्ब के 150 दिनों बाद फ्यूज होने की प्रायिकता p = 0.05
बल्ब के 150 दिनों बाद फ्यूज न होने की प्रायिकता
q = 1 – p = 1 – 0.05 = 0.95
(i) P(एक भी बल्ब फ्यूज न हो) = P_{(x = 0)} = (0.95)⁵
(ii) P(एक से अधिक न हो) = P(o) + P(1)
= (0.95)⁵ + ⁵C₁ (0.95) (0.05)
= (0.95)⁴ [0.95 + 5 x 0.05] = (0.95)⁴ [0.95 + 0.25]
= (0.95)⁴ x 1.2
= 1.2(0.95)⁴
(iii) P(एक से अधिक) = P(2) + P(3) + P(4) + P(5)
= P(o) + (1) + (2) + P(3) + P(4) + (5) – [P(o) + P(1)]
= 1 – (0.95)⁴ x 1.2 [भाग (ii) से]
(iv) P(कम से कम एक) = P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5)
= P(o) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) – P(o)
= 1 – (0.95)⁵ [भाग (i) से]

प्रश्न 8.
एक बहु-विकल्पीय परीक्षा में 5 प्रश्न है जिनमें प्रत्येक के तीन संभावित उत्तर है जिनमें से केवल एक ही सही उत्तर हैं इसकी क्या प्रायिकता है कि एक विद्यार्थी है कि एक विद्यार्थी केवल अनुमान लगा कर चार या अधिक प्रश्नों के सही उत्तर दे देगा?
हल :
तीन सम्भावित उत्तरों में से एक उत्तर सही है।
सही उत्तर की प्रायिकता = p = 
∴ गलत उत्तर की प्रायिकता = q = 1 – p

प्रश्न 9.
एक सत्य-असत्य प्रकार के 20 प्रश्नों वाली परीक्षा में माना एक विद्यार्थी एक न्यायय एक सिक्के को उछालकार प्रश्न का उत्तर निर्धारित करता है। यदि पासे पर चित प्रकट हो, तो वह प्रश्न का उत्तर ‘सत्य’ देता है और यदि पट प्रकट हो, तो ‘असत्य’ लिखता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह कम से कम 12 प्रश्नों का सही उत्तर देता है।
हल :
p(सिक्का उछालने पर चित आता है)

p(सिक्का उछालने पर चित नहीं आता है)
q = 1 – p

प्रश्न 10.
एक थैले में 10 गेंदें हैं जिनमें से प्रत्येक पर 0 से 9 तक के अंकों में से अंक लिखा है। यदि थैले से 4 गेंदें उत्तरोत्तर पुनः वापस रखते हुए निकाली जाती है, तो इसी क्या प्रायिकता है कि उनमें से किसी भी गेंद पर अंक 0 नहीं लिखा हो?
हल :
एक थैले में 10 गेंदें हैं जिन पर 0 से 9 तक अंकों में से एक अंक लिखा है।
0 अंक वाली एक गेंद प्राप्त होने की प्रायिकता
p =  = 0.1
गेंद पर 0 न लिखा होने की प्रायिकता
q = 1 – p
= 1 – 0.1
= 0.9
अब 4 गेंद निकाली गई हैं।
उनमें से किसी भी गेंद पर अंक 0 लिखा होने की प्रायिकता

प्रश्न 11.
52 ताश के पत्तों की एक भली-भाँति फेंटी गई गड्डी में से 5 पत्ते उत्तरोतर प्रतिस्थापन सहित निकाले जाते है। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) सभी 5 पत्ते हुकुम के हो ?
(ii) केवल 3 पत्ते हुकुम के हो ?
(iii) एक भी पत्ता हुकुम का नहीं हो ?
हल :
एक ताश की गड्डी में कुल 52 पत्ते है उनमें से 13 पत्ते हुकुम के हैं।
एक हुकुम का पत्ता खचने की प्रायिकता

एक हुकुम का पत्ता न खींचने की प्रायिकता
q = 1 – p
(i) P(सभी 5 पत्ते हुकुम के हों)

(ii) P(केवल 3 पत्ते हुकुम के हों)

(iii) P(एक भी पत्ता हुकुम का नहीं है)

प्रश्न 12.
माना चर X का बंटन B(6,  ) द्विपद बंटन हैं सिद्ध करो कि X = 3 अधिकतम प्रायिकता वाला परिणाम है।
हल :
दिया है, B(6,  ) द्विपद बंटन है।

प्रश्न 13.
पासों के एक जोड़ को 4 बार उछाला जाता है। यदि पासों पर प्राप्त अंकों का द्विक होना सफलता मानी जाए तो 2 सफलताओं की प्रायिकता ज्ञात करो।
हल :
पासे के एक जोड़ को उछालने पर
n(S) = 6 x 6
= 36
1 जोड़ पासे से 6 द्विक बन सकते हैं।
[(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)]
∴ पासों पर प्राप्त अंकों का द्विक प्राप्त होने की प्रायिकता

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 16 प्रायिकता एांव प्रायिकता बंटन Miscellaneous Exercise

प्रश्न 1.
दो घटनाएँ A तथा B परस्पर स्वतंत्र कहलाती है यदि
(a) P(P(A)) = P(B)
(b) P(A) + P(B) = 1
(c) P(  ) = [1 – P(A)] [1 – P(B)]
(d) A और B परस्पर अपवर्जी है।
हल :
उत्तर (c) सही है क्योंकि
दिया है A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं।
अतः P(A) = 1 – P(  )
तथा P(B) = 1 – P(  )
∵ P(  ) = P(  ) x P(  )
= [1 – P(A)][1 – P(B)]

प्रश्न 2.
पासों के एक जोड़े को उछालने पर प्रत्येक पासे पर सम अभाज्य अंक प्राप्त करने की प्रायिकता निम्नलिखित में से क्या है ?

हल :
एक पासे पर सम अभाज्य संख्या 2 प्राप्त करने की प्रायिकता = 
दूसरे पासे पर सम अभाज्य संख्या 2 प्राप्त करने की प्रायिकता = 
अतः पासों का एक जोड़ा उछाला जाता है तो प्रत्येक पासे पर सम अभाज्य संख्या 2 आने की प्रायिकता

अत: विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 3.
यदि A और B ऐसी घटनाएँ है कि A⊂B तथा P(B) ≠ 0 तब निम्न में से कौन-सा कथन सत्य है।

हल :
∵ A⊂C = A∩B
= P(A ∩ B)
= P(A)

प्रश्न 4.
ताश के 52 पत्तों की एक भली-भाँति फेंटी गई गड्डी में से दो पत्ते यादृच्छया निकाले जाते हैं। माना यादृच्छिक चर X, इक्कों की संख्या को निरूपति करता है, तब X का माध्य ज्ञात कीजिए।

हल :
ताश की एक गड्डी में से यदृच्छया दो पत्ते खीचे जाते हैं।
दोनों पत्त इक्के न होने की कुल विधियाँ

अतः सही विकल्प (iv) है।

प्रश्न 5.
एक यादृच्छिक चर X मान 0, 1, 2, 3 ग्रहण करता है। चर X का माध्य 1.3 हैं। यदि P(x = 3) = 2P(X = 1) तथा P(X = 2) = 0.3 हो, तो P(X = 0) है।
(i) 0.2
(ii) 0.4
(iii) 0.3
(iv) 0.1
हल :
माना P(X = 3) = 2p(X = 1) = p
अतः p(X = 0) = x हैं।
बारम्बारता बंटन इस प्रकार होगा।

⇒ 1.3 = 0 + p + 0.6 + 6p
⇒ 7p + 0.6 = 1.3
⇒ 7p = 1.3 – 0.6
⇒ 7p = 0.7
⇒ p =  = 0.1
चूँकि x + 2 + 0.3 + 2p = 1
∴ x = 1 – 0.3 – 3 x 0.1
= 1 – 0.6
= 0.4
∴ P(X = 0) = x = 0.4
अतः सही विकल्प (ii) है।

प्रश्न 6.
एक छात्रा के धावक होने की प्रायिकता है। 5 छात्राओं में से 4 छात्राओं की धावक होने की प्रायिकता है :

हल :
एक छात्रा के धावक होने की प्रायिकता = 
∴ एक छात्रा के धावक न होने की प्रायिकता = 
= 
∴ छात्राओं के धावक होने की प्रायिकता बंटन

∴ 4 छात्राओं के धावक होने की प्रायिकता

अत: सही विकल्प (iii) है।

प्रश्न 7.
एक बक्से में 100 वस्तुएँ है जिसमें से 10 खराब हैं। 5 वस्तुओं के नमूने में से, किसी भी वस्तु के खराब नहीं होने का प्रायिकता

हल :
बक्से में वस्तुओं की संख्या = 100
खराब चीजों की संख्या = 10
∴ चीजों खराब होने की प्रायिकता = 
= 
∴ चीजे खराब न होने की प्रायिकता = 
= 
∴ 5 वस्तुओं के नमूने में से किसी भी वस्तु के खराब न होने की प्रायिकता

अतः सही विकल्प (iv) है।

प्रश्न 8.
एक दंपति के दो बच्चे है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए
(i) दोनों बच्चे लड़के है, यदि यह ज्ञात है कि बड़ा लड़का है।
(ii) दोनों बच्चे लड़कियाँ है, यदि यह ज्ञात है कि बड़ा बच्चा लड़की है।
(iii) दोनों बच्चे लड़के है, यदि यह ज्ञात है कि कम से कम एक बच्चा लड़का है।
हल :
(i) S= {MM, MF, FM, FF} = 4
A = दोनों बच्चे लड़के हैं।
= {M, M}
B = बड़ा बच्चा लड़का है।
= {MM, MF}
∴ A∩B = {M, M}

(ii) माना A = दोनों बच्चे लड़की हैं।
= {FF}

(iii) माना A = दोनों बच्चे लड़के हैं।
= {MM}
B = कम से कम एक बच्चा लड़का है।
= {MF, FM, MM}
∴ A∩M = {MM}

प्रश्न 9.
1 से 11 तक के पूर्णाकों में से यादृच्छया दो पूर्णाकों को चुना गया है। दोनों पूर्णाकों के विषय होने की प्रायिकता ज्ञात करो यदि यह ज्ञात है कि दोनों प्रर्णाकों का योग सम है।
हल :
1 से 11 तक की संख्याओं में 3 सम संख्यायें तथा 6 विषम संख्यायें हैं।
माना A = 1 से 11 तक पूर्णांकों में दो विषय संख्यायें चुनने की । घटना
B = दो संख्यायें चुनने की घटना जिनका योग सम हो

प्रश्न 10.
एक आण्विक संरचना के दो सहायक निकाय A तथा B है। पूर्ववर्ती निरीक्षण द्वारा निम्न प्रायिकताएँ ज्ञात है –
P(A का असफल होना) = 0.2
P(केवल B का असफल होना) = 0.15
P(A तथा B का असफल होना) = 0.15
(i) A के असफल होने की प्रायिकता जबकि B असफल हो चुका हो।
(ii) केवल A के असफल होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
माना घटनाएँ A असफल तथा B असफल क्रमशः  और  से प्रदर्शित हैं। तब हम पाते हैं कि = 0.2 तथा P(A तथा B सफल)

प्रश्न 11.
माना A तथा B दो स्वतन्त्र घटनाएँ है। इन दोनों घटनाओं के एक साथ घटित होने की प्रायिकता है  तथा नहीं घटित होने की प्रायिकता  है।
P(A) तथा P(B) ज्ञात कीजिए।
हल :
माना P(A) = x
और P(B) = y
दिया है : A और B स्वतंत्र घटनायें हैं अतः
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

8(x – x²) – 1 + x = 3x
8x – 8x² – 1 + x = 3x
8x² – 6x + 1 = 0
8x² – 4x – 2x + 1 = 0
4x(2x – 1) – 1(2x – 1) = 0
(2x – 1) (4x – 1) = 0
2x – 1 = 0

प्रश्न 12.
अनिल 60% स्थितियों में सत्य कहता है तथा आनन्द 90% स्थितियों में सत्य कहता है। किसी कथन पर उनके एक दुसरे से विरोधाभासी होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ

प्रश्न 13.
तीन व्यक्ति A, B वे C बारी-बारी से एक सिक्का उछालत है। जिसके पहले चित आता है वही जीतता है। यह मानते हुए कि खेल अनिश्चित काल तक जारी रहता है। यदि A खेलना आरंभ करता हो तो उनकी जीत की प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए।
हल :
एक सिक्के को उडालने पर चित्त आने की सम्भावना = 
∵ A खेलना प्रारम्भ करता है अतः A क्रमश: पहले, चौथे, साँतवे………..उछाल पर जीत सकता है।
अतः A के जीतने की सम्भावनायें

प्रश्न 14.
अगले 25 वर्षों में एक व्यक्ति के जीवित रहने की प्रायिकता है तथा उकसी पत्नि के उन्हीं 25 वर्षों जीवित रहने की प्रायिकता  है। प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए जबकि
(i) दोनों 25 वर्ष तक जीवित रहे।
(ii) दोनों में से कम से कम एक 25 वर्षों तक जीवित रहे।
(iii) केवल पत्नि 25 वर्ष तक जीवित रहे।
हल :
माना व्यक्ति के 25 साल तक जीवित रहने की घटना A तथा पत्नी के 25 साल तक जीवित रहने की घटना B है।
अतः स्पष्ट है कि दोनों घटनायें स्वतंत्र हैं।
अत: (i) दोनों के 25 वर्ष तक जीवित रहने की प्रायिकता
= P(A ∩ B)
∵ P(A ∩ B) = P(A).P(B)

(ii) कम से कम एक के 25 साल तक जीवित रहने की प्रायिकता

(iii) केवल पत्नी के जिन्दा होने की प्रायिकता

प्रश्न 15.
बच्चों के तीन समूहों में क्रमशः 3 लड़की और 1 लड़का, 2 लड़कियाँ और 2 लड़के तथा 1 लड़की और 3 लड़के हैं। प्रत्येक समूह में से यादृच्छया एक बच्चे का चयन किया जाता है। इस प्रकार चुने गए तीनों बच्चों में 1 लड़की तथा 2 लड़कों के होने कि प्रायिकता ज्ञात करो।
हल :
माना बच्चों के तीन समूह क्रमशः A, B और C हैं। अतः एक लड़की तथा 2 लड़के यादृच्छया निम्न तरीकों से चुने जा सकते हैं :
(i) समूह A से एक लड़का, समूह B से एक लड़का तथा समूह C से एक लड़की।
अतः इस घटना की प्रायिकता

(ii) समूह A से 1 लड़का, समूह B से एक लड़की और समूह C से 1 लड़का।
अतः इस घटना की प्रायिकता

(iii) समूह A से 1 लड़की, समूह B से एक लड़का और समूह C से 1 लड़का।
अतः इस घटना की प्रायिकता

अतः अभीष्ट प्रायिकता

प्रश्न 16.
प्रथम थैले में 3 काली और 4 सफेद गेंदे है जबकि द्वितीय थैले में 3 सफेद गेंद है। एक अनमिनत पासे को उछाला जाता है। यदि पासे पर 1 या 3 का अंक प्रकट होता है तब प्रथम थैले में से एक गेंद निकाली जाती है तथा यदि अन्य अंक प्रकट होता है। तब द्वितीय थैले में से एक गेंद निकाली जाती है। निकाली गई गेंद के काली होने की प्रायिकता ज्ञात करो।।
हल :
पहले थैले में गेंदों की कुल संख्या 3 + 4 = 7, जिनमें 3 काली तथा 4 सफेद हैं।
तथा दूसरे थैले में गेंदों की कुल संख्या 4 + 3 = 7, जिनमें 4 काली तथा 3 सफेद हैं।
पास को उछालने पर कुल परिणाम
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
माना अंक 1 तथा 3 आने की घटना = E1
तब, P(E1) = 
तथा अंक 2, 4, 5, 6 आने की घटना = E2
तब, P(E2) = 
माना काली गेंदे आने की घटना B है तब

प्रश्न 17.
किसी व्यक्ति ने एक निर्माण कार्य का ठेका लिया हैं वहाँ हड़ताल होने की प्रायिकता 0.65 है। हड़ताल न होने तथा हड़ताल होने की स्थितियों में निर्माण के समयानुसार पूर्ण होने की प्रायिकताएँ क्रमशः 0.80 तथा 0.32 है। निर्माण कार्य के समयानुसार पूर्ण होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
हड़ताल होने की प्रायिकता P(A) = 0.65
हड़ताल न होने की प्रायिकता = 1 – 0.65 = 0.35
माना E समय पर कार्य समाप्त होने की घटना है तब
हड़ताल होने की स्थिति में कार्य पूर्ण होने की प्रायिकता

तथा हड़ताल न होने की स्थिति में कार्य पूर्ण होने की प्रायिकता

निर्माण कार्य के समायनुसार पूर्ण होने की प्रायिकता

= 0.65 x 0.32 + 0.35 x 0.80
= 0.208 + 0.280
अतः अभीष्ट प्रायिकता = 0:488 है।

प्रश्न 18.
प्रथम थैले में 8 सफेद तथा 7 काली गेंद है जबकि द्वितीय थैले में 5 सफेद और 4 काली गेंदे है। प्रथम थैले में से एक गेंद का यादृच्छया चयन किया जाता है और उसे द्वितीय थैले की गेंदों के साथ मिला दिया जाता है। तब इसमें से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाली गई गेंद सफेद है।
हल :
दिया है : I में 8 सफेद और 7 काली तथा II में 5 सफेद और 4 काली गेंद है।
एक गेंद यादृच्छया पहले थैले में दूसरे में रखी जाती है।
अतः एक सम्भावना यह है कि I में से निकाली गेंद माना सफेद
तो I थैले में से सफेद गेंद चुनने की प्रायिकता = 
अब II थैले में सफेद गेंदों की संख्या = 5 + 1 = 6
अतः II में से सफेद गेंद चुनने की प्रायिकता = 
अतः जब ये दोनों घटना साथ-साथ होती है तो
प्रायिकता

दूसरी संभावना यह है कि थैले में से काली गेंद निकाली गई है
तो I थैले में से काली गेंद चुनने की प्रायिकता = 
अब II थैले में काली गेंद की संख्या = 4 + 1 = 5
अत: सफेद गेंद चुनने की प्रायिकता = 
दोनों घटनाओं के एक साथ होने की प्रायिकता

∵ दोनों घटनायें परस्पर अपवर्जी हैं अत: केवल एक ही घटना हो सकती है।
अतः अभीष्ट प्रायिकता

प्रश्न 19.
एक परीक्षा में एक बहुविकल्पीय प्रश्न जिसके चार विकल्प है का उत्तर देने में एक विद्यार्थी या तो अनुमान लगाता है या नकल करता है या प्रश्न का उत्तर जानता है। विद्यार्थी के द्वारा अनुमान लगाने तथा नकल करने की प्रायिकता क्रमशः 1/3 व 1/16 हैं। उसके द्वारा सही उत्तर दिए जाने की प्रायिकता 1/8 है। जबकि यह ज्ञात है कि उसने नकल की है। विद्यार्थी के द्वारा यादृच्छया निकाली जाती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए जबकि यह ज्ञात है कि उसने सही उत्तर दिया है।
हल :
विद्यार्थी के द्वारा अनुमान लगाने की प्रायिकता,
P(A) = 
तथा विद्यार्थी के द्वारा नकल करने की प्रायिकता
P(B) = 
विद्यार्थी के द्वारा उत्तर जानने की प्रायिकता,

माना E उत्तर के सही होने की घटना है तब

विद्यार्थी के द्वारा प्रश्न का उत्तर जानने की प्रायिकता जबकि उसने उत्तर दिया है।

प्रश्न 20.
एक पत्र दो शहरों TATANAGAR या CALCUTTA में से किसी एक शहर से आया हुआ है। पत्र के लिफाफे पर केवल दो क्रमागत अक्षर TA दिखाई देते है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पत्र
(i) CALCUTTA
(ii) TATANAGAR से आया हुआ है।
हल :
माना E1 = पत्र Calcutta से आने की घटना
E2 = पत्र Tatanagar से आने की घटना
A = दो क्रमशः लिखे अक्षर TA लिफाफे पर होने की घटना

प्रश्न 21.
एक निर्माता के पास तीन यन्त्र संचालक A, 1% त्रुटिपूर्ण वस्तुएँ उत्पादित करता है, जबकि अन्य दो संचालक B तथा C क्रमशः 5% तथा 7% टिपूर्ण वस्तुएँ उत्पादित करता है। A कार्य पर कुल समय का 50% लगाता है, B कुल समय का 30% तथा C कुल समय का 20% लागत है। यदि एक त्रुटिपूर्ण वस्तु उत्पादित है तो इस की क्या प्रायिकता है यह यंत्र A से उत्पादित है ?
हल :
माना E1 = मशीन A द्वारा उत्पादित सामग्री,
E2 = मशीन B द्वारा उत्पादित सामग्री,
E3 = मशीन C द्वारा उत्पादित सामग्री,
तो E1, E2 तथा E3 परस्पर अपवर्जी तथा असंयुक्त घटनाएँ हैं।

प्रश्न 22.
किसी यादृच्छिक चर X का प्रायकिता बंटन P(X) निम्न है।

(i) k का मान ज्ञात कीजिए।
(ii) P(X < 2), P(X ≤ 2) तथा (X ≥ 2) का मान ज्ञात करो।
हल :
‘X’ का प्रायिकता बंटन प्रश्नानुसार

प्रश्न 23.
एक यादृच्छिक चर X सभी ऋणेतर पूर्णांक मान ग्रहण कर सकता है तथा चर X की मान r के ग्रहण करने की प्रायिकता के समानुपाती है जहाँ 0 < ∝ < 1 तब P(X = 0) ज्ञात कीजिए। हल :
दिया है

प्रश्न 24.
माना X एक यादृच्छिक चर है जो मान x1, x2, x3, x4, इस प्रकार ग्रहण करता है कि
2P(X = x1) = 3P(X = x2) = 4P(X = x3) = 5P(X = x4)
चर X का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है : 2P(X = x1) = 3P(X = x2) = 4P(X = x3) = 5P(X = x4)
अतः माना
2P(X = x1) = 3P(X = x2) = 4P(X = x3) = 5P(X = x4) = k

प्रश्न 25.
एक न्याय्य सिक्के को एक चित्त अथवा पाँच पट तक उछाला जाता है। यदि x सिक्के की उछालों की संख्या को निरूपित करता हो तो X का माध्य ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है : x सिक्के की उछालों की संख्या सिक्के को एक चित्त या पाँच पर आने तक उछाला जाता है। अतः स्पष्ट है कि X = 1 पर यदि चित्त आता है तो उछाल बन्द कर दी जायेगी और यदि पट आता है तो दूसरी बार उछाला जायेगा। अतः स्पष्ट है कि यह क्रिया अधिकाधिक 5 पट आने की तक होगी।
∴ X के मान 1, 2, 3, 4 होंगे।
S = H, TH, TTH, TTTH या TTTTH
अतः पहली उछाल पर चित्त या पट आने की प्रायिकता

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 15 रैरिवक प्रोग्रामन Ex 15.1

प्रश्न 1.
निम्न रैखिक प्रोगामन समस्याओं को आलेखीय विधि से हल करो
निम्नतम Z = – 3x + 4y
व्यवरोध x + 2y ≤ 8
3x + 2y ≤ 12
तथा x ≥ 0, y ≥ 0
हल :
अवरोध के रूप में दी गई सभी असमिका को समीकरणों में बदलने पर,
x + 2y = 8 …(1)
3x + 2 = 12 …(2)
असमिका x + 2 = 8 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र—
रेखा x + 2y = 8 निर्देशी अक्षों को A(8, 0) तथा B(0, 4) बिंदुओं पर मिलती है।
x + 2y = 8 के मानों के लिए सारणी

A(8, 0), B(0, 4)
बिंदुओं A तथा B को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं।
असमिका में मूल बिन्दु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर 0 + 2(0) = 0 < 8 असमिका सन्तुष्ट होती हैं। अतः असमिका को हल क्षेत्र मूल बिन्दु की ओर होगा।
असमिका 3r + 2y ≤ 12 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र–
रेखा 3x + 2y = 12 निर्देशी अर्को को क्रमश: C(4, 0) तथा D(0, 6) बिंदुओं पर मिलती है।
3x + 2y = 12 के मानों के लिए सारणी

C(4, 0), D(0, 6)
बिन्दु C और D को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिन्दु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर 3(0) + 2(0) = 0 < 12 असमिका सन्तुष्ट होती है। अत: असमिका का हल थक्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा । x > 0, y > 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
चूंकि प्रथम पाद का प्रत्येक बिंदु इन दोनों असमिकाओं को सन्तुष्ट करता है। अतः असमिकाओं x ≥ 0 तथा y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र प्रथम पाद है।

छायांकित क्षेत्र QCEB उपरोक्त असमिकाओं का उभयनिष्ठ क्षेत्र प्रदर्शित करता है। यह क्षेत्र दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का हल क्षेत्र है। छायांकित सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं के निर्देशांक O(0, 0), C(4, 0), E(2, 3) तथा B(0, 4) है। जहाँ बिंदु E को दोनों रेखाओं।
x + 2y = 8 तथा 3x + 2y = 12 के प्रतिच्छेद से प्राप्त किया गया है। इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन के मान निम्न तालिका में दिये गये है।

सारणी से स्पष्ट है कि बिंदु C(4, 0) पर फलन का मान निम्नतम है। अतः x = 4, y = 0 दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का इष्टतम हल है तथा निम्नतम मान – 12 है।

प्रश्न 2.
अधिकतम Z = 3x + 4y
ध्यवरोध x + y ≤ 4
तथा x ≥ 0, y ≥ 0
हल :
व्यवरोध के रूप में दी गई समिका x + y ≤ 4 को समीकरण में परिवर्तित करने पर
x + y = 4
असमिका x + y = 4 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा x + y = 4 निर्देशी अक्षों को क्रमशः A(4, 0) तथा B(0, 4) बिंदुओं पर मिलती है।
x + y = 4 के मानों के लिए सारणी

A(4,0); B(0, 4)
बिंदुओं A तथा B को अंकित कर रेखा का आलेख खचते हैं।
असमिका में मूल बिंदु प्रतिस्थापित करने पर 0 + 0 ≤ 0 ≤ 4 असमिका को सन्तुष्ट करते हैं। अत: हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
x ≥ 0 तथा y ≥ 0

द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र चूंकि प्रथम पद का प्रत्येक बिंदु इन दोनों असमिकाओं को सन्तुष्ट करता है। अतः असमिकाओं x ≥ 0 तथा y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र प्रथम पाद है।
छायांकित क्षेत्र OAB उपरोक्त असमिकाओं का उभयनिष्ठ क्षेत्र प्रदर्शित करता है। यही क्षेत्र दी गई रैखिक प्रोग्रामन संख्या का सुसंगत हल क्षेत्र है। छायांकित सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं के निर्देशांक O(0, 0), A(4, 0) तथा B(0, 4) हैं।
इन बिन्दुओं पर उद्देश्य फलन के मान निम्न तालिका में दिये गये हैं।

सारणी से स्पष्ट है कि बिंदु (0, 4) पर
फलन का मान अधिकतम है। अतः x = 0, y = 4 पर दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का इष्टतम हल है तथा अधिकतम मान Z = 16 है।

प्रश्न 3.
निम्नतम Z = – 50x + 20y
व्यवरोध 2x – y ≥ – 5
3x + y ≥ 12
2x – 3y ≤ 12
तथा x ≥ 0, y ≥ 0
हल :
यवरोध के रूप में दी गई असमिकाओं को समीकरण के रूप में लिखने पर।
2x – y = – 5 …(1)
3x + y = 12 ….(2)
2x – 3y = 12
असमिका 2x – y = – 5 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र
रेख 2x – y = – 5 निर्देशी अक्षों को क्रमश: A(  ,0) तथा B(0, 5) बिंदुओं पर मिलती है।
x – y = – 5 के मानों के लिए सारणी

A(-5/2, 0); B(0, 5)
बिंदुओं A तथा B को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते है। असमिका में मूल बिंदु प्रतिस्थापित करने पर
2(0) – (0) = 0 ≥ = – 5
असमिका को सन्तुष्ट करते है अतः समस्या का हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
3x + y ≥ 12 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा 3x + y = 12 निर्देशी अक्षों को क्रमशःA(4,0) तथा B(0, 12) बिंदुओं पर मिलती है।
3x + y =12 के मानों के लिए सारणी

C(4, 0); D(0, 12)
बिंदुओं C तथा D को अंकित कर रेखा का आलेख खचते है। असमिका में मूल बिंदु प्रतिस्थापित करने पर
3(0) + 0 = 0 ≥ 12
अतः असमिका सन्तुष्ट नहीं होती है। इसलिये असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत ओर होगा।
2x – 3y ≤ 12 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा 2x – 3y = 12 निर्देशी अक्षों को क्रमशः A(6,0) तथा B(0, -4) बिंदुओं पर मिलती है।
2x – 3y = 12 के मानों के लिए सारणी

E(6, 0); F(0, – 4)
बिंदुओं E तथा F को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिंदु प्रतिस्थापित करने पर ।
2(0) – 3(0) = 0 ≤ 12
असमिका को सन्तुष्ट करते हैं। अतः असमिका का हल क्षेत्र मूल बंदु की ओर ही होगा।
x ≥ 0 तथा y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
चूंकि प्रथम पाद में प्रत्येक बिंदु इन दोनों असमिकाओं को सन्तुष्ट करता है अतः सुसंगत हुल क्षेत्र प्रथम पाद होगा।
2x – y = – 5 तथा
3x + y = 12 का प्रतिच्छेद बिंदु

आलेख में छांयाकित क्षेत्र एक अपरिबद्ध क्षेत्र है जो दिये गये सभी व्यवरोधों को सन्तुष्ट नहीं करता।
अतः दिये गये अवरोधों के लिये उद्देश्य फलन का कोई निम्नतम मान विद्यमान नहीं है।

प्रश्न 4.
निम्नतम Z = 3x + 5y
व्यवरोध x + 3y ≥ 3
x + y ≥ 2
तथा x ≥ 0, y ≥ 0
हल :
व्यवरोध के रूप में दी गई असमिकाओं को समीकरण में परिवर्तित करने पर
x + 3y = 3 ….(1)
x + y = 2 …(2)
असमिका x + 3y ≥ 3 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा x + 3y = 3 निर्देशी अक्षों को क्रमशः A(3, 0) तथा B(0, 1) बिंदुओं पर मिलती है।
x + 3y = 3 के गानों के लिए सारणी

A(3, 0), B(0, 1)
बिंदुओं A(3, 0) तथा B(0, 1) को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूलबिंदु प्रतिस्थापित करने पर
0 + 3(0) = 0 ≥ 3
अतः असमिका सन्तुष्ट नहीं होती है, इसलिये असमिका का हल क्षेत्र मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा।
असमिका x + y ≥ 2 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा x + y = 2 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिंदु C(2, 0) तथा D(0, 2) बिंदुओं पर मिलती है।
x + y = 2 के मानों के लिए सारणी

C(2, 0); D(0, 2)
बिंदुओं C(2, 0) तथा D(0, 2) को अंकित करके रेखा का आलेख खींचते है। असमिका में मूल बिंदु प्रतिस्थापित करने पर,
0 + 0 = 0 ≥ 2
अत: असमिका सन्तुष्ट नहीं होती है इसलिये असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत और होगा।
x ≥ 0 तथा y ≥ 0
चूँकि प्रथम पाद में प्रत्येक बिंदु इन दोनों असमिकाओं को सन्तुष्ट करता है। अतः सुसंगत हल क्षेत्र प्रथम पाद में होगा।

x + 3y = 3 तथा x + y = 2 के प्रतिच्छेद बिंदु E के निर्देशांक होंगे।
छायांकित क्षेत्र AED सुसंगत अपरिबद्ध है। उपरोक्त असमिकाओं का उभयनिष्ठ क्षेत्र प्रदर्शित करता है। यह क्षेत्र दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का सुसंगत हल क्षेत्र है। इस क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं के निर्देशांक A(3, 0), E(  ,  ) D(0, 2) हैं।
इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन के मान निम्न तालिका में दिये गये हैं।

बिन्द,	x निर्देशांक	y निर्देशांक	उद्देश्य फलन Z = 3x+4y
O	3	0	ZO = 3×3+5(0) = 0
E			ZE =  = 7
D	0	2	ZD = 3(0)+5(2) = 10

सारणी से स्पष्ट है कि बिंदु E(  ,  ) पर फलन का मान निम्नतम है। अतः x =  , y =  पर दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का इष्टतम हल है तथ निम्नतम मान Z = 7 है।

प्रश्न 5.
निम्नतम और अधिकतम मान ज्ञात कीजिए
जहाँ Z = 3x + 9y
व्यवरोध x + 3y ≤ 60
x + y ≥ 10
तथा x ≥ 0,y ≥ 0
हल :
व्यवरोध के रूप में दी गई असमिकाओं को समीकरण में बदलने पर,
x + 3y = 60 …(1)
x + y = 10 …(2)
x = y …(3)
सबसे पहले हम (1) से (3) तक ही रैखिक समीकरणों के निकाय के सुसंगत क्षेत्र का आलेख खींचते हैं। सुसंगत क्षेत्र ABCD को चित्र में दिखाया गया है। क्षेत्र परिबद्ध है। कोनीय बिंदुओं A, B, C और D के निर्देशांक क्रमश: (0, 10), (5, 5), (15, 15) और (0, 20) है। अब हम Z के न्यूनतम और अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए कोनीय बिंदु विधिा का उपयोग करते हैं।

अत: Z का न्यूनतम मान 60 है जो कोनीय बिन्दु B(5, 5) पर है। Z का अधिकतमान मान सुसंगत क्षेत्र के दो कोनीय बिंदुओं प्रत्येक C(15, 15) और D(0, 20) पर 180 प्राप्त होता है।

प्रश्न 6.
निम्नतम Z = x + 2y
व्यवरोध 2x + y ≥ 3
x + 2y ≥ 6
तथा x ≥ 0, y ≥ 0
हल :
व्यवरोध के रूप में दी गई असमिकाओं को समीकरण में व्यक्त करने पर,
2x + y = 3 …(1)
x + 2y = 6 …(2)
असमिका 2x + y ≥ 3 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा 2x + y = 3 निर्देशी अक्षों को बिंदु A(3/2, 0) तथा B(0, 3) पर मिलती है।
2x + y = 3 के मानों के लिए सारणी

A(3/2, 0), B(0, 3)
बिंदुओं (3/2, 0) तथा B(0, 3) को अंकित करते हुये रेख का समीकरण खींचते हैं।
असमिका में मूल बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर
2(0) + (0) = 0 ≥ 3
अतः असमिका सन्तुष्ट नहीं होती है, इसलिये असमिका का सुसंगत हल क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत ओर होगा।
असमिका x + 2y ≥ 6 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र
रेखा x + 2y = 6 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिंदु C(6, 0) तथा B(0, 3) पर मिलती है।
x + 2y = 6 के मानों के लिए सारणी

C(6, 0), B(0, 3)
बिंदुओं C(6, 0) तथा B(0, 3) को अंकित करते हुए रेखा का आलेख खचते है।
असमिका में मूल बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर
0 + 2(0) ≥ 6
असमिका को सन्तुष्ट नहीं करता है। अतः असमिका का सुसंगत हल क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत और होगा।
असमिका r ≥ 0 तथा y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
चूँकि प्रथम पाद में प्रत्येक बिंदु इन दोनों असमिकाओं को सन्तुष्ट करता है। अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम पाट में होगा।
रेखाओं 2x + y = 3 और x + 2y = 6 के प्रतिच्छेद बिंदु B के निर्देशांक x = 0 तथा y = 3 हैं।

छायांकित क्षेत्र OCB में रेखा CB पर स्थित प्रत्येक बिंदु दी हुई। असमिकाओं को सन्तुष्ट कर रहा है। अतः इन बिंदुओं पर फलन के निम्नतम मान निम्न सारणी में दिये गये हैं।

उपरोक्त सारणी से स्पष्ट है कि रैखिक प्रोग्रामन समस्या का इष्ट्तम हल रेखा BC पर स्थित प्रत्येक बिंदु है तथा इन बिंदुओं पर निम्नतम मान Z = 6 है।

प्रश्न 7.
निम्नतम और अधिकतम मान ज्ञात कीजिए-
जहाँ Z = 5x + 10y
व्यवरोध x + 2y ≤ 120
x + y ≥ 60
x – 2y ≥ 0
x ≥ 0, y ≥ 0
हल :
व्यवरोध के रूप में दी गई असमिकाओं को समीकरण में व्यक्त करने पर
x + 2y = 120 …..(1)
x + y = 60 …(2)
x – 2y = 0 …(3)
असमिका x + 2y ≤ 120 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा x + 2y = 120 निर्देशी अक्षों को बिंदु A(120, 0) तथा B(0, 60) पर मिलती है अतः
x + 2y = 120 के मानों के लिए सारणी

A(120, 0); B(0, 60)
बिंदुओं A(120, 0) तथा B(0, 60) को अंकित करते हुये आलेख खींचते हैं।
असमिका में मूल बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर,
0 + 2(0) = 0 ≤ 120
दी हुई असमिका को सन्तुष्ट करते है। अतः असमिको का सुसंगत हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
असमिका x + y ≥ 60 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा x + y = 60 निर्देशी अक्षों के बिंदु C(60, 0) तथा (0, 60) पर मिलती है।
x + y = 60 के मानों के लिए सारणी

C(60, 0); D(0, 60)
बिंदुओं C(60, 0) और D(0, 60) को अंकित करते हुये रेखा का आलेख खींचते हैं।
असमिका में मूल बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर
0 + 0 ≥ 60
असमिका को सन्तुष्ट नहीं करते है। अतः असमिका का सुसंगत हल क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत ओर होता है।
असमिका x – 2y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा x – 2y = 0 निर्देशी अक्षों के बिंदु E(0, 0) तथा F(60, 30) पर मिलती है।
x – 2y = 0 के मानों के लिए सारणी

E(0, 0); F(60, 30)
बिंदुओं E(0, 0) तथा F(60, 30) को अंकित करते हुये रेखा को आलेख खींचते है।
असमिका में मूल बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर,
0 – 2(0) = 0
असमिका को सन्तुष्ट करते हैं। अतः असमिका का सुसंगत हल मूल बिंदु की ओर होगा।
x ≥ 0,y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
चूँकि प्रथम पाद में प्रत्येक बिंदु इन दोनों असमिकाओं को सन्तुष्ट करता है। अतः सुसंगत हल क्षेत्र प्रथम पाद में होगा।
रेखा x + 2y = 120 तथा x + y = 60 के प्रतिच्छेद बिंदु के निर्देशांक (0, 60) होंगे।
रेखा x + 2y = 120 तथा x – 2y = 0 के प्रतिच्छेद बिंदु के निर्देशांक (60, 30) होंगे।
रेखा x + y = 60 तथा x – 2y = 0 के प्रतिच्छेद बिंदु के निर्देशांक (20, 40) हैं।

छायांकित क्षेत्र ACEF उपरोक्त असमिकाओं का उभयनिष्ठ क्षेत्र प्रदर्शित करता है। यह क्षेत्र दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का सुसंगत हल क्षेत्र है। इस क्षेत्र के कोनीय बिन्दुओं के निर्देशांक A(120, 0), C(60, 0), E(40, 20) तथा F(60, 30) हैं।
इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन कै मान निम्नलिखित सारणी में दिये गये है।

उपरोक्त सारणी से स्पष्ट है कि रैखिक प्रोग्रामन समस्या का इष्टतम हल बिंदु (60, 0) पर निम्नतम मान 300 तथा बिंदु A(120, 0) तथा F(60, 30) को मिलाने वाली रेखा के प्रत्येक बिंदु पर अधिकतम मान 600 है।
अत: बिंदु (60, 0) पर निम्नतम मान Z = 300
बिंदु (120, 0) तथा बिंदु (60, 30) वाली रेखा पर अधिकतम मान Z = 600.

प्रश्न 8.
अधिकतम Z = x + y
व्यवरोध x – y ≤ – 1
– x + y ≤ 0
तथा x ≥ 0, y ≥ 0
हल :
व्यवरोध के रूप में दी गई असमिकाओं को समीकरण में व्यक्त करने पर,
x – y = – 1 …(1)
– x + y = 0 …(2)
असमिका x – y ≤ – 1 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र
रेखा x – y = – 1 निर्देशी अक्षों के बिंदु A(-1, 0) तथा B(0, 1) पर मिलती है।
x – y = – 1 के मानों के लिए सारणी

A(-1, 0); B(0, 1)
बिंदुओं A(-1, 0) तथा B(0, 1) को अंकित करते हुये रेखा का आलेख खींचते हैं।
असमिका में मूल बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर
0 – 0 ≤ – 1
असमिका को सन्तुष्ट नहीं करता है। अतः असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत ओर होगा।
असमिका – x + y ≤ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा – x + y = 0 निर्देशी अक्षों को बिंदु C(0, 0) तथा D(1, 1) पर मिलती है।
– x + y = 0 के मानों के लिए सारणी

C(1, 1); D(2, 2)
बिंदुओं C(0, 0) तथा D1, 1) को अंकित करते हुये रेखा का आलेख खचते हैं।
असमिका में मूल बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर,
– (0) + 0 = 0 ≤ 0
असमिका को सन्तुष्ट करता है। अतः असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
x ≥ 0 तथा y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
चूँकि प्रथम पाद में प्रत्येक बिंदु इन दोनों असमिकाओं को सन्तुष्ट करता है। अतः सुसंगत हल क्षेत्र प्रथम पाद ही होगा।

आलेख से स्पष्ट है कि बिंदुओं A(-1, 0) तथा B(0, 1) को मिलाने वाली रेखा, बिंदु C(1, 1) तथा D(2, 2) को मिलाने वाली रेखा के समान्तर है।
अतः असमिकाओं का उभयनिष्ठ सुसंगत हल सम्भव नहीं है।
अतः दिये गये अवरोधों के लिये उद्देश्य फलन का कोई अधिकतम मान विद्यमान नहीं है।

प्रश्न 9.
निम्नतम Z = 3x + 2y
व्यवरोध x + y ≥ 8
3x + 5y ≤ 15
तथा x ≥ 0, y ≥ 0
हल :
व्यवरोधों के रूप में दी गई असमिकाओं को समीकरण के रूप में व्यक्त करने पर
x + y = 8 …(1)
3x + 5y = 15 …(2)
असमिका x + y ≥ 8 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा x + y = 8 निर्देशी अक्षों को बिंदु A(8, 0) तथा B(0, 8) पर मिलती है।
x + y = 8 के मानों के लिए सारणी

A(8, 0); B(0, 8)
बिंदुओं A(8, 0) तथा B(0, 8) को अंकित करते हुये रेखा को आलेख खींचते है।
असमिका में मूल बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर,
0 + 0 = 0  8
असमिका को सन्तुष्ट नहीं करता है। अतः असमिका को हल क्षेत्र । मूल बिंदु के विपरीत ओर होगा।
असमिका 3x + 5y ≤ 15 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा 3x + 5y = 15 निर्देशी अक्षों को बिंदु C(5,0) तथा D(0, 3) पर मिलती है।
3x + 5y = 15 के मानों के लिए सारणी

C(5, 0); D(0, 3)
बिंदुओं C(5, 0) तथा D(0, 3) को अंकित कर आलेख खचते हैं।
असमिका में मूल बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर 3(0) + 5(0) = 0 ≤ 15 असमिका को सन्तुष्ट करता है। अतः असमिका हल क्षेत्र मूल बिंदु का ओर होगा।
x ≥ 0 तथा y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
चूंकि प्रथम पाद में प्रत्येक बिन्दु इन दोनों असमिकाओं को सन्तुष्ट करती है। अतः सुसंगत हल क्षेत्र प्रथम पाद ही होगा।

आलेख से स्पष्ट है कि दी गई असमिकाओं का कोई उभयनिष्ठ हल क्षेत्र नहीं है। अतः दिये गये अवरोधों के लिये उद्देश्य फलने का कोई निम्नतम मान विद्यमान नहीं है।

प्रश्न 10.
अधिकतम
Z = – x + 2y
व्यवरोध x ≥ 3
x + y ≥ 5
x + 2y ≤ 6
तथा y ≥ 0
हल :
व्यवरोधों के रूप में दी गई असमिकाओं को समीकरण रूप में व्यक्त करने पर,
x = 3 ….(1)
x + y = 5 …(2)
x + 2y = 6 …(3)
y = 0
असमिका x + y ≥ 5 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा x + y = 5 निर्देशी अक्षों को बिंदु A(5, 0) तथा B(0, 5) पर मिलती है।
x + y = 5 के मानों के लिए सारणी

A(5, 0); B(0, 5)
बिंदु A(5, 0) तथा B(0, 5) को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते है।
असमिका में मूल बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर 0 + 0 = 0 ≥ 5 असमिका को सन्तुष्ट नहीं करता है। अतः सुसंगत हल क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत ओर होगा।
असमिका x + 2y ≥ 6 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र–रेखा x + 2y = 6 निर्देशी अक्षों को बिंदु C(6, 0) तथा D(0, 3) पर मिलती है।
x + 2y = 6 के मानों के लिए सारणी

C(6, 0); D(0, 3)
बिंदु C(6, 0) तथा D(0, 3) को अंकित करते हुये रेखा का आलेख खींचते हैं।
असमिका में मूलबिंदु को प्रतिस्थापित करने पर 0 + 2(0) = 0 ≥ 6 असमिका को सन्तुष्ट नहीं करती है। अत: सुसंगत हल क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत ओर होगा।

असमिका x ≥ 3, y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र रेखा x = 3 का आलेख y के प्रत्येक मान के लिये प्रथम पाद में होगा तथा y = 0 का क्षेत्र भी प्रथम पाद,में ही होगा ।
आलेख से स्पष्ट है कि दी गई असमिकाओं का कोई उभयनिष्ठ हल क्षेत्र नहीं है। अत: दिये गये व्यवरोधों के लिये उद्देश्य फलन का कोई अधिकतम मान विद्यमान नहीं है।

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 15 रैरिवक प्रोग्रामन Ex 15.2

प्रश्न 1.
एक आहार विज्ञानी दो प्रकार के भोज्यों को इस प्रकार मिलाना चाहती है कि प्राप्त मिश्रण में विटामिन A की कम से कम 8 इकाई तथा विटामिन C की कम से कम 10 इकाई विद्यमान हो। भोज्य I में विटामिन A2 इकाई प्रति किलोग्राम तथा विटामिन C1 इकाई प्रति किलोग्राम तथा भोज्य II में विटामिन A, 1 इकाई प्रति किलोग्राम तथा विटामिन C2 इकाई प्रति किलोग्राम विद्यमान है। भोज्य I व II को प्रति किलोग्राम खरीदने की लागत क्रमशः Rs 5 ध Rs 7 है। इस प्रकार के मिश्रण की निम्नतम लागत ज्ञात कीजिये। समस्या का गणितीय सूत्रीकरण करते हुए हल कीजिए।
हल :
माना भोज्य I की x किग्रा तथा भोग्य II की y किग्रा. की मात्रा मिश्रण में है।
∴प्रश्नानुसार 5 प्रति किग्रा को दर से x किग्रा का मूल्य
= Rs 5x
तथा Rs 7 प्रति किग्रा की दर से y किग्रा का मूल्य
= Rs 7y
∴मिश्रण का कुल लागत न्यूनतम मूलय = 5x + 7y
अत: न्यूनतम मूल्य उद्देश्य फलन z = 5x + 7y
मिश्रण में भोज्य I के x किग्रा मात्रा में विटामिन A की कुल इकाई
= 2x
तथा मिश्रण में भोज्य II के y किग्रा मात्रा में विटामिन A की कुल इकाई = y
∴प्रश्नानुसार व्यवरोध 2x + y ≥ 8 ….(1)
इस प्रकार मिश्रण में भोज्य I के x किग्रा. मात्रा में विटामिन C की कुल इकाई = x
तथा मिश्रण में भोज्य II के y किग्रा मात्रा में विटामिन C की कुल इकाई = 2y
∴ प्रश्नानुसार व्यवरोध x + 2y = 10 …(2)
तथा
x ≥ 0, y ≥ 0
अतः समस्या का गणितीय सूत्रीकरण
न्यूनतम लागत मूल्य फलन
z = 5x + 7y
2x + y ≥ 8
x + 2y ≥ 10
x ≥ 0, y ≥ 0
व्यवरोध के रूप में प्राप्त असमिकाओं को समीकरण के रूप में व्यक्त करने पर
2x + y = 8 …(1)
x + 2 = 10 …(2)
असभिका 2x + y ≥ 8 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा 2 + y = 8 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिंदु A(4, 0) तथा B(0, 8) पर मिलती है।
2x + y = 8 के मानों के लिए सारणी

A(4, 0); B(0, 8)
बिंदु A(4, 0) तथा B(0, 8) को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते है।
असमिका में मूल बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर 2(0) + 0 = 0 ≥ 8 असभिका सन्तुष्ट नहीं होती है।
अत: समस्या का सुसंगत हुल क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत और होगा।
असमिका x + 2y ≥ 10 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा x + 2y = 10 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिंदु C(10, 0) तथा D(0, 5) पर मिलती है।
x + 2y = 10 के मानों के लिए सारणी

C(10, 0); D(0, 5)
बिंदु C(10, 0) तथा D(0, 5) को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं।
असमिका में मूल बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर 0 + 2(0) = 0 ≥ 10 असमिका सन्तुष्ट नहीं होती है। अत: समस्या का हल क्षेत्र मूल बिंदु से विपरीत और होगा।
x ≥ 0 तथा y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
चूँकि प्रथम पाद का प्रत्येक बिंदु इन दोनों असमिकाओं को सन्तुष्ट करता है। अतः असमिका द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र प्रथम पाद होगा।

रेखा 2x + y = 8 तथा x + 2y = 10 के प्रतिच्छेद बिंदू E के निर्देशांक x = 2 था y = 4
छायांकित भाग CEB उपर्युक्त असमिकाओं द्वारा उभयनिष्ठ क्षेत्र प्रदर्शित करता है। यह सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है। यह क्षेत्र दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का सुसंगत हल क्षेत्र है। जिसके कोनीय बिंदु C(10, 0), E(2, 4), B(0, 8) हैं। इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन का मान नीचे सारणी में दिये गये हैं।

सारणी में बिंदु E(2, 4) पर उद्देश्य फलन का मान निम्नतम Rs 38 है। चूंकि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है। अत: असमिका 5x + 7y ≤ 38 द्वारा निर्धारित परिणामी तुला अद्भुतल, सुसंगत क्षेत्र के माध्य कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं रखता है।
अत: उद्देश्य फला निन्नतम Z = 3x + 7
व्यवरोध 2x + y ≥ 8
x + 2y ≥ 10
तथा x ≥ 0, y ≥ 0
मिश्रण में भोज्य I की 2 किग्रा तथा II की 4 किग्रा मात्रा मिलाने पर कुल न्यूनतम मूल्य Rs 38 है।

प्रश्न 2.
एक गृहिणी दो प्रकार के भोज्यों X तथा Y को एक साथ इस प्रकार मिलाना चाहती है कि मिश्रण में विटामिन A, B तथा C की क्रमशः कम से कम 10, 12 तथा 8 इकाइयाँ विद्यमान हो। एक किलोग्राम भोज्य में विटामिन संयोजन निम्न प्रकार है

भोज्य X तथा Y के एक किलोग्राम की कीपत क्रमशः Rs 6 व Rs 10 है। इस प्रकार के भोज्य मिश्रण की न्यूनतम कीमत ज्ञात कीजिये।
हल :
माना गृहिणी ने मिश्रण में x किग्रा भोज्य X तथा y किग्रा ज्य Y की मात्रा मिलाई ।
अत: प्रश्नानुसार मिश्रा भोज्य में कुल न्यूनतम कीमत का उद्देश्य फलन
z = 6x + 10y …(1)
व्यवरो के लिये –
विटामिन A के लिये मिश्रण में भोज्य X की x इकाई तथा भोज्य Y की 2y इकाई ली गई हैं।
अत: प्रश्नानुसार x + 2y ≥ 10 ….(1)
विटामिन B के लिये मिश्रण में भोज्य X की 2x इकाई तथा भोज्य Y की 2y इकाई ली गई है।
अत: प्रश्नानुसार 2x + 2y ≥ 12 ….(1)
विटामिन B के लिये मिश्रण में भोज्य X की 2 इकाई तथा भोज्य Y की 2y इकाई ली गई हैं।
अत: प्रश्नानुसार 2x +2y ≥ 12 …(2)
विटामिन C के लिये मिश्रण में भोज्य X की 3x इकाई तथा भोज्य Y की y इकाई ली गई हैं।
अत: प्रश्नानुसार, 3x + y ≥ 8 …(3)
तथा x ≥ 0, y ≥ 0
अतः समस्या के रैखिक प्रोग्रामन का गणितीय सूत्रीकरण निम्न
निम्नतम Z = 6x + 10y
व्यवरोध x + 2y ≥ 10
2x + 2y ≥ 12
3x + y ≥ 8
x ≥ 0, y ≥ 0
ध्यवरोधों के रूप में दी गई असमिकाओं को समीकरण में परिवर्तित करने पर
x + 2y = 10
2x + 2y = 12 …(2)
3x + y = 8 …(3)
असमिका x + 2 ≥ 10 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा x + 2y = 10 निर्देशी अक्षों के क्रमशः बिंदु A(10, 0) तथा B(0, 5) पर मिलती है।
x + 2y = 10 के मानों के लिए सारणी

A(10, 0); B(0, 5)
बिंदुओं A तथा B को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिंदु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर 0 + 2(0) = 0 ≥ 10 असमिका सन्तुष्ट नहीं होती है। अतः असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत और होगा।
असमिका 2x + 2y ≥ 12 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा 2x + 2y ≥ 12 निर्देशी अक्षों के बिंदु C(6, 0) तथा D(0, 6) पर मिलती है।
2x + 2y = 12

C(6, 0); D(0, 6)
बिंदुओं C और D को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिंदु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर 2(0) + 2(0) = 0 ≥ 12 असमिका सन्तुष्ट नहीं होती है। अतः असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत और होगा।
असमिका 3x + y ≥ 8 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा 3x + y = 8
निर्देशी अक्षों के बिंदु E(  , 0) तथा F(0, 8) पर मिलती है।
3x + y = 8 के मानों के लिए सारी

बिंदुओं E तथा F को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिंदु (0, 0) प्रतिस्थापित करने पर 3(0) + 0 = 0 ≥ 8 असमिका को सन्तुष्ट नहीं करते हैं। अतः असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत ओर होगा।
x ≥ 0 तथा y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
चूँकि प्रथम पाद में प्रत्येक बिंदु इन दोनों असमिकाओं को सन्तुष्ट करता है। अतः असमिका का हुल क्षेत्र प्रथम पाई में होगा।

रेखा x + 2y = 10 तथा 2x + 2y = 12 के प्रतिच्छेद बिंदु P(2, 4) के निर्देशांक x = 2 तथा y = 4 हैं।
तथा रेखा 2x + 2y = 12 तथा 3x + y = 8 के प्रतिच्छेद बिंदु Q के निर्देशक Q(1, 5) में x = 1 तथा y = 5 है।
छायांकित क्षेत्र APQF उपरोवत असमिकाओं का हल क्षेत्र है। यह सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है। अतः अपरिवद्ध सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं के निर्देशांक A( 10, 3), P(2, 4), Q(1, 5) तथा F(0, 8) है। बिंदु P(2, 4), x + 2y = 10 तथा 2x + 2 = 12 रेखाओं का प्रतिच्छेद बिन्दु है त रेखा 2x + 2y = 12 और रेखा 3x + y = 8 के प्रतिच्छेद बिंदु के निर्देशांक Q(1, 5) है।
इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन के मान निम्न तालिका में दिये गये है।

सारणी से स्पष्ट है कि उद्देश्य फलन का मान बिंदु P(2, 4) पर न्यूनतम 52 है।
इसलिये गृहिणी के लिये भोज्य X की 2 किलोग्राम तथा भोज्य Y की 4 किग्रा से मिश्रण बनाने की नीति इष्टतम नीति होगी जिसकी न्यूनतम लागत Rs 52 होगी।

प्रश्न 3.
एक प्रकार के केक को बनाने के लिए 300 ग्राम आटा तथा 15 ग्राम धसा की आवश्यकता होती है, जबकि दूसरे प्रकार के केक को बनाने के लिए 150 ग्राम आटा तथा 30 ग्राम वसा की आवश्यकता होती है। यह मानते हुए कि केकों को बनाने के लिये अन्य सामग्री की कमी नहीं है, 7.5 किलोग्राम आटे तथा 600 ग्राम वसा से। अनाये जा सकने वाले केकों की अधिकतम संख्या ज्ञात कीजिए। समस्या का गणितीय सूत्रीकरण करते हुए आलेखीय विधि से हल कीजिये।
हल :
माना एक प्रकार के केक तथा दूसरे प्रकार के y केक तैयार होते हैं। अत: केक की अधिकतम सीमा का उद्देश्य फलन
Z = x + y
व्यवरोध के रूप में पहले प्रकार के केक में आटा 300x ग्राम तथा दूसरे प्रकार के केक में आटा 150y ग्राम ।
अत: प्रश्नानुसार 300x + 150y ≤ 7500 ग्राम
दूसरे व्यवरोध के रूप में पहले प्रकार के केक में वसा 15x ग्राम तथा दूसरे प्रकार के केक में वसा 30y ग्राम
अत: प्रश्नानुसार, 15x + 30 ≤ 600 ग्राम
दी गई केकों की संख्या कभी ऋणात्मक नहीं हो सकती।
अतः x ≥ 0 तथा y ≥ 0
इसलिये दी गई रैखिक प्रोगामन समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्न है
अधिकतम Z = x + y
व्यवरोध 300x + 150y ≤ 7500
15x + 30y ≤ 600
x ≥ 0, y ≥ 0
व्यवरोध के रूप में दी गई असमिकाओं को समीकरण में बदलने पर
300x + 150y ≤ 7500
2x + y ≤ 50 ….(1)
तथा 15x + 30y ≤ 600
x + 2y ≤ 40 …(2)
असमिका 2x + y ≤ 50 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा 2x + y = 50 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिंदु A(25, 0) तथा B(0, 50) पर मिलती है।
2x + y = 50 के मानों के लिए सारणी

A(25, 0); B(0, 50) बिंदुओं A तथा B को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिंदु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर 2(0) + 0 = 0 < 50 असमिका को सन्तुष्ट करता है। अतः इस असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
असमिका x + 2y ≤ 40 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र
रेखा x + 2y = 40 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिंदु C(40, 0) तथा (0, 20) पर मिलती है।
x + 2y = 40 के मानों के लिए सारणी

C(40, 0); D(0, 20) बिंदुओं C और D को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिंदु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर 0 + 2(0) = 0 ≤ 40 असमिका को सन्तुष्ट करता है। अतः असमिका को हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
x ≥ 0 तथा y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
चूँकि प्रथम पाद का प्रत्येक बिंदु इन दोनों असमिकाओं को सन्तुष्ट करता है। अतः असमिकाओं x ≥ 0 तथा y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र प्रथम पाद है।

रेखा x + 2y = 40 तथा 2x + y = 50 का प्रतिच्छेद बिंदु E के निर्देशांक x = 20 तथा y = 10.
छायांकित क्षेत्र OAED दी गई असमिकाओं का उभयनिष्ठ क्षेत्र प्रदर्शित करता है। यह क्षेत्र दो गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का सुसंगत हल क्षेत्र है। इस हल क्षेत्र के कोनीय बिंदुओं के निर्देशांक O(0, 0), A(25, 0), E(20, 10) तथा D(0, 20) है।।
इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन के मान नीचे सारणी में दिये गये है

सारणो से स्पष्ट है कि उद्देश्य फलन का मान बिंदु E(20, 10) पर अधिकतम 30 है। अत: पहले प्रकार के केकों की संख्या 20 तथा दूसरे प्रकार के केकों की संख्या 10 है।

प्रश्न 4.
एक निर्माता औद्योगिक यंत्रों के लिए नट और बोल्ट का उत्पादन करता है। एक पैकेट नटों के उत्पादन के लिए मंत्र A पर 1 एटा तथा यंत्र B पर 3 घण्टे काम करना पड़ता है जबकि एक पैकेट बोल्टों के उत्पादन के लिए यंत्र B पर 3 घण्टे तथा यंत्र B पर 1 घण्टा काम करना पड़ता है। निर्माता नटों तथा खोल्टों के प्रति पैकेट पर लाभ क्रमशः Rs 2.50 तथा Rs 1 कमाता है। यदि वह प्रतिदिन अपने चंत्रों को अधिकतम 12 घण्टे संचालित करता हो तो प्रत्येक (नट और बोल्ट) के कितने पैकेट उत्पादित किए जाने चाहिए ताकि वह अधिकतम लाभ अर्जित कर सके। समस्या का गणितीय सूत्रीकरण कर हल वीजिये।
हल :
माना अधिकतम लाभ अर्जित करने के लिये x पैकेट नट तथा y पैकेट बोल्ट बनाने चाहिये। 1 निर्माता न पर लाभ Rs 2:50 तथा बोल्ट पर Rs 1 प्रति पैकेट कमाता है।
अतः उद्देश्य कथन Z = 2.50x + y अधिकतम मशीन A पर नट बनाने के लिये x घंटे तथा B पर नट बनाने के लिये 3y घंटे काम करना पड़ता है।
अतः व्यवरोध x + 3y ≤ 12 …..(1)
तथा बोल्ट बनाने के लिये मशीन A को 3x घंटे तथा मशीन B को y घंटे काम करना पड़ता है। अतः
व्यरोध 3x + y ≤ 12 ……(2)
चूंकि नट और बोल्ट की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती है।
∴x ≥ 0 तथा y ≥ 0
दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्न है
अधिकतम Z = 2.50x + y
यवरोध x + 3y ≤ 12
3x + y ≤ 12
x ≥ 0, y ≥ 0
व्यवरोधों के रूप में दी गई असमिकाओं को समीकरण में व्यस्त करने पर
x + 3y = 12 ….(1)
3x + y = 12 ….(2)
असमिका x + 3y ≤ 12 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र – रेखा x + 3y = 12 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिंदु A(12, 0) तथा B(0, 4) पर मिलती है।
x + 3y = 12 के मानों के लिए सारणी

A(12, 0); B(0, 4)
बिंदु A और B को अंकित कर रेखा का आलेख चते है। असमिका में मूल बिंदु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर 0 + 3(0) = 0 ≤ 12 असमिका सन्तुष्ट होती है। अतः इस अभिका को हल क्षेत्र मूल बिंदु की और होगा।
असमिका 3x + y ≤ 12 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र – रेखा 3x + y = 12 निर्देशी अक्षों को क्रमश: बिंदु C(4, 2) तथा D(0, 12) पर मिलती है।
3x + y = 12 के मान के लिए करारी

C(4, 0); D(0, 12)
बिंदु C और D को अंकित कर देगा का आलेख चते हैं। असमिका में मूल बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर 3(0) + 0 = 0 ≤ 12 असमिका सन्तुष्ट होती है। अतः असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगः
x ≥ 0 तथा y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र – चूँकि प्रथम पाद का प्रत्येक बिंदु इन असमिकाओं को सन्तुष्ट करता है। अत: असमिकाओं x ≥ 0 तथा y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र प्रथम शद होगा।

रेखाओं x + 3y = 12 तथा 3x + y = 32 के प्रतिच्छेद बिंदु के निर्देशांक E(3, 3) हैं।
छायांकित क्षेत्र OCEB उपरोक्त असमिकाओं का उभयनिष्ठ क्षेत्र प्रदर्शित करता है। यह क्षेत्र दी गई कि प्रोग्राभन समस्या का सुसंगत
हल क्षेत्र है। इस हल क्षेत्र के कोनीय बिंदु O(0, 0), C(4, 0), E(3, 3) तथा B(0, 4) हैं। इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन का मान निम्न तालिका में दिया गया है।

सारणी से स्पष्ट है कि उद्देश्य फलन का मान Z = 10.50 बिंदु E(3, 3) पर अधिकतम है। अत: निर्माता को अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिये नट तथा बोल्ट प्रत्येक के 3 – 3 पैकेट प्रतिदिन बनाने चाहिये।

प्रश्न 5.
एक व्यापारी पंखे तथा सिलाई मशीनें खरीदना चाहता है। उसके पास निवेश करने के लिए केवल Rs 5760 है तथा अधिकतम 20 वस्तुओं को रखने के लिए ही स्थान उपलब्ध है। एक पंखे तथा सिलाई मशीन की कीमत क्रमशः Rs 360 वर Rs 240 है। वह एक पंखे तथा एक सिलाई मशीन को बेचने पर क्रमशः Rs 22 व Rs 18 लाभ कमाता है। यह मानते हुए कि व्यापारी कितनी वस्तुएँ खरीदता है, वे सभी वस्तुएँ वह बेच सकता है। अधिकतम लाभ अर्जित करने के लिए उसे कितने पंखे तथा सिलाई मशीने खरीदनी चाहिए। समस्या का गणितीय सूत्रीकरण कर हल कीजिए।
हल :
माना व्यापारी x पंखे तथा y सिलाई मशीन खरीदता है। अत:
x पंखों की कीमत = Rs 360x
तथा सिलाई मशीनों की कीमत = Rs 240y
अत: प्रश्नानुसार,
360x + 240y ≤ 5760
व्यापारी के पास सामान रखने के स्थान के अनुसार
x + y ≤ 20
व्यापारी द्वारा x पंखों का अर्जित लाभ = Rs 22x
तथा y सिलाई मशीनों पर अर्जित लाभ = Rs 18y
अत: अधिकतम लाभ अर्जित करने के लिये उद्देश्य फलन
Z = 22x + 18y
दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्न प्रकार है–
अधिकतम Z = 22x + 18y
व्यवरोध 360x + 240y ≤ 5760
x + y ≤ 20
x ≥ 0, y ≥ 0
व्यवरोध के रूप में दी गई असमिकाओं को समीकरण में व्यक्त करने पर
360x + 240y = 5760
⇒ 3x + 2y = 48 …(1)
तथा x + y = 20 ..(2)
असपिका 360x + 240y ≤ 5760 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा 3x + 2y = 48 निर्देशी अक्षों को क्रमश: बिंदु A(16, 0) तथा B(0, 24) पर मिलती है।
3x + 2y = 480 के मान के लिए सारणी

A(16, 0); B(0, 24)
बिंदु A तथा B को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं।
असमिका में भूल बिंदु (0, 0) प्रतिस्थापित करने पर 3(0) + 2(0) = 0 ≤ 48 अपमिका को सन्तुष्ट करता है। अतः समस्या का हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है।
असमिका x + y ≤ 20 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा x + y = 20 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिंदु C(20, 0) तथा D(0, 20) को मिलती है।
x + y = 20 के मानों के लिए सारणी

C(20, 0); D(0, 20)
बिंदु C तथा D को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिंदु (0, 0) को प्रति स्थापित करने पर 0 + 0 = 0 ≤ 20 असमिका को सन्तुष्ट करता है।
अतः असमिका को हल मूल बिंदु की ओर होगा।
x ≥ 0 तथा y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
चूँकि प्रथम पाद का प्रत्येक बिंदु असमिकाओं x ≥ 0 तथा y ≥ 0 को सन्तुष्ट करता है। अत: असमिका का हल प्रथम पाद है।
रेखाओं 3x + 2y = 480 तथा x + y = 20 के प्रतिच्छेद बिंदु के निर्देशांक x = 8 तथा y = 12 अतः प्रतिच्छेद बिंदु E(8, 12) है।

छायांकित क्षेत्र OAED उपरोक्त असमिकाओं का उभयनिष्ठ क्षेत्र प्रदर्शित करता है। यह क्षेत्र दी गई रैखिक समस्या का सुसंगत हल है। इस क्षेत्र के कोनीय बिंदुओं के निर्देशांक O(0, 0), A(16, 0), E(8, 12) तथा D(0, 20) हैं। जहाँ E रेखाओं 3x + 2y = 48 तथा x + y = 20 का प्रतिच्छेद बिंदु है।
इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन के मान नीचे सारणी में दिये गये हैं।

सारणी से स्पष्ट है कि उद्देश्य फलन का मान बिंदु E(8, 12) पर अधिकतम Rs 392 है।
अतः व्यापारी को अधिकतम लाभ अर्जित करने के लिये 8 पंखे तथा 12 सिलाई मशीन खरीदना चाहिये।

प्रश्न 6.
एक कारखाना दो प्रकार के पेचों A तथा B का उत्पादन करता है। प्रत्येक के उत्पादन के लिए दो प्रकार के यंत्रों स्वचालित तथा हस्तचालित की आवश्यकता होती है। एक पैकेट पेचों A के उत्पादन में 4 मिनट स्वचालित तथा 6 मिनट हस्तचालित मशीन तथा एक पैकेट पेचों B के उत्पादन में 6 मिनट स्वचालित तथा 3 मिनट हस्तचालित मशीन का कार्य होता है। प्रत्येक मशीन किसी भी दिन के लिये अधिकतम A घण्टे कार्य के लिए उपलब्ध है। निर्माता पेंच A के प्रत्येक पैकेट पर 70 पैसे तथा पेंच B के प्रत्येक पैकेट पर Rs 1 का लाभ कमाता है। यह मानते हुए कि कारखानों में निर्मित सभी पेचों के पैकेट बिक जाते हैं, निर्माता को प्रतिदिन प्रत्येक प्रकार के कितने पैकेट बनाने चाहिये जिससे अधिकतम लाभ अर्जित हो सके।
हल :
माना निर्माता को प्रतिदिन A पेचों के x पैकिट तथा B पेचों के y पैकिट बनाने चाहिये।
अतः x पैकेट पेच का लाभ = Rs 0.70x
तथा y पैकेट पेचों का लाभ = Rs y
अत: अधिकतम लाभ अर्जित करने के लिये उद्देश्य फलन
Z = 0.70x + y
A प्रकार के x पेचों को स्वचालित मशीन से बनाने का समय = 4x मिनट
तथा B प्रकार के y पेचों को स्वचालित मशीन से बनाने का समय = 6y मिनट
अतः प्रश्नानुसार स्वचालित मशीन द्वारा प्रतिदिन बनने वाले पैचों में लगा समय = 4x + 6y मिनट
परन्तु स्वचालित मशीन केवल चार घंटे ही उपलब्ध होती है । अतः
व्यवरोध 4x + 6y ≤ 4 x 60 मिनट
4x + 6y ≤ 240 मिनट
इसी प्रकार A प्रकार के पेच को हस्तचालित मशीन द्वारा बनाने में लगा समय = 6x मिनट
तथा B प्रकार के पेचों को हस्तचालित मशीन से बनाने में लगा समय = 3y मिनट
परन्तु हस्तचालित मशीन केवल 4 घंटे ही उपलब्ध होती है।
अतः व्यवरोध 6x + 3y ≤ 4 x 60 मिनट
⇒ 6x + 3y ≤ 240 मिनट
∵x और y पेचों की संख्या है।
∴x ≥ 0 तथा y ≥ 0
दी गई रैखिक प्रोग्रामिन समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्न है-
अधिकतम
z = 0.70x + y
व्यवरोध 4x + 6y ≤ 240
6x + 3y ≤ 240
x ≥ 0, y ≥ 0
व्यवरोधों के रूप में दी गई सभी असमिकाओं को समीकरण में । परिवर्तित करने पर,
4x + 6y = 240 …(1)
6x + 3y = 240 …(2)
असमिका 4x + 6y ≤ 240 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा 4x + 6y = 240 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिंदु A(60, 0) तथा B(0, 40) पर मिलती
4x + 6y = 240 के मानों के लिए सारणी

बिंदु A और B को अंकित कर आलेख खींचते हैं।
असमिका में मूल बिंदु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर 4(0) + 6(0) = 0 ≤ 240 असमिका को सन्तुष्ट करता है। अत: असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा ।
असमिका 6x + 3y ≤ 240 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
देखा 6x + 3y = 240 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिंदु C(40,0) तथा D(0, 80) पर मिलती
6x + 3y = 240 के दानों के लिए सारणी

C(40, 3); D(0, 80)
बिंदु C और D को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिंदु (0, 0) प्रतिस्थापित करने पर 6(0) + 3(0) = 0 ≤ 240 असमिका को सन्तुष्ट करता है। अतः असमिका का हल क्षेत्र मूल | बिंदु की ओर होगा।
x ≥ 0 तथा y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
चूँकि प्रथम पाद में प्रत्येक बिंदु इन दोनों असमिकाओं को सन्तुष्ट करता है। अतः असभिकाओं x ≥ 0 तथा y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र प्रथम पाद है।

रेखाओं 4x + 6y = 240 तथा 6x + 3y = 240 के प्रतिच्छेद बिंदु के निर्देशांक x = 30 तथा y = 20 है।।
छायांकित क्षेत्र OAED उपरोक्त असमिकाओं का उभयनिष्ठ क्षेत्र प्रदर्शित करता है। यह क्षेत्र दी गई खिक प्रोग्रामन समस्या का सुसंगत हल क्षेत्र हैं।
इस हल क्षेत्र के कोनीय बिंदुओं के निर्देशांक O(0, 0), A(40, 0), E(30, 20) तथा D(0, 40) हैं।
इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन के मान नीचे सारणी में दिये गये हैं-

सारणी से स्पष्ट है कि उद्देश्य फलन का मान बिंदु E(30, 20) पर अधिकतम Rs 41 है।
अतः निर्माता को पेंच A के 30 पैकेट तथा पेच B के 20 पैकेट बनाने चाहिये ताकि उसे अधिकतम लाभ Rs 41 प्राप्त हो सके।

प्रश्न 7.
एक फर्म प्लाईवुड के अनूठे स्मृति चिन्ह का निर्माण करती है A प्रकार के प्रत्येक स्मृति चिन्ह के निर्माण में 5 मिनट काटने तथा 10 मिनट जोड़ने में लगते हैं। B प्रकार के प्रत्येक स्मृति चिन्ह के निर्माण में 8 मिनट काटने तथा 8 मिनट जोड़ने में लगते है। काटने तथा जोड़ने के लिये कुल समय क्रमशः 3 घण्टे 20 मिनट तथा 4 घण्टे उपलब्ध है। फर्म को प्रत्येक A प्रकार के स्मृति चिन्ह पर Rs 5 तथा प्रत्येक B प्रकार के स्मृति चिन्ह पर Rs 6 का लाभ होता है। अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए फर्म को प्रत्येक प्रकार के कितने-कितने स्मृति चिन्हों का निर्माण करना चहिये?
हल :
माना फर्म को A प्रकार के x स्मृति चिन्ह तथा B प्रकार के y स्मृति चिन्ह बनाने चाहिये।
इसलिये x स्मृति चिन्हों पर अर्जित लाभ = Rs 5x
तथा y स्मृति चिन्हों पर अर्जित लाभ = Rs 6y
अत: अधिकतम लाभ अर्जित करने के लिये उद्देश्य ‘फलन की
मान z = 5x + 6y
चूँकि A प्रकार के स्मृति चिन्ह को काटने में लगा समय
= 5x मिनट
तथा B प्रकार के स्मृति चिन्हों को काटने में लगा समय = 8y मिनट
अतः प्रश्नानुसार A और B प्रकार के स्मृति चिों को काटने में लगे कुल समय के लिये
व्यवरोध 5x + 8y ≤ 3 घंटे 20 मिनट
⇒5x + 8y ≤ 200 मिनट
इसी प्रकार A तरह के स्मृति चिह्नों को जोड़ने में लगा समय
= 10x मिनट
तथा B तरह के स्मृति चिों को जोड़ने में लगा समय
= 8y मिनट
अत: प्रश्नानुसार A और B प्रकार के स्मृति चिों को जोड़ने में लगे कुल समय के लिये,
व्यवरोध 10x + 8y ≤ 4 घंटे
⇒ 10x + 8y ≤ 240 मिनट
अतः दी गई रैखिक प्रोग्रासन समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्न
अधिकतम
z = 5x + 6y
व्यवरोध 5x + 8y ≤ 200
10x + 8y ≤ 240
तथा x ≥ 0, y ≥ 0
व्यवरोधों के रूप में दी गई असमिकाओं को समीकरण रूप में परिवर्तित करने पर,
5x + 8y = 200 …(1)
10x + 8y = 240 …(2)
असमिका 5x + 8y ≤ 200 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र – रेखा 5x + 8y = 200 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिंदु A(40, 0) तथा B(0, 25) पर मिली
5x + 8y = 200 के भानों के लिए सारणी

A(40, 0); B(0, 25) बिंदुओं A और B को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिंदु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर 5(0) + 8(0) = 0 ≤ 200 असमिका सन्तुष्ट होती है। अतः असमिका को हल क्षेत्र भूल बिंदु की ओर होगा।
असमिको 10x + 8y ≤ 240 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र – रेखा 10x + 8y = 240 निर्देशी अक्षों को बिंदु C(24, 0) तथा D(0, 30) पर मिलती है।
10x + 8y = 240 के मानों के लिए सारणी

C(24, 0); D(0, 30)
बिंदुओं C और D को अंकित कर आलेख खचते हैं। असमिका में भूलविंदु को प्रतिस्थापित करने पर 10(0) + 8(0) = 0 ≤ 240 असमिका सन्तुष्ट होती है। अत: असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
x ≥ 0, y ≥ द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र – चूँकि प्रथम पाद का प्रत्येक बिंदु इन दोनों असमिकाओं को सन्तुष्ट करता है। अत: उस समकाओं x ≥ 0, y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र प्रथम पाद हो ।

रेखाओं 5x + 8y = 200 तथा 10x + 8y = 240 के प्रतिच्छेद बिंदु E के निर्देशांक x = 8, y = 20 है।।
छायांकित क्षेत्र OCEB उपरोक्त असमिकाओं का उभयनिष्ठ क्षेत्र प्रदर्शित करता है। यह क्षेत्र दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का सुसंगत हल है। इस हल क्षेत्र के कोनीय बिंदुओं के निर्देशांक O(0, 0), C(24, 0), E(8, 20) तथा B(0, 25) है।
इन बिंदुओं पर उद्देश्य फ लन का मान अग्र सारणी में दिया गया

सारिणी से स्पष्ट है कि बिंदु E(8, 20) पर उद्देश्य फलन का मान अधिकतम Rs 160 है। अत: अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिये फर्म को A प्रकार के 8 तथा B प्रकार के 20 स्मृति चिह्न बनाने चाहिये।

प्रश्न 8.
एक किसान के पास दो प्रकार के उर्वरक F1 व F2 है। उर्वरक F1 में 10% नाइट्रोजन तथा 6% फॉस्फोरिक अम्ल है। जबकि उर्वरक F2 में 5% नाइट्रोजन तथा 10% फॉस्फोरिक अम्ल हैं। मिट्टी की स्थितियों का परीक्षण करने के बाद किसान पाता है कि उसे अपनी फसल के लिए कम से कम 14 किलोग्राम नाइट्रोजन तथा कम से कम 14 किलोग्राम फॉस्फोरिक अमन की आवश्यकता है। यदि उर्वरक F1 की कीमत 60 पैसे प्रति किलोग्राम तथा F2 की कीमत 40 पैसा प्रति किलोग्राम हो तो न्यूनतम मूल्य र वाछित पोषक तत्वों की आवश्यकता को ध्यान में रखते हुए प्रत्येक बैरक की कितनी किलोग्राम मात्रा उपयोग में लाई जानी चाहिये।
हल :
माना F1 उर्वरक की मात्रा x किग्रा. तथा F2 की मात्रा y किग्रा. है।
चूँकि F1 उर्वरक की कीमत 60 पैसे प्रति किग्रा तथा F2 उर्वरक की कीमत 40 पैसे प्रति किग्रा है।

अतः न्यूनतम मूल्य पर वांछित पोषक तत्वों की कुल कीमत का उद्देश्य फलन

व्यवरोधों के रूप में दी गई असमिकाओं को समीकरण में बदलने
10x + 5y = 1400 …(1)
6x + 10y = 1400 …(2)
x = 0 …(3)
y = 0 …(4)
असमिका

द्वारा प्रदर्शित क्षेत्ररेखा 10x + 5y = 1400 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिंदु A(140, 0) तथा B(280, 0) पर मिलते हैं।
10x + 5y = 1400 के मानों के लिए सारणी

A(140, 0); B(0, 280)
A और B को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिंदु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर 10(0) + 5(0) = 0 ≤ 1400 असमिका सन्तुष्ट होती है। अत: असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु की। ओर होगा।
असमिका

द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र-
रेखा 6x + 10y = 1400 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिंदु C(  , 0)।
तथा D(0, 140) पर मिलती है।
6x + 10y = 1400 के मानों के लिए सारणी

C(  , 0): D(0, 140)
इन बिंदुओं को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिको में मूल बिंदु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर 6(0) + 10(0) = 0 ≤ 1400 असमिका सन्तुष्ट होती है। अत: असमिका को हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
x ≥ 0 तथा y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
चूँकि प्रथम पद में प्रत्येक बिंदु इन दोनों असमिकाओं को सन्तुष्ट करता है अतः इन असमिकाओं का हल क्षेत्र प्रथम पाद है।
रेखाओं 10x + 5y = 1400 तथा 6x + 10y = 1400 के प्रतिच्छेद
बिंदु E के निर्देशांक x = 100 तथा y = 80 हैं।
छायांकित धोत्र CEB उपरोक्त असमिकाओं का उभयनिष्त क्षेत्र है। यह क्षेत्र दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का सुसंगत हल क्षेत्र है। इस क्षेत्र के कोनीय बिंदुओं के निर्देशांक C(  , 0), E(100, 8) तथा B(0, 280) हैं।
इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन के मान नीचे सारिणी में दिये गये हैं-

सारणी से स्पष्ट है कि उद्देश्य फलन का मान बिंदु E(100, 80) पर न्यूनतम है। अतः न्यूनतम मूल्य पर उर्वरकों की मात्रा क्रमशः 100 किग्रा, तथा 80 किग्रा होनी चाहिये। न्यूनतम मूल्य Rs 92 है।

प्रश्न 9.
एक व्यापारी दो प्रकार के निजी कम्प्यूटर एक डेस्कटॉप प्रतिरूप तथा एक पोर्टेबल प्रतिरूप जिनकी कीमतें क्रमशः Rs 25,000 तथा Rs 40,000 होगी, बेचने की योजना बनाता है। वह अनुमान लगाता है कि कम्प्यूटर की कुल मासिक प्रांग 250 इकाइयों से अधिक नहीं होगी। प्रत्येक प्रकार के कम्प्यूटरों की इकाईयों की संख्या ज्ञात कीजिये जिसे व्यापारी अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए भण्डारण करें यदि उसके पास निवेश करने के लिए Rs 70 लाख से अधिक नहीं है तथा यदि व्यापारी का डेस्कटॉप प्रतिरूप पर लाभ Rs 4500 तथा पोर्टेबल प्रतिरूप पर लाभ Rs 5000 से।
हल :
माना डेस्कटॉप प्रतिरूप की मात्रा x तथा पोर्टेबल प्रतिरूप की मात्रा y है।
अतः अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिये उद्देश्य फलन
z = 4500x + 5000y
कम्प्यूटरों की कुल संख्या x + y ≤ 250 चूँकि कुल मासिक माँग 250 इकाइयों से अधिक नहीं है।
कम्प्यूटरों की कुल कीमत 25000x + 40000y ≤ 70,000,00
चूंकि x और y कम्प्यूटरों की संख्या है इसलिये –
x ≥ 0, y ≥ 0
अतः दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्न
अधिकतम z = 4500x + 5000y
व्यवरोध x + y ≤ 250
25000x + 40,000y ≤ 70,000,00
x ≥ 0, y ≥ 0
व्यवरोधों में रूप में दी गई असमिकाओं को समीकरण में परिवर्तित करने पर
x + y = 250 …(1)
25000x + 40000y = 70,000,00
25x + 40y = 7000 …(2)
x = 0 …(3)
y = 0 …(4)
असमिका x + y ≤ 250 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा x + y = 250 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिंदु A(250, 0) तथा B(0, 250) पर मिलती
x + y = 250 के मानों के लिए सारणी

A(250, 0); B(0, 250)
बिंदुओं A तथा B को अंकित कर आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिंदु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर 0 + 0 = 0 ≤ 250 असमिका सन्तुष्ट होती है। अतः असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
असमिका 25x + 40y ≤ 7000 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा 25x + 40y = 7000 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिंदु C(280, 0) तथा D(0, 175) पर मिलती है।
25x + 40y = 7000 के मानों के लिए सारणी

C(280, 0); D(0, 175)
बिंदुओं C और D को अंकित कर रेखा का आलेख खचते हैं। असमिका में मूल बिंदु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर
25(0) + 40(0) = 0 ≤ 7000 असमिका सन्तुष्ट होती है। अत: इस असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
x ≥ 0 तथा y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
चूँकि प्रथम पद में प्रत्येक बिंदु इन दोनों असमिकाओं को सन्तुष्ट करता है। अतः असमिकाओं का हल क्षेत्र प्रथम पाद है।
रेखाओं x + y = 250 तथा 25x + 40y = 7000 के प्रतिच्छेद बिंदु E के निर्देशांक x = 200 तथा y = 50 है।
छायांकित क्षेत्र OAED उपरोक्त असमिकाओं का उभयनिष्ठ क्षेत्र है। यह क्षेत्र की गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का सुसंगत हल क्षेत्र है। इस क्षेत्र के कोनीय बिंदुओं के निर्देशांक O(0, 0), A(250, 0), E(200, 50) तथा D(0, 175) है।

इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन का मान नीचे सारणी में दिये गये

सारणी से स्पष्ट है कि उद्देश्य फलन का मान बिंदु E(200, 50) पर Rs 11,50,000 है।
अतः व्यापारी को अधिकतम लाभ कमाने के लिये डेस्कटॉप कम्प्यूटर 200 तथा पोर्टेबल कम्प्यूटर 50 खरीदने चाहिये। अधिकतम लाभ = Rs 11,50,000

प्रश्न 10.
दो अन्न भण्डारों A तथा B की भण्डारण क्षमता क्रमशः 100 क्विण्टल तथा 50 क्विटल है। उन्हें तीन राशन की दुकानों D, E तथा F पर अन्न उपलब्ध करवाना है, जिनकी आवश्यकताएँ क्रमशः 60, 50 तथा 40 क्विटल है। भण्डारों से दुकानों को प्रति क्विटल परिवहन लागत निम्न सारणी में दी गई है।

सारणी

परिवहन लागत के निम्नतमीकरण के लिये आपूर्ति का परिवहन कैसे किया जाए ?
हल :
माना भण्डार A से D को x किंवटल तथा दुकान E को y किंवटल राशन भेजा जाता है तो शेष राशन (100 – x – y) किंवटल राशन दुकान F को भेजा जायेगा।
अतः सारणी के अनुसार भण्डार A से दुकान D तक परिवहन लागत = Rs 6x
दुकान E तक की परिवहन लागत = Rs 3y
तथा दुकान F तक की परिवहन लागत
= Rs  (100 – x – y)
अतः भण्डार A से दुकान D, E तथा F तक राशन पहुँचाने की लागत
= 6x + 3y +  (100 – x – y)
दुकान D की शेष आपूर्ति (60 – x) किंवटल, E थी।
शेष आपूर्ति (50 – y) किंवटल तथा दुकान F की शेष आपूर्ति [40 – (100 – x – y)] क्विंटल, भण्डार B से की जाती है, अतः सारणी अनुसार भण्डार
B से दुकान D की परिवहन लागत = Rs 4(60 – x)
दुकान E की परिवहन लागत = Rs 2(50 – y)
तथा F की परिवहन लागत = Rs 3(x + y – 100)
अतः भण्डार B से दुकानें D, E तथा F तक की लागत ।
= 4(60 – x) + 2(50 – y) + 3(x + y – 60)
अत: दोनों भण्डारों A और B से दुकानों D, E तथा F तक की कुल परिवहन लागत

भण्डार A की कुल क्षमता 100 क्विटल है; अतः
x + y ≤ 100
दुकान D को भण्डार A से x क्विंटल तथा शेष भण्डार B से मिलता हैं; अतः
x ≤ 60
इसी प्रकार दुकान E को भण्डार A से y क्विंटल तथा शेष भण्डार B से मिलता है; अतः
y ≤ 50
इसी प्रकार दुकान F को भण्डार A से (100 – x – y) किंवटल तथा शेष भण्डार B से मिलता है
x + y ≥ 60
तथा x ≥ 0 तथा y ≥ 0
चूँकि x और y राशन की मात्रा किंवटलों में है।
अतः दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्न प्रकार है।
निम्नतकीकरण z = 2.5x + 1.5y + 410
व्यवरोध
x + y ≤ 100
x ≤ 60
y ≤ 50
x + y ≥ 60
x ≥ 0, y ≥ 0
दिये गये व्यवरोध को असमिकाओं से समीकरण में परिवर्तित करने
पर x + y = 100 ..(1)
x = 60 ….(2)
y = 50 ….(3)
x + y = 60 …(4)
x = 0 …(5)
y = 0 …(6)
असमिका x + y ≤ 100 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा x + y = 100 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिंदु की (100, 0) तथा बिंदु B(0, 100) पर मिलती है।
x + y = 100 के मानों के लिए सारणी

A(100, 0); B(0, 100)
बिंदु A और B को अंकित कर रेखा का आलेख खचते हैं।
असमिका में मूल बिंदु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर असमिका 0 + 0 = 0 ≤ 100 सन्तुष्ट होती है। अतः असमिका का हल मुल बिंदु की ओर होगा।
असमिका x ≤ 60 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र – रेखा x = 60 निर्देशी अक्षों को क्रमशः C(60, 0) तथा D(60, 50) पर मिलती है।
x + 0.y = 60 के मानों के लिए सारणी

C(60, 0); D(60, 5)
बिंदुओं C और D को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका को मूल बिंदु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर 0 + 0 = 0 ≤ 60 असमिका सन्तुष्ट होती है। अत: असमिका का हल मूल बिंदु की और होगा।
असमिका y ≤ 50 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र – रेखा y = 50 अक्षों को क्रमशः बिंदु E(0, 50) तथा F(5, 50) पर मिलती है।
0.x + y = 50 के मानों के लिए सारणी

E(0, 50); F(50, 50)
बिंदुओं E और F को अंकित कर रेखा का आलेख ख़चते हैं। असमिका में मूल बिंदु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर 0 + 0 ≤ 50 असमिका सन्तुष्ट होती है। अतः असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु की और होगा।
असमिका x + y ≥ 60 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा x + y = 60 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिंदु G(60, 0) तथा H(0, 60) पर मिलती है।
x + y = 60 के मानों के लिए सारणी

G(60, 0); H(0, 60)
बिंदुओं G और H को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिंदु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर 0 + 0 = 0 ≥ 60 । अतः असमिका सन्तुष्ट नहीं होता है। इसलिये असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत ओर होगा।

x ≥ 0 तथा y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
चूँकि प्रथम पाद का प्रत्येक बिंद x ≥ 0 तथा y ≥ 0 को सन्तुष्ट करता है। अतः असमिकाओं का हल क्षेत्र प्रथम पाद ही होगा।
छायांकित क्षेत्र GJFM उपरोक्त असमिकाओं का उभयनिष्ठ क्षेत्र प्रदर्शित करता है। यह क्षेत्र दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का सुसंगत हल क्षेत्र है। छायांकित सुसंगत हल क्षेत्र के कोनीय बिंदुओं के निर्देशांक G(60, 0), J(40, 60), F(50, 50) तथा M(10, 50) है जहाँ बिंदु J रेखाओं x + y = 100 तथा x = 60 का प्रतिच्छेद बिंदु, F रेखा x + y = 100 तथा y = 100 का प्रतिच्छेद बिंदु तथा M रेखा x + y = 60 तथा y = 50 का प्रतिच्छेद बिंदु है।
इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन के मान नीचे सारिणी में दिये गये हैं।

सारणी से स्पष्ट है कि उद्देश्य फलन का मान बिंदु M(10, 50) पर न्यूनतम Rs 510 है।
अत; निम्नतम परिवहन लागत के लिये भण्डार A से D, E और F दुकानों को क्रमशः 10, 50 व 40 किंवटल तथा भण्डार B से D, E तथा F दुकानों को 50, 0, 0 क्विंटल भेजना होगा।

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 15 रैरिवक प्रोग्रामन Miscellaneous Exercise

प्रश्न 1.
निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को आलेखीय विधि से हल कीजिए
अधिकतम Z = 4x + y
व्यवरोध x + y ≤ 50
3x + y ≤ 90
तथा x, y ≥ 0
हल :
दिये गये व्यवरोधों को समीकरण में परिवर्तित करने पर,
x + y = 50 …(1)
3x + y = 90 …(2)
x = 0 …(3)
y = 0 …(4)
असमिका x + y ≤ 50 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा x + y = 50 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिंदु A(50, 10) तथा B(0, 50) पर मिलती है।
x + y = 50 के मानों के लिए सारणी

A(50, 0); B(0, 50)
बिन्दुओं A तथा B को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर 0 + 0 = 0 ≤ 50 असमिका को सन्तुष्ट करते हैं। अत: असमका को हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
असपिका 3x + y ≤ 90 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र – रेखा 3x + y = 90 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिंदु C(30, 0) तथा D(0, 90) पर मिलती है।
3x + y = 90 के मानों के लिए सारणी

C(30, 0); (0, 90)
बिंदुओं C और D को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिंदु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर 3(0) + 0 = 0 ≤ 90 असमिका को सन्तुष्ट करता है। अत: असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
x ≥ 0 तथा y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र – चूंकि प्रथम पाद का प्रत्येक बिंदु x ≥ 0 तथा y ≥ 0 को सन्तुष्ट करता है। अत: असमिकाओं द्वारा हुल क्षेत्र प्रथम पाद है।

रेखाओं x + y = 50 तथा रेखा 3x + y = 90 के प्रतिच्छेद बिंदु E के निर्देशांक x = 20 तथा y = 30 हैं।
छयांकित क्षेत्र OCEB असमिकाओं का उभयनिष्ठ क्षेत्र है। यह क्षेत्र दी गई रैखिक प्रोगामन समस्या का हल क्षेत्र है। इस हल क्षेत्र के कोनीय बिंदुओं के निर्देशांक क्रमश: O(0, 0), C(30, 0), E(20, 30) तथा B(0, 50) हैं। | इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन के मान निम्न सारणी में दिये गये

सारणी से स्पष्ट है कि बिंदु C(30, 0) पर अधिकतम Z = 120 है।

प्रश्न 2.
निम्न रैखिक प्रोगामन समस्या को आलेखीय विधि से हुल कीजिए
अधिकतम Z = 3x + 2y
ध्यवरोध x + y ≥ 8
3x + 5y ≤ 15
तथा x ≥ 0, y ≤ 15
हल :
दिये गये व्यवरोधों को असमिकाओं को समीकरण में परिवर्तित करने पर,
x + y = 8 ….(1)
3x + 5y = 15 ……(2)
x = 0 …(3)
y = 15 …(4)
असमिका x + y ≥ 8 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा x + y = 8 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिंदु A(8, 0) तथा B(0, 8) पर मिलती है।
x + y = 8 के मानों के लिए सारणी

A(8, 0); B(0, 8)
बिंदुओं A और B को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं।
असमिका में मूल बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर 0 + 0 = 0 ≥ 8 सन्तुष्ट नहीं करता है। अतः असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत ओर होगा।
असमिका 3x + 5y ≤ 15 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा 3x + 5y ≤ 15 निर्देशी अक्षों को क्रमश: बिंदु C(5,0) तथा D(0, 3) पर मिलती है।
3x + 5 = 15 के मानों के लिए सारणी

C(5,0); D(0, 3)
बिंदुओं C और D को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर 3(0) + 5(0) = 0 ≤ 15 असमिका को सन्तुष्ट करते हैं। अतः असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
असमिका y ≤ 15 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा y = 15, x-अक्ष के समान्तर है तथा इसका प्रत्येक बिंदु प्रथम पाद में असमिका को सन्तुष्ट करता है। अतः असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
असमिका x ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
चूंकि x = 0 प्रथम पाद में प्रत्येक बिंदु से सन्तुष्ट होती है। अत: इसका हल क्षेत्र प्रथम पाद में होगा।

उपर्युक्त आलेख में असमिकाओं का कोई उभयनिष्ठ हल क्षेत्र नहीं है। अतः समस्या का सुसंगत हुल विद्यमान नहीं है।

प्रश्न 3.
निम्न रैखिक प्रोग्रामने समस्या का आलेख विधि से हल ज्ञात कीजियनिम्नतम तथा अधिकतम
Z = x + 2y
व्यवरोध x + 2y ≥ 100
2x – y ≤ 0
2x + y ≤ 200
तथा x ≥ 0, y ≥ 0
हल :
व्यवरोध के रूप में दी गई असमिकाओं को समीकरण के रूप में परिवर्तित करने पर,
x + 2y = 100 ….(1)
2x – y = 0 ….(2)
2x + y = 200 ….(3)
x = 0 …(4)
y = 0 …(5)
असमिका x + 2 ≥ 100 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा x + 2y = 100 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिंदु A(100, 0) तथा B(0, 50) पर मिलती है।
x + 2y = 100 के मानों के लिए सारणी

A(100, 0); B(0, 50)
बिंदुओं A और B को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिंदु (0, 0) प्रतिस्थापित करने पर (0) + 2(0) = 02 100 असमिका सन्तुष्ट नहीं होती है। अतः असमिका का हलक्षेत्र मूल बिंद के विपरीत ओर है।
असमिका 2x – y ≤ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा 2x – y = 0 निर्देशी पक्षों को क्रमशः बिंदु (0, 0) तथा C(100, 200) पर मिलती है।
2x – y = 0 के मानों के लिए सारणी

O(0, 0); C(100, 200)
बिंदुओं O तथा C को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिंदु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर 2(0) – 0 = 0 ≤ 0 असमिका सन्तुष्ट होती है। अत: असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा ! ।
असमिका 2x + y ≤ 200 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा 2x + y = 200 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिंदुओं A(100, 0) तथा D(0, 200) पर मिलती है।
2x + y = 200 के मानों के लिए सारणी

A(100, 0); D(0, 200)
बिंदु A और D को अंकित कर रेखा का आलेख लॊचते हैं। असमिका में मूल बिंदु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर 2(0) + (0) = 0 ≤ 200 असमिको सन्तुष्टि होती है। अतः असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।

x ≥ 0, y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
चूकि प्रथम पाद को प्रत्येक बिंदु x = 0 तथा y = 0 को सन्तुष्ट करता है। अत: असमिकाओं का हल क्षेत्र प्रथम पाद है।
रेखांकित क्षेत्र BDEF दी गई असमिकाओं का उभयनिष्ठ क्षेत्र है। यह क्षेत्र दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का सुसंगत हल क्षेत्र है। इस हल क्षेत्र के कोनीय बिंदुओं के निर्देशांक क्रमश: E(20, 40), B(0, 50), D(0, 200) तथा F(50, 100) हैं। जहाँ E रेखाओं x + 2y = 100 तथा 2x – y = 0 का प्रतिच्छेद बिंदु और F रेखाओं 2x + y = 100 तथा 2x – y = 0 का प्रतिच्छेद बिंदु है।
इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन के मान निम्न सारणी में दिये गये है।

सारणी से स्पष्ट है कि बिंदु A(100,0) बिंदु B(0,50) तथा बिंदु E(20, 40) पर निम्नतम मान Z = 100 है जो AB को मिलाने वाली रेखा के प्रत्येक बिंदु पर न्यूनतम है तथा बिंदु D (0, 200) पर उद्देश्य फलन का अधिकतम मान Z = 400 है।

प्रश्न 4.
अधिकतम Z = 3x + 2
व्यवरोध x + 2y ≤ 10
3x + y ≤ 15
तथा x ≥ 0, y ≥ 0
हल :
व्यवरोध के रूप में दी गई असमिकाओं को समीकरण में परिवर्तित करने पर,
x + 2y = 10 …(1)
3x + y = 15 …(2)
x = 0 ….(3)
y = 0 ….(4)
असमिका x + 2y ≤ 10 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा x + 2y = 10 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिंदु A(10, 0) तथा B(0, 5) पर मिलती है।
x + 2y = 10 के मानों के लिए सारणी

A(10, 0); B(0, 5)
बिंदु A और B को अंकित कर रेखा का आलेख खचते हैं। असमिका में मूल बिंदु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर 0 + 2(0) = 0 ≤ 10 असमिका सन्तुष्ट होती है। अत: असमिका को हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
असमिका 3x + y ≤ 15 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा 3x + y ≤ 15 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिंदु C(5,0) तथा D(0, 15) पर मिलती है।
3x + y = 15 के मानों के लिए सारणी

C(5, 0); D(0, 15)
बिंदु C और D को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर 3(0) + 0 = 0 ≤ 15 असमिका सन्तुष्ट होती है।
अतः असमिका को हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
असमिका x ≥ 0, y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र – चूँकि प्रथम पाद का प्रत्येक बिंदु x ≥ 0 तथा y ≥ 0 को सन्तुष्ट करता है। अतः इन दोनों असमिकाओं का हल क्षेत्र प्रथम पद होगा।

रेखाओं x + 2y = 10 तथा 3x + y = 15 के प्रतिच्छेद बिंदु E के निर्देशांक हैं।
x = 4, y = 3
छायांकित क्षेत्र QCEB दी गई समिकाओं का उभयनिष्ठ क्षेत्र है। यह क्षेत्र दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का सुसंगत हल क्षेत्र है। इस हल क्षेत्र के कोनीय बिंदुओं के निर्देशांक O(0, 0), C(5, 0), E(4, 3) तथा B(0, 5) हैं।
इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन का मान नीचे सारणी में दिये गये हैं

सारिणी से स्पष्ट है कि बिदु E(4, 3) पर उद्देश्य फलन का अधिकतम मान Z = 18 है।

प्रश्न 5.
एक खीमार व्यक्ति के भोजन के कम से कम 4000 इकाई विटामिन, 50 इकाई खनिज तथा 1400 इकाई कैलोरी की। संयोजन होना चाहिये। दो खाद्य सामग्री A तथा B क्रमशः Rs 4 तथा Rs 3 प्रति इकाई की कीमत पर उपलब्ध है। यदि खाद्य सामग्री A की एक इकाई में 200 इकाई विटामिन, 1 इकाई खनिज तथा 40 कैलोरी तथा खाद्य सामग्री में की एक इकाई में 100 इकाई विटामिन, 2 इकाई खनिज तथा 40 कैलोरी हो, तो न्यूनतम लागत प्राप्त करने के लिए किस प्रकार से खाद्य सामग्री का संयोजन उपयोग करना चाहिए ?
हल :
माना खाद्य A की x इकाई तथा खाद्य B की y इकाई का संयोजन किया जाता है, तो प्रश्नानुसार न्यूनतम लागत प्राप्त करने का उद्देश्य फलन
Z = Rs 4x + 3y
समस्या में व्यवरोध विटामिन के लिए
200x + 100y ≥ 4000
खनिज के लिए x + 2y ≥ 50
तथा कैलोरी के लिए,
40x + 40y ≥ 1400
x ≥ 0, y ≥ 0
व्यवरोध के रूप में दी गई असमिकाओं को समीकरण में परिवर्तित करने पर,
200x + 100y = 4000
2x + y = 40 …(1)
x + 2y = 50 ….(2)
40x + 40y = 1400
x + y = 35 …(3)
x = 0 ….(4)
y = 0 ….(5)
असमिको 200x + 100y ≥ 4000 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र
रेखा 2x + y = 40 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिंदु A(20, 0) तथा B(0, 40) पर मिलती है।
2x + y = 40 के मानों के लिए सारणी

A(20, 0); B(0, 40)
बिंदुओं A तथा B को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर 2(0) + 0 = 0 ≥ 40
असमिका सन्तुष्ट नहीं होती है। अत: असमिका को हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर नहीं होगा।
असमिका x + 2y ≥ 50 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा x + 2 = 50 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिंदु C(50, 0) तथा D(0, 25) पर मिलती है।
x + 2y = 50 के मानों के लिए सारणी

C(50, 0); D(0, 25)
बिंदुओं C तथा D को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिंदु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर 0 + 2(0) = 0 ≥ 50 असमिको सन्तुष्ट नहीं होती है। अतः असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु की और नहीं होगा।
असमिका 40x + 40y ≥ 1400 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र – रेखा x + y = 35 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिंदु E(35, 0) तथा F(0, 35) पर मिलती है।
x + y = 35 के मानों के लिए सारणी

E(35, 0); F(0, 35)
बिंदु E तथा F को अंकित कर रेखा का आलेख खचते हैं। असमिका में मूल बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर 0 + 0 ≥ 35 असमिका सन्तुष्ट होती है। अत: असमिका को हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
असमिका x ≥ 0, y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
चूँकि प्रथम पाद का प्रत्येक बिंदु असमिकाओं x ≥ 0 तथा y ≥ 0 दोनों को सन्तुष्ट करता है। अत: इन दोनों का हल क्षेत्र प्रथम पद होगा।
रेखाओं 2x + y = 40 तथा x + 2y = 50 के प्रतिच्छेद बिन्दु के निर्देशांक x = 10 तथा y = 20 रेखाओं x + 2 = 50 तथा x + 2y = 35 के प्रतिच्छेद बिन्दु के निर्देशांक x = 20 तथा y = 15 तथा रेखाओं 2x + y = 40 और x + y = 35 के प्रतिच्छेद बिन्दु के निर्देशांक x = 5 तथा y = 30

छायांकित क्षेत्र CHJB उपरोक्त असमिकाओं का उभयनिष्ठ क्षेत्र प्रदर्शित करता है। यह सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध सुसंगत क्षेत्र के कोनीय बिन्दुओं के निर्देशांक C(50, 0), H (20, 15), J (5, 30) तथा B (0, 40) हैं।
इन बिन्दुओं पर उद्देश्य फलन के मान नीचे सारणी में दिए गए हैं

सारणी में बिन्दु पर उद्देश्य फलन को मान निम्नतम है। चूंकि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है। अतः 4x + 3y ≤ 110 का आलेख खींचते हैं।
4x + 3y + 110 के मान के लिए सारणी

P(110/4, 0);Q(0, 110/3)
असमिका 4x + 3y ≤ 110 द्वारा निर्धारित परिणामी खुला अर्द्धतल, सुसंगत क्षेत्र के साथ एक उभयनिष्ठ बिन्दु रखता है। अतः बिन्दु J(5, 30) पर दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का निम्नतम मान Rs 110 है।
अतः अनुकूलतम हल के लिए खाद्य सामग्री A की 5 इकाई खाद्य सामग्री B की 30 इकाई लेनी चाहिए।

प्रश्न 6.
एक भोज्य पदार्थ में कम-से-कम 80 इकाई विटामिन A तथा कम-से-कम 100 इकाई खनिज है। दो प्रकार की खाद्य सामग्री F1 तथा F2 उपलब्ध हैं। खाद्य सामग्री F1 की कीमत Rs 4 प्रति इकाई तथा F2 की कीमत 6 प्रति इकाई है। खाद्य सामग्री F1 की एक इकाई में 3 इकाई विटामिन A तथा 4 इकाई खनिज हैं जबकि F2 की एक इकाई में Rs 6 इकाई विटामिन A तथा 3 इकाई खनिज है। इसे एक रैखिक प्रोगामन समस्या के रूप में सूत्रबद्ध कीजिए। उस भोज्य पदार्थ का न्यूनतम मूल्य भी ज्ञात कीजिए जिसमें इन दोनों खाद्य सामग्रियों का मिश्रण है।
हल :
माना खाद्य F1 की मात्रा x इकाई तथा F2 की मात्रा y इकाई है।
भोज्य में F1 की कीमत Rs 4 प्रति इकाई की दर से Rs 4x
तथा F2 की कीमत Rs 6 प्रति इकाई की दर से Rs 6y
∴न्यूनतम लागत मूल्य = Rs 4x + 6y
भोज्य में F1 की x इकाई में विटामिन A, 3x इकाई तथा
F2 की y इकाई में विटामिन A, 6y इकाई
अतः प्रश्नानुसार, 3x + 6y ≥ 80
इसी प्रकार भोज्य में F1 की x इकाई में खनिज, 4x इकाई तथा
F2 की y इकाई में खनिज, 3y इकाई
अत: प्रश्नानुसार, प्रतिबन्ध 4x + 3y ≥ 100
∴x और y मात्रा है। अतः x ≥ 0, y ≥ 0
अतः दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्न है।
न्यूनतम Z = 4x + 6y
व्यवरोध
3x + 6y ≥ 80
4x + 3y ≥ 100
x ≥ 0
y ≥ 0
दिए गए व्यवरोधों को समीकरण में परिवर्तित करने पर,
3x + 6y = 80 ……(1)
4x + 3y = 100 …(2)
x = 0 …(3)
y = 0 ….(4)
असमिका 3x + 6y ≥ 80 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र
रेखा 3x + 6y = 80 निर्देशी अक्षों को क्रमश: बिन्दु A(80/3, 0) तथा B(0, 40/3) पर मिलती है।
3x + 6y = 80 के मानों के लिए सारणी

A(80/3, 0) ; B(0, 40/3)
बिन्दु A और B को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिन्दु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर 3(0) + 6(0) = 0 ≥ 80 असमिका सन्तुष्ट नहीं होती है। अतः असमिका का हल क्षेत्र मूलबिन्दु के विपरीत ओर होगा।
असमिका 4x + 3y ≥ 100 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र
रेखा 4x + 3y = 100 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिन्दु C(25, 0) तथा D(0, 100/3) पर मिलती है।
4x + 3y = 100 के मानों के लिए सारणी

C(25, 0) ; D(0, 100/3)
बिन्दु C और D को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं।
असमिका में मूल बिन्दु को प्रतिस्थापित करने पर 4(0) + 3(0) = 0 ≥ 100 असमिका सन्तुष्ट नहीं होती है। अतः असमिका का हल क्षेत्र मुल बिन्दु के विपरीत ओर होगा।
असमिका x ≥ 0,y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र

चूंकि प्रथम पद का प्रत्येक बिन्दु x ≥ 0, y ≥ 0 दोनों ही असमिकाओं को सन्तुष्ट करता है। अत: इन दोनों असमिकाओं का हल क्षेत्र प्रथम पाद होगा।
छायांकित क्षेत्र AED उपरोक्त असमिकाओं का उभयनिष्ठ क्षेत्र प्रदर्शित करता है। यह सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है। अपरिबद्ध सुसंगत क्षेत्र के कोनीय बिन्दुओं के निर्देशांक A(80/3, 0), E(24, 4/3) तथा D(0, 100/3) जहाँ बिन्दु E रेखाओं 3x + 6 = 80 तथा 4x + 3y = 100 का प्रतिच्छेद बिन्दु है।
इन बिन्दुओं पर उद्देश्य फलन का भान अग्र सारणी में दिए गए

सारणी में विन्दु E(24, 4/3) पर उद्देश्य फलन का मान न्यूनतम 104 है। चूँकि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है; अत: असमिका 4x + 6y ≤ 104 का आलेख खींचते हैं।
4x + 6y = 104 के मानों के लिए सारणी

P(26, 0); Q(0, 17 1/3)
असमिका 4x + 6y ≤ 104 द्वारा निर्धारित परिणामी खुला अर्द्धतल, संसगत क्षेत्र के साथ ‘उभयनिष्ठ बिन्दु E(24, 4/3) रखता है; अतः बिन्दु E(24, 4/3) पर दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का निम्नतम मान Z = 104 है।

प्रश्न 7.
एक फर्नीचर निर्माता दो उत्पाद – कुर्सी तथा टेबल बनाता है। ये उत्पादन दो यंत्रों A तथा B पर बनाए जाते हैं। एक कुर्सी को बनाने में यंत्र A पर 2 घण्टे तथा यंत्र B पर 6 घण्टे और एक टेबल को बनाने में यंत्र A पर 4 घण्टे तथा यंत्र B पर 2 घण्टे लगते है। यंत्रों A तथा B पर क्रमशः 16 घण्टे तथा 30 घण्टे प्रतिदिन समय उपलब्ध है। निर्माता को एक कुर्सी तथा एक टेबल से प्राप्त लाभ क्रमशः Rs 3 व Rs 5 है। निर्माता को अधिकतम लाभ प्राप्त करने हेतु प्रत्येक उत्पादन का दैनिक उत्पादन कितना करना चाहिए?
हल :
माना उत्पादक को प्रतिदिन x कुर्सी तथा y टेबल उत्पादन करना चाहिए।
अत: निर्माता का कुल लाभ = Rs 3x + 5y
x कुर्सी बनाने में यंत्र A पर 2x घण्टे तथा
यंत्र B पर 6 घण्टे लगते हैं; अतः
y टेबल बनाने में यंत्र A पर 4y घण्टे तथा
यंत्र B पर 2y घण्टे लगते हैं।
अतः यंत्र A पर काम के समय का व्यवरोध
2x + 4y ≤ 16 घण्टे
तथा यंत्र B पर काम के समय का व्यवरोध
(6)x + 4y ≤ 30 घण्टे
चूँकि x और y संख्या है; अतः
x ≥ 0 तथा y ≥ 0
अतः प्रश्नानुसार दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्न है–
अधिकतम Z = 3x + 5y
व्यवरोध 2x + 4y ≤ 16
6x + 2y ≤ 30
x ≥ 0
y ≥ 0
दिए गए व्यवरोधों को समीकरण में परिवर्तित करने पर,
2x + 4y = 16 …(1)
6x + 2y = 30 …(2)
x ≥ 0 …(3)
y ≥ 0 ….(4)
असमिका 2x + 4y ≤ 16 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र
रेखा 2x + 4y = 16 निर्देशी अक्षों को क्रमश: बिन्दु A(8, 0) तथा B(0, 4) पर मिलती है।
2x + 4y = 16 के मानों के लिए सारणी

A(8, 0) ; B(0, 4)
बिन्दु A और B को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिन्दु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर 2(0) + 4(0) = 0 ≤ 16 असमिका सन्तुष्ट होती है; अतः असमिका का हल क्षेत्र मूल बिन्दु के ओर होगा।
असमिका 6x + 2y ≤ 30 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र
रेखा 6x + 2y = 30 निर्देशी अक्षों को क्रमश: बिन्दु C(5, 0) तथा D(0, 15) पर मिलती है।
6x + 2y = 30 के मानों के लिए सारणी

C(5,0); D(0, 15)
बिन्दु C और D को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिन्दु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर 6(0) + 2(0) = 0 ≤ 30 सन्तुष्ट होती है; अतः असमिका का हल क्षेत्र मुल बिन्दु के ओर होगा।
असमिका x ≥ 0, y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र
चूँकि प्रथम पाद का प्रत्येक बिन्दु x ≥ 0 तथा y ≥ 0 दोनों को ही सन्तुष्ट करता है; अतः असमिकाओं का हल क्षेत्र प्रथम पाद है।

छायांकित क्षेत्र OCEB उपरोक्त असमिकाओं का उभयनिष्ठ क्षेत्र प्रदर्शित करता है। यह क्षेत्र दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का सुसंगत क्षेत्र के कोनीय बिन्दुओं के निर्देशांक O(0, 0), C(5, 0), E(22/5, 9/5) तथा B(0, 4) है। जहाँ E रेखाओं 2x + 4y = 16 तथा
6x + 2y = 30 का प्रतिच्छेद बिन्दु है।
इन बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद फलन का मान नीचे सारणी में दिए गए हैं।

सारणी से स्पष्ट है कि उद्देश्य फलन का मान बिन्दु E(22/5, 9/5) पर अधिकतम 22.2 है।
अतः कुर्सियों की संख्या = 
तथा टेबलों की संख्या = 
अधिकतम लाभ = Rs 22.2

प्रश्न 8.
एक फर्म सिरदर्द की दो आकारों-आकार A तथा आकार B की गोलियों का निर्माण करती है। आकार A की गोली में 2 ग्रेन एस्प्रिन, 5 ग्रेन बाइकार्बोनेट तथा 1 ग्रेन कोफ़ीन है जबकि आकार B की गोली में 1 ग्रेन एस्प्रिन, 8 गेन बाइकार्बोनेट तथा 6.6 ग्रेन कोफ़ीन है। उपयोगकर्ताओं के द्वारा यह पाया गया है कि तुरंत प्रभाव के लिए कम-से-कम 12 ग्रेन एस्प्रिन, 74 ग्रेन बाईकार्बोनेट तथा 24 ग्रेन कोफ्रीन की आवश्यकता है। एक मरीज को तुरंत राहत प्राप्त करने के लिए कम से कम कितनी गोलियाँ लेनी चाहिए?
हल :
माना मरीज को आकार A की x गोलियाँ
तथा आकार B की y गौलियाँ लेनी चाहिए।
अतः अधिकतम गोलियों की संख्या
Z = x + y
प्रश्नानुसार, आकार A की गोलियों में एस्प्रिन की मात्रा
= 2x ग्रेन
तथा आकार B की गोलियों में एस्प्रिन की मात्रा
= 1y ग्रेन
अतः एस्प्रिन की मात्रा के लिए व्यवरोध
2x + y ≥ 12 ग्रेन
इसी प्रकार बाईकार्बोनेट की मात्रा के लिए व्यवरोध
5x + 8y ≥ 74 ग्रेन
y तथा कोफ्रीन की मात्रा के लिए व्यवरोध
x + 6.6y ≥ 24 ग्रेन
चूँकि x और गोलियों की संख्या है; अतः
x ≥ 0 तथा y ≥ 0
इस प्रकार प्राप्त दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्न है
न्यूनतम् Z = x + y
व्यवरोध 2x + y ≥ 12
5x + 8y ≥ 7.4
x + 6.6y ≥ 24
x ≥ 0
y ≥ 0
दिए गए व्यवरोधों को समीकरण रूप में परिवर्तित करने पर,
2x + y = 12 …(1)
5x + 8y = 74 …(2)
x + 6.6y = 24 …(3)
x = 0 …(4)
y = 0 ….(5)
असमिका 2x + y ≥ 12 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र
रेखा 2x + y = 12 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिन्दु A(6, 0) तथा B(0, 12) पर मिलती है।
2x + y = 12 के मानों के लिए सारणी

A(6, 0); B(0, 12)
बिन्दु A और B को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिन्दु (0, 0) को प्रति स्थापित करने पर 2(0) + 2 = 0 ≥ 12 असमिका सन्तुष्ट नहीं होती है; अतः असमिका का हल क्षेत्र मूल बिन्दु के विपरीत ओर होगा।
असमिका 5x + 8y ≥ 74 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र
रेखा 5x + 8y = 74 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिन्दु C(74/5, 0) तथा D(0, 74/8) पर मिलती है।
5x + 8y = 74

C(74/5, 0) ; D(0, 74/8)
बिन्दु C और D को अंकित कर रेखा का आलेख खचते हैं। असमिका में मूल बिन्दु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर 5(0) + 8(0) = 0 ≥ 7.4 असमिका सन्तुष्ट नहीं होती है अत: असमका का ल क्षेत्र मुलबिन्दु के विपरीत और होगा।
असमिका x + 6.6y ≥ 24 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र
रेखा x + 6.6y = 24 निर्देशी अक्षों को क्रमश: बिन्दु E(24, 0) तथा F(0, 24/6.6) पर मिलती है।
x + 6.6y = 24

E(24, 0) ; F(0, 24/6.6)
बिन्दु E तथा F को अंकित कर रेखा का आलेख खचते हैं। असमिका में मूल बिन्दु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर,
(0) + 6.6(0) = 0 ≥ 24 असमिका सन्तुष्ट नहीं होती है; अतः इस असमिका का हल क्षेत्र मूलबिन्दु के विपरीत होगा।
x ≥ 0 तथा y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र
चूंकि प्रथम पाद का प्रत्येक बिन्दु x ≥ 0 तथा y ≥ 0 को सन्तुष्ट करता है; अतः इन असमिकाओं का हल क्षेत्र प्रथम पाद है।

छायांकित क्षेत्र BGHE उपरोक्त असमिकाओं का उभयनिष्ठ क्षेत्र प्रदर्शित करता है। यह सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है। अपरिबद्ध सुसंगत हल क्षेत्र के कोनीय बिन्दुओं के निर्देशांक B(0, 12), G(2, 8), H(46/25, 356.4/25) तथा E(24, 0) जहाँ बिन्दु G रेखाओं 2x + y = 12 तथा 5x + 8y = 74 प्रतिच्छेद बिन्दु है। बिन्दु H, रेखाओं 5x + 8y = 74 तथा x + 6.6y = 24 का प्रतिच्छेद बिन्दु है।
इन बिन्दुओं पर उद्देश्य फलन का मान नीचे सारणी में दिए गए।

सारणी में बिन्दु G(2, 8) पर उद्देश्य फलन का मान न्यूनतम है।
चूँकि सुसंगत हुल क्षेत्र अपरिबद्ध है; अत: x + y ≤ 10 का आलेख खींचते हैं, जो प्रतिच्छेद बिन्दु G(2, 8) से ही गुजरता है। असमिका x + y ≤ 10 द्वारा निर्धारित खुला अर्द्धतल सुसंगत क्षेत्र के साथ उभयनिष्ठ बिन्दु G(2, 8) से गुजरता है।
अतः बिन्दु G पर दी गई रैखिक प्रोगमन समस्या का निम्नतम मान 10 है; अतः मरीज को A प्रकार की 2 तथा B प्रकार की 8 गोलियाँ खिलाई जाएँ।

प्रश्न 9.
एक ईट निर्माता के पास क्रमशः 30,000 तथा 20,000 ईंटों की भण्डारण क्षमता वाले 2 डिपो A तथा B हैं। वह तीन बिल्डरों P, Q व R से क्रमशः 15,000, 20,000 तथा 15,000 ईटों के आदेश प्राप्त करता है। 1000 ईट को डिपों से बिल्डरों तक भिजवाने में परिवहन लागत नीचे सारणी में दी गई है
सारणी

परिवहन लागत को न्यूनतम रखते हुए निर्माता आदेशों को किस प्रकार भिजवा पायेगा?
हलः
माना A डिपो से, P बिल्डर को x हजार ईटे व Q बिल्डर को y हजार ईंटें भेजता है, तो शेष 30 – (x – y) हजार ईंटें R बिल्डर को भेजता है; जबकि x, y ≥ 0 अत: डिपो से परिवहन लागत
40 x, 20y तथा 30(30 – x – y)
इसी प्रकार डिपो B से,
P बिल्डर को भेजने वाली ईंटें = (15 – x)
Q बिल्डर को भेजने वाली ईंटें = (20 – y)
तथा R बिल्डर को भेजने वाली ईंटें = 20 – (15 – x + 20 – y)
= (x + y – 15)
अतः डिपो B से परिवहन लागत
= 20(15 – x), 60(20 – x) तथा 40(x + y – 15)
अत: दोनों डिपों से कुल परिवहन लागत
Z = 40x + 20y + 30(30 – x – y) + 20(15 – x) + 60(20 – y) + 40(x + y – 15)
= 30x – 30y + 1800
अतः उपरोक्त रैखिक प्रोग्रामन समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्न प्रकार है
निम्नतम Z = 30x – 30y + 1800
व्यवरोध x + y ≤ 30
x ≤ 15
y ≤ 20
x + y ≥ 15
x ≥ 0
y ≥ 0
दिए हुए व्यवरोध को असमिक रूप से समीकरण रूप में परिवर्तन करने पर,
x + y = 30 …(1)
x = 15 …(2)
y = 20 …(3)
x + y = 15 …(4)
x = 0 …(5)
y = 0 ……(6)

दी गई असमिकाओं के संगत समीकरण लिखने पर उन्हें आलेखित करने पर प्राप्त अभीष्ट हल क्षेत्र C(15, 0), J(15, 15), K(10, 20), E(0, 20) तथा E(0, 20) तथा H(0, 15) से परिबद्ध है।
इन बिन्दुओं पर उद्देश्य फलन का माद नीचे सारणी में प्रदर्शित है –

सारणी से स्पष्ट है कि बिन्दु E(0, 20) पर उद्देश्य फलन का मान निम्नतम Rs 1200 है; अतः भंडार A से P, Q, R बिल्डरों को क्रमशः 0, 20, तथा 10 हजार ईंटें और भंडार B से क्रमशः 15, 0 तथा 5 हजार ईंटें भेजनी चाहिए।

प्रश्न 10.
असमिका निकाय
x + y ≤ 3
y ≤ 6
तथा x,y ≥ 0
द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र है
(a) प्रथम पाद में अपरिबद्ध
(b) प्रथम व द्वितीय पादों में अपरिबद्ध
(c) प्रथम पाद में परिबद्ध
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
दी हुई असमिकाओं को समीकरण में परिवर्तित करने पर,
x + y = 3 …(1)
y = 6 …(2)
x = 0 …(3)
y = 0 …(4)
असमिका x + y ≤ 3 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र
रेखा x + y = 3 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिन्दु A(3, 0) तथा B(0, 3) पर मिलती है।
x + y = 3 के मानों के लिए सारणी

A(3, 0) ; B(0, 3)
बिन्दु A तथा B को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिन्दु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर 0 + 0 = 0 ≤ 3 असमिका सन्तुष्ट होती है; अत: असमिका का हल मूल बिन्दु की ओर होगा।
असमिका y ≤ 6 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र
रेखा y = 6 निर्देशी अक्षों को क्रमशः C(0, 6) तथा D(3, 6) बिन्दुओं पर मिलती है।
0.x + y = 6 के मानों के लिए सारणी

C(0, 6) ; D(3, 6)
बिन्दु C तथा D को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिन्दु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर 0 + 0 = 0 ≤ 6 असमिका सन्तुष्ट होती है; अत: असमिका का हल क्षेत्र मूल बिन्दु की और होगा।
असमिका x ≥ 0 तथा y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र
चूँकि प्रथम पाद में प्रत्येक बिन्दु x ≥ 0, y ≥ 0 असमिकाओं को सन्तुष्ट करता है; अतः इन दोनों असमिकाओं का हल क्षेत्र प्रथम पाद होगा।

छायांकित क्षेत्र OAB असमिकाओं का उभयनिष्ठ क्षेत्र प्रदर्शित करता है जो प्रथम पद में है और परिषद्ध है। अतः ‘सही विकल्प (c) है।

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 14 त्रि – विमीयज्यामिति Ex 14.1

प्रश्न 1.
एक रेखा के दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए जो निर्देशाक्षों के साथ समान कोण बनाती हैं।
हल :
माना रेखा निर्देशांक्षों के साथ समान कोण θ बनाती है। अतः दिक्-कोसाइन
l = cos θ, m = cos θ, n = cos θ
परन्तु
l² + m² + n² = 1
⇒ cos² θ + cos² θ + cos² θ = 1
⇒ 3 cos² θ = 1

प्रश्न 2.
दो बिन्दुओं (4, 2, 3) तथा (4, 5, 7) को मिलाने वाली सरल रेखा की दिक्-कोज्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल :
बिन्दुओं P(x1, y1, z1) तथा Q(x2, y2, z2) को मिलाने वाली रेखा के दिक्-कोसाइन

प्रश्न 3.
यदि एक रेखा के दिक्-अनुपात 2, -1, -2 हैं, तो इसकी दिक्-कोज्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है : a = 2, b = -1, c = -2
माना रेखा के दिक्-कोसाइन l, m और n हैं तो

प्रश्न 4.
एक सदिश  , X, Y तथा Z-अक्षों के साथ क्रमशः 45°, 60°, 120° के कोण बनाता है। यदि सदिश  का परिमाण 2 इकाई है तो  ज्ञात कीजिए।
हल :

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 14 त्रि – विमीयज्यामिति Ex 14.2

प्रश्न 1.
बिन्दु (5, 7, 9) से गुजरने गली उन सरल रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो निम्न अक्षों के समान्तर है :
(i) X-अक्ष
(ii) Y-अक्ष
(iii) Z-अक्ष
हल :
बिन्दु A(5, 7, 9) स्थिति सदिश

(i) X-अक्ष के समान्तर जाने वाली रेखा बिंदु B(1, 0, 0) से गुजरती है, अत: बिंदु B का स्थिति सदिश

अत: वाँछित रेखा का समीकरण समीकरण

दी गई रेखा का कार्तीय समीकरण माना xi + yj + zk है अतः

(ii) Y-अक्ष के समान्तर रेखा बिंदु (0, 1, 0) से गुजरती है। अतः बिंदु B की स्थिति सदिश

अतः वांछित रेखा का सदिश समीकरण

(iii) Z-अक्ष के समान्तर रेखा बिंदु (0, 0, 1) से गुरजती है। अत: बिंदु C का सदिश

अत: वांछित रेखा का सदिश समीकरण

प्रश्न 2.
सरल रेखा को सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो एक बिन्दु जिसका स्थिति सदिश

है, से गुजरती है तथा सदिश

के समान्तर है। इसका कार्तीय रूप में रूपान्तरण भी ज्ञात कीजिए।
हल :
दिये गये बिंदु का स्थिति सदिश

प्रश्न 3.
सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो संदेश

के समान्तर है और बिन्दु (5,-2, 4) से गुजरती है।
हल :
चूँकि रेखा बिंदु (5,-2, 4) से गुजरती है।
∴ बिंदु (5,-2, 4) का स्थिति सदिश

प्रश्न 4.
उस रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (2,-1, 1) से गुजरती है तथा रेखा

के समान्तर है।
हल :
दी गई रेखा

के समान्तर बिंदु (2, – 1, 1) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण

क्योंकि दोनों समान्तर रेखाओं के दिक्-अनुपात एक ही होते हैं।

∴ वांछित रेखा का सदिश समीकरण

प्रश्न 5.
एक रेखा का कार्तीय समीकरण

है, इसका सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल :
रेखा

बिन्दु (5, -4, 6) से होकर जाती है।

दी हुई रेखा के दिक्-अनुपात 3, 7, 2 हैं।

अतः अभीष्ट रेखा का समीकरण

प्रश्न 6.
उस रेखा का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए जो (1,2,3) से जाती है तथा

हल :
माना रेखा बिंदु (x1, y1, z1) से गुजरती है और उसके दिक्अनुपात a, b, c हैं तो रेखा का समीकरण

यहाँ पर रेखा बिंदु (1, 2, 3) से गुजरती है तथा रेखा

के समान्तर है।।
अत: रेखा के दिक्-अनुपात

से -1,7 या -2, 14, 3 होंगे।
अतः वांछित रेखा का समीकरण,

प्रश्न 7.
समान्तर चतुर्भुज ABCD के तीन शीर्षों के निर्देशांक A(4, 5, 10), B(2, 3, 4) और C(1,2,- 1) हैं। AB और BC के सदिश और कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए। D के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
हल :
माना मूलबिन्दु O है।
∴ बिन्दुओं A, B, C तथा D के स्थिति सदिश

(i) यदि भुजा AB पर कोई बिन्दु P(x, y, z) तथा इसका स्थिति सदिश  हो तब भुजा AB का सदिश समीकरण

भुजा AB के कार्तीय समीकरण के लिए,

(ii) भुजा BC के लिए,
रेखा BC बिन्दुओं B(2, 3, 4) तथा C(1, 2, – 1) से जाती है।

जो BC का सदिश समीकरण है।
भुजा BC के कार्तीय समीकरण के लिए,
माना भुजा BC पर कोई बिन्दु Q(x, y, z) है जिसका स्थिति सदिश

भुजा BC को कार्तीय समीकरण है।

(iii) बिन्दु D के निर्देशांक के लिए,
माना D के निर्देशांक (x1, y1, z1) हैं।
∵ ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जिसके विकर्ण AC तथा BD एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। अतः AC तथा BD के मध्य-बिन्दु सम्पाती होंगे।

प्रश्न 8.
एक रेखा का कार्तीय समीकरण 3x + 1 = 6y – 2 = 1 – z है। वह बिन्दु ज्ञात कीजिए जहाँ से यह गुजरती है, साथ ही इसके दिक्-अनुपात तथा सदिश समीकरण भी ज्ञात कीजिए।
हल :
दी गई रेखा का समीकरण
3x + 1 = 6y – 2 = 1 – z

प्रश्न 9.
बिन्दु (1, 2, 3) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो सदिश

के समान्तर हैं।
हल :
∵ रेखा यदि

के समान्तर है।
∴ इसने दिक् अनुपात 3, 2, – 2 होंगे।
चूँकि रेखा 1, 2, 3 से जा रही है। अतः इसका कार्तीय समीकरण

पुनः बिन्दु (1, 2, 3) से जाने वाली रेखा का सदिश समीकरण

प्रश्न 10.
बिन्दु जिसका स्थिति सदिश

है, से गुजरने व सदिश

की दिशा में जाने वाली रेखा का सदिश और कार्तीय रूपों में समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल :
बिन्दु  से गुजरने वाली रेखा का जो सदिश  की दिशा में है, समीकरण,

प्रश्न 11.
उस रेखा का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (-2, 4,-5) से जाती है और

के समान्तर हैं|
हल :
माना रेखा बिन्दु (x1, y1, z1) से गुजरती है और उसके दिक्-अनुपात a, b, c हैं, तो रेखा का समीकरण

यहाँ पर रेखा (-2, 4, 5) से जाती है तथा

के समान्तर है।
अतः रेखा के दिक्-अनुपात : 3, 5, 6.
अभीष्ट रेखा का समीकरण

प्रश्न 12.
एक रेखा का कार्तीय समीकरण

इसका सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल :
कातीय समीकरण

से प्रदर्शित रेखा का सदिश समीकरण

मान रखने पर।

प्रश्न 13.
भूल बिन्दु और (5,-2, 3) से जाने वाली रेखा का सदिश तथा कार्तीय रूपों में समीकरण ज्ञात कीजिए।
हले :
मूल बिन्दु O(0, 0, 0) का स्थिति सदिश  =  तथा बिन्दु (5, – 2, 3) का स्थिति सदिश समीकरण

∴ बिन्दुओं में  तथा  से जाने वाली रेखा को सदिश

(ii) रेखा बिन्दु O(0, 0, 0) से होकर जाती है तथा इसके दिक्-अनुपात 5, – 2, 3 हैं।
∴ रेखा का कार्तीय समीकरण

प्रश्न 14.
बिन्दुओं (3, -2, – 5) और (3, -2, 6) से गुजरने वाली रेखा का सदिश तथा कार्तीय रूपों में समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल :
माना रेखा बिन्दु A(3, -2, -5) तथा B(3, -2, 6) से जाती है। तब बिन्दु A(3, -2, -5) का स्थिति सदिश

तथा बिन्दु B(3, -2, 6) की स्थिति सदिश

(i) तब रेखा AB का सदिश समीकरण

(ii) रेखा बिन्दुओं A(3,-2,-5) तब B(3,-2, 6) से जाती है।
अतः रेखा AB का कार्तीय समीकरण

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 14 त्रि – विमीयज्यामिति Ex 14.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित रेखाओं के मध्य का कोण ज्ञात कीजिए :

और

हल :
दिया है : प्रथम रेखा

यदि रेखाओं के बीच का कोण θ हो, तो

प्रश्न 2.
निम्नलिखित रेखाओं के मध्य का कोण ज्ञात कीजिए :

हल :
रेखा

के दिक्-अनुपात 2, 2, 1 हैं और रेखा

के दिक्-अनुपात 4, 1, 8 हैं।
∴ a1 = 2, b1 = 2, c1 = 1
a2 = 4, b2 = 1, c2 = 8
यदि दो रेखाओं के बीच का कोण θ हो, तो

प्रश्न 3.
दर्शाइए कि बिन्दुओं (1,-1, 2), (3, 4,-2) से होकर जाने वाली बिंदुओं (0, 3, 2) और (3, 5, 6) से जाने वाली रेखा पर लम्ब है।
हल :
बिंदु (1,-1, 2) तथा (3,4,-2) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण

बिंदु (0, 3, 2) तथा (3, 5, 6) से जाने वाली रेखा का समीकरण

दोनों रेखाएँ परस्पर लम्ब होगी यदि

अतः रेखाएँ परस्पर लम्ब है।
इति सिद्धम्।

प्रश्न 4.
यदि रेखाएँ

और

परस्पर लंब हो तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
रेखा

के दिक्-अनुपात
l₁ = -3
m₁ = 2k
n₁ = 2
तथा

के दिक्-अनुपात
l₂ = 3k
m₂ = 1
n₂ = – 5
∵ दोनों रेखाएँ परस्पर लम्ब हैं अतः
⇒ l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂ = 0
⇒ – 3 × 3k + 2k × 1 + 2 × – 5 = 0
⇒ – 9k + 2k – 10 = 0
⇒ – 7k – 10 = 0
⇒ k = 

प्रश्न 5.
बिन्दु (1, 2, – 4) से जाने वाली और दोनों रेखाओं

और

पर लम्ब रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल :
माना अभीष्ट रेखा

यही अभीष्ट रेखा का समीकरण है।
इस रेखा का सदिश समीकरण

प्रश्न 6.
उस रेखा का कार्तीय समीकरणे ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (-2, 4,-5) से जाती है और

के समांतर है|
हल :
माना रेखा बिंदु (x₁, y₁, z₁) से गुजरती है तथा उसके दिक् अनुपात a, b, c हैं तो रेखा का समीकरण

यहाँ पर रेखा (-2, 4, -5) से जाती है और

के समान्तर है। अतः रेखा के दिक् अनुपात 3, 5, 6 है।
∴ रेखा का वांछित समीकरण

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 14 त्रि – विमीयज्यामिति Ex 14.4

प्रश्न 1.
दिखाइए कि रेखाएँ

और

परस्पर प्रतिच्छेदी हैं। उनका प्रतिच्छेद बिन्दु ज्ञात कीजिए।
हल :
माना

पर किसी बिंदु के निर्देशांक (2r₁ + 1, 3r₁ + 2, 4r + 3) हैं।
माना

पर किसी बिंदु के निर्देशांक (5r₂ + 4, 2r₂ + 1, r₂) है। दोनों रेखायें परस्पर प्रतिच्छे करती हैं। अतः दोनों बिंदु उभयनिष्ठ होंगे और संपाती होंगे।
∴ 2r₁ + 1 = 5r₂ + 4 … (1)
3r₁ + 2 = 2r₂ + 1 …(2)
4r₁ + 3 = r₂ …(3)
सपी. (1) और (2),
2r₁ – 5r₂ = 3
3r₁ – 2r₂ = – 1
हल करने पर, r₁= – 1,r₂ = – 1
∴ बिदु ( – 1, – 1, – 1)
स्पष्ट है कि दोनों रेवाएँ प्रतिच्छेद करती है और प्रतिच्छेद बिंदु ( – 1, – 1, – 1) है।

प्रश्न 2.
उर्धारित कर निम्न रेखाएँ प्रतिच्छेद है या नहीं

और

हल :
रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, अतः
(i – j) + λ(2i + k) = (2i – j) + µ(i + j – k)
(1 + 2λ)i – (1 – 0.λ)j + λk
= (2 + µ)i – (1 – µ)j – µk
तुलना करने पर,
1 + 2λ = 2 + µ …(1)
1 – 0.λ = 1 – µ …(2)
λ = – µ …(3)
हल करने पर समी. (2) से,
1 – µ = 1
⇒ µ = 0
∴ समी. (3) से, λ = 0
λ और µ के सान समी. (1) में रखने पर
1 + 2 × 0 = 2 + 0
1 ≠ 2
अतः रेखायें प्रतिच्छेदी नहीं है।

प्रश्न 3.
बिन्दु (2,3,4) से रेखा

पर डाले गये लम्ब का पाद ज्ञात कीजिए। साथ ही दिए गए बिन्दु से रेखा की लम्बवत् दूरी भी ज्ञात कीजिए।
हल :
दी गई रेखा का समीकरण

MN पर किसी बिंदु Q के निर्देशांक
Q(-2λ + 4, 6λ + 0, – 3λ + 1)
लम्ब PQ के दिक् अनुपात
a₁, b₁, c₁ = x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁
= – 2λ + 4 – 2, 6λ + 0 – 3, – 3λ + 1 – 4
= – 2λ + 2, 6λ – 3, – 3λ – 3
रेखा MN के दिक् अनुपात
a₂, b₂, c₂ = -2, 6, -3
रेखा (1) व PQ लम्ववत् है।
इसलिए
a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0
(-2λ + 2)(-2) + (6λ – 3)(6) + (-3λ – 3)(-3) = 0
4λ – 4 + 36λ – 18 + 9λ + 9 = 0
49λ = 13
λ = 
λ का मान Q में रखने पर पाद के निर्देशांक

डाले गए लम्ब की लम्बाई PQ

प्रश्न 4.
बिन्दु (2, 3, 2) से जाने वाले रेखा को सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा

के समान्तर है। इन रेखाओं के मध्य दूरी भी ज्ञात कीजिए।
हुल :
रेखा बिंदु (2,3, 2) से गुजरती है।
∴ बिंदु (2, 3, 2) का स्थिति सदिश

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 14 त्रि – विमीयज्यामिति Ex 14.5

प्रश्न 1.
रेखाओं

और

के मध्य की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
हल :

प्रश्न 2.
रेखाओं

के मध्य की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
हल :
रेखाओं

के बीच की न्यूनतम दूरी

प्रश्न 3.
रेखाएँ, जिनके सदिश समीकरण निम्नलिखित है, के मध्य की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए

और

हल :
रेखाएँओं

प्रश्न 4.
रेखाएँ, जिसकी सदिश समीकरण निम्नलिखित हैं, के मध्य की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए

और

हल :
रेखा

प्रश्न 5.
निम्न रेखाओं के मध्य लघुत्तम दूरी ज्ञात कीजिए

तथा लघुतम दूरी वाली रेखा का समीकरण भी ज्ञात कीजिए।
हल :

अतः रेखा (1) पर कोई बिंदु P(2r₁ + 1, 3r₁ – 1, r₁) तथा
रेखा (2) पर कोई बिंदु Q(3r₂ – 1, r₂ + 2, r₂ + 2)
तब रेखा PQ के दिक्-अनुपात
= 3r₂ – 2r₁ – 2, r₂ – 3r₁ + 3, 2 – r₁
PQ रेखा (1) के लम्बवत् हैं, इसलिए
a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0
2(3r₂ – 2r₁ – 2) + 3(r₂ – 3r₁ + 3) + 1(2 – r₁) = 0
9r₂ – 14r₁ = 7 …(3)
PQ रेखा (2) के लम्बवत् है।।
इसलिए a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0
3(3r₂ – 2r₁ – 2) + 1(r₂ – 3r₁ + 3) + 0(2 – r₁) = 0
10r₂ – 9r₁ – 3 = 0
समी. (3) व (4) को हल करने पर

r₁ व r₂ के ये मान बिन्दु P व Q में रखने पर

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 14 त्रि – विमीयज्यामिति Ex 14.6

प्रश्न 1.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो X-अक्ष के लम्ब है तथा बिन्दु (2, – 1, 3) से गुजरता है।
हल :
बिन्दु (2, – 1, 3) से गुजरने वाले समतल का समीकरण
a(x – 2) + b(y + 1) + c(z – 3) = 0
∵ समतल X अक्ष के लम्बवत है अर्थात्
b = 0, c = 0
अतः a(x – 2) + 0(y + 1) + 0(z – 3) = 0
⇒ a(x – 2) = 0
⇒ x – 2 = 0

प्रश्न 2.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो X-अक्ष तथा बिन्दु (3, 2, 4) से गुजरता है।
हल :
बिन्दु (3, 2, 4) से गुजरने वाले समतल का समीकरण
a(x – 3) + b(y – 2) + c(z – 4) = 0 …(1)
∵समतल X अक्ष से गजरता है अतः
a = 0, d = 0 ⇒ by + cz = 0 …(2)
समी. (1) से a = 0 अतः
⇒ b(y – 2) + c(z – 4) = 0
⇒ by – 2b + cz – 4c = 0
⇒ by + cz – 2b – 4c = 0
⇒ – 2b = c [∵ by + cz = 0 समी. (2) से]
⇒ b = – 2c
∴बिन्दु (3, 2, 4) तथा X अक्ष से गुजरने वाले से समतल का समीकरण
⇒ b(y – 2) + c(z – 4) = 0
⇒ – 2c(y – 2) + c(z – 4) = 0
⇒ – 2y + 4 + z – 4 = 0
⇒ 2y – z = 0

प्रश्न 3.
एक चर समतल बिन्दु (p, q, r) से गुजरता है तथा निर्देशी अक्षों को बिन्दु A, B तथा C पर मिलता है। प्रदर्शित कीजिए कि निर्देशांक समतलों के समान्तर A, B तथा C से गुजरने वाले समतलों के उभयनिष्ठ बिन्दु का बिन्दुपथ

हल :
माना समतल का समीकरण

समतल बिंदु (p, q, r) से गुजरता है।

पुनः समतल (1) निर्देशांक्षों से बिंदुओं A, B तथा C पर मिलता है।
∴ बिंदु A के निर्देशांक (α, 0, 0)
बिंदु B के निर्देशांक (0, β, 0)
तथा बिंदु C के निर्देशांक (0, 0, γ)
बिंदुओं A, B, C से जाने वाले और निर्देशांक्षों के समान्तर समतल का समीकरण
x = α …(3)
y = β ….(4)
z = γ …(5)
∴ प्रतिच्छेद बिंदु का बिंदुपथ समी. (2) से

इति सिद्धम्।

प्रश्न 4.
उस समतल को सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूल बिन्दु से 7 इकाई दूरी पर है तथा i इसके अभिलम्ब की तरफ इकाई सदिश है।
हल :
दिया है अभिलम्ब के अनुदिश इकाई सदिश
 = i
तथा मूल बिंदु से दूरी d = 7 इकाई
अतः समतल को सदिश समीकरण

प्रश्न 5.
उस समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूल बिन्दु से 7 इकाई दूरी पर है तथा सदिश 6i + 3j – 2k इसके अभिलम्ब है।
हल :
सदिश 6i + 3j – 2k के अनुदिश इकाई सदिश

∴ समतल का सदिश समीकरण

प्रश्न 6.
समतल के समीकरण

को अभिलम्बे रूप में परिवर्तित कर इसकी मूल बिन्दु से लम्बे दूरी ज्ञात कीजिए, प्राप्त समतल के अभिलम्ब की दिक्-कोज्याएं भी ज्ञात कीजिए।
या
समतल के समीकरण 3x – 4y + 12z = 5 को अभिलम्ब रूप में परिवर्तित कर इसकी मूल बिन्दु से लम्ब दूरी ज्ञात कीजिए, समतल के अभिलम्ब की दिक्-कोज्याएं भी ज्ञात कीजिए।
हल :
प्रथम विधि :


द्वितीय विधि :
दिये गये समीकरण 3x – 4y + 12z = 5 को निरपेक्ष पद से विभाजित करने पर समतल का अभिलम्ब रूप

माना मूल बिंदु से डाले गये लम्बे की लम्बाई p तथा अभिलम्ब की दिक् कोज्याएं (dc’s) l, m, n हैं तो समतल का समीकरण
lx + my + nz = p …(1)
इस समीकरण की तुलना 3x – 4y + 12z = 5 से करने पर

प्रश्न 7.
उस समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूल बिन्दु से 4 इकाई दूरी पर है तथा इसके अभिलम्ब के दिक्-अनुपात 2, -1, 2 हैं।
हल :
समतल के अभिलम्ब पर दिक् अनुपात 2, -1, 2 हैं। अतः कोसाइन

हूँ जहाँ

तथा d = 4 इकाई
∴ समतल का समीकरण

प्रश्न 8.
समतल के समीकरण 2x – 3y + 6z + 14 = 0 से समतल का अभिलम्ब रूप ज्ञात कीजिए।
हल :
दिये गये समतल का समीकरण
2x – 3y + 6z + 14 = 0
समतल पर अभिलम्ब के दिक्-अनुपात 2, -3, 6 हैं।
अतः अभिलम्ब के दिक्-कोसाइन

समीकरण 2x – 3y + 62 + 14 = 0 को 7 से भाग देने पर

प्रश्न 9.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जिस पर मूल बिन्दु से डाले गये लम्ब की लम्बाई 13 है तथा इस लम्ब के दिक् अनुपात 4, – 3, 12 है।
हल :
समतल पर अभिलम्ब के दिक्-अनुपात 4, – 3, 12 हैं अत: अभिलम्ब के दिक् कोसाइन

अतः समतल का समीकरण ax + by + cz = d से जहाँ d = 13 दिया है।

प्रश्न 10.
समतल x + y + z – 3 = 0 का इकाई अभिलम्ब सदिश ज्ञात कीजिए।
हल :
दिये गये समतल x + y + z – 3 = 0 के दिक्-अनुपात 1, 1, 1 हैं। अतः दिक्-कोसाइन

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 14 त्रि – विमीयज्यामिति Ex 14.7

प्रश्न 1.
निम्न समतलों के मध्य कोण ज्ञात कीजिए

हल :
(i) समतल  .(2i – j + 2k) = 6 का अभिलम्ब 2i – j + 2k के अनुदिश और समतल  .(3i + 6j – 2k) = 9 कः अभिलम्ब 3i + 6j – 2k के अनुदिश है।
∴ समतलों के बीच कोण θ अभिलम्बों के बीच के कोण के समान

(ii) समतल  .(2i + 3j – 6k) = 5 का अभिलम्ब 2i + 3j – 6k के अनुदिश और  .(i – 2j + 2k) = 9 का अभिलम्ब i – 2j + 2k के अनुदिश है। अतः

(iii) समतल  .(i + j + 2k) = 5 का अभिलम्ब i + j + 2k के अनुदिश और  .(2i – j + 2k) = 6 का अभिलम्ब 2i – j + 2k के अनुदिश है।

प्रश्न 2.
निम्न समतलों के मध्य कोण ज्ञात कीजिए
(i) x + y + 2z = 9 और 2x – y + z = 15
(ii) 2x – y + z = 4 और x + y + 2z = 3
(iii) x + y – 2z = 3 और 2x – 2y + z = 5
हल :
यदि समतल a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0 हैं तो

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि निम्न समतल परस्पर लम्बवत है
(i) x – 2y + 4z = 10 और 18x + 17y + 4z = 49
(ii)  .(2i – j + k) = 4 और  .( – i – j + k) = 3
हल :
समतल x – 2y + 4z = 10 तथा 18x + 17y + 4z = 49 में
a₁ = 1, b₁ = -2, c₁ = 4 तथा a₂, b₂ = 17, c₂ = 4
(i) समतल लम्बवत् होंगे यदि
a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0
L.H.S.= 1 x 18 + (-2) x 17 +4 x 4
= 18 – 34 + 16
= – 34 + 34
= 0
∴ L.H.S. = R.H.S.

(ii) हम जानते है कि समतल

तथा

परस्पर लम्बवत् होते है यदि

अतः लम्बवत् होने के लिये
(2i – j + k) . ( – i – j + k) = 0
⇒ 2 x – 1 + (- 1) x (-) + 1 x 1 = 0
⇒ – 2 + 1 + 1 = 0
0 = 0
L.H.S. = R.H.S.
इति सिद्धम्।

प्रश्न 4.
यदि निम्न समतल परस्पर लम्बवत हो, तो λ का मान ज्ञात कीजिए
(i)  .(2i – j + λk) = 5 और  .(3i + 2j + 2k) = 4
(ii) 2x – 4y + 3z = 5 और x + 2y + λz = 5
हल :
(i) समतल

⇒ (2i – j + λk) . (3i + 2j + 2k) = 0
⇒ 2 x 3 + (-1) x 2 + λ x 2 = 0
⇒ 6 – 2 + 2λ = 0
⇒ 4 + 2λ = 0
⇒ λ = – 2

(ii) समतल 2x – 4y + 3z = 5 तथा x + 2y + λz = 5 में
a₁ = 2, b₁ = – 4, c₁ = 3 तथा a₂ = 1, b₂ = 2, c₂ = λ,
परस्पर लम्बवत् होने पर,
a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0
⇒ 2 x 1 + (-4) x 2 + 3 x λ = 0
⇒ 2 – 8 + 3λ = 0
⇒ – 3 + λ = 0
⇒ λ = 
⇒ λ = 2

प्रश्न 5.
रेखा

और समतल 2x + y – 3z + 4 = 0 के मध्य कोण ज्ञात कीजिए।
हल :
समतल 2x + y – 3z + 4 = 0 के अभिलम्ब सदिश  = 2i + j – 3k तथा रेखा

के समान्तर सदिश

यदि समतल और सरल रेखा के बीच कोण θ हो तो

प्रश्न 6.
रेखा

और समतल 3x + 4 + z + 5 = 0 के मध्य कोण ज्ञात कीजिए।
हल :
समतल 3x + 4y + z + 5 = 0 के अभिलम्ब सदिश 3i + 4j + k तथा रेखा

के समान्तर सदिश  = 3i – j + 2k है। यदि समतल और रेखा के मध्य कोण 8 हो तो

प्रश्न 7.
रेखा

और समतल

के मध्य कोण ज्ञात कीजिए।
हल :
हम जानते है कि रेखा

प्रश्न 8.
रेखा

और समतल

के मध्य कोण ज्ञात कीजिए।
हल :
हम जानते हैं कि रेखा

तथा समतल

के मध्य कोण θ का मान

प्रश्न 9.
यदि रेखा

समतल

के समान्तर हो तो m का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
दी गई रेखा

के समान्तर सदिश

और समतल

में अभिलम्ब सदिश

है।
चूँकि दी गई रेखा, समतल के समान्तर है अतः

⇒ (2i + j + 2k).(3i – 2j + mk) = 0
⇒ 2 x 3 + 1 x – 2 x m = 0
⇒ 6 – 2 + 2m = 0
⇒ 4 + 2m = 0
⇒ m = – 2

प्रश्न 10.
यदि रेखा

समतल

के समान्तर हो तो m का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
दी गई रेखा

के समान्तर सदिश

तथा समतल

के अभिलम्ब सदिश

चूँकि दी गई रेखा समतल के समान्तर है अतः

⇒ (2i – mj – 3k).(mi + 3j + k) = 0
⇒ 2 × m + (-m) x 3 + (-3) x 1 = 0
⇒ 2m – 3m – 3 = 0
⇒ – m – 3 = 0
⇒ m = – 3

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 12 अवकल समीकरण Miscellaneous Exercise

प्रश्न 1.

का हुल है
(a) y = cot^-1x + C
(b) y = tan^-1x + C
(c) y = sin^-1x + C,
(d) y = cos^-1x + C
हल :

दोनों तरफ समाकलन करने पर,

अतः उत्तर (b) सही है।

प्रश्न 2.
समीकरण

का हल है

हल :
समीकरण

समाकलन करने पर,


अतः उत्तर (a) सही है।

प्रश्न 3.
समीकरण

का हल है
(a) log sin y + sin + C
(b) log sin x sin y = C
(c) sin y + log sin x + C
(d) sin x sin y + C
हल :
समीकरण

दोनों तरफ समाकलन करने पर,

अब उत्तर (a) सही है।

प्रश्न 4.
समीकरण

का हल है
(a) y = log (e^x + e^-x) + C
(b) y = log (e^x – e^-x) + C
(c) y = log (e^x + 1) + C
(d) y = log (1 – e^-x) + C
हल :

समाकलन करने पर,
⇒ y = log (e^x – e^-x) + C
अत: उत्तर (b) सही है।

प्रश्न 5.
समीकरण

का हल है
(a) e^y = e^x + C
(b) e^y = e^-x + C
(c) e^-y = e^-x + C
(d) e^-y = e^x + C
हल :

समाकलन करने पर,

अत: उत्तर (a) सही है।

प्रश्न 6.
समीकरण

का हल है

हल :

समाकलन करने पर,

अत: उत्तर (b) सही है।

प्रश्न 7.
समीकरण

का हल है
(a) x + tan y = C
(b) tan y = x + C
(c) sin y + x = C
(d) sin y – x = C
हल :

समाकलन करने पर,
tan y = x + C
अत: उत्तर (b) सही है।

प्रश्न 8.
समीकरण

का हल है

हल :

⇒ dy = e^y(e^x + x²)dx
⇒ e^-y dy = e^x dx + x² dx
समाकलन करने पर,

अत: उत्तर (b) सही है।

प्रश्न 9.
अवकल समीकरण

में निम्न में से किस प्रतिस्थापन द्वारा रैखिक समीकरण में परिवर्तित होगी ?

हल :
उत्तर (c) सही है।

प्रश्न 10.
अवकल समीकरण

में निम्न में से किस प्रतिस्थापन द्वारा अवकल समीकरण में परिवर्तित होगी
(a) 
(b) y^-2 = v
(c) y^-3 = v
(d) y³ = v
हल :
उत्तर (b) सही है।

प्रश्न 11.
अवकल समीकरण

का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल :

समाकलन करने पर,

यही अभीष्ट व्यापक हुल है।।

प्रश्न 12.
अवकल समीकरण

समाकलन गुणांक ज्ञात कीजिए।
हल :

P = tan x, Q = sin x
समाकलन गुणांक (I.F.) = e^{∫p dx}
= e^{∫tan x dx}
= e^{log sec x}
= sec x

प्रश्न 13.
अवकल समीकरण

का सभाकलन गुणांक ज्ञात कीजिए।
हल:

इसकी तुलना समी.  से करने पर,

समाकलन गुणांक (I.F.) = e^{∫p dx}

प्रश्न 14.
अवकल समीकरण

किस रूप की है ?
हुल :
चरों को पृथक-पृथक परिवर्तित करने वाली समीकरण के रूप की है।

प्रश्न 15.
अवकल समीकरण

किस रूप की है ?
हल :
रैखिक समीकरण।

प्रश्न 16.
अवकल समीकरण

का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल :

∴ x = X + h तथा y = Y + k

h व k इस प्रकार है कि
4h + 3k + 1 = 0
तथा 3h + 2k + 1 = 0
हल करने पर, h = – 1, k = 1
h वे k हैं के मान समी (i) में रखने पर,

यह एक समघातीय समी. है।

समी. (i) व (i) से,

समाकलन करने पर


इसमें Y = y – 1 तथा X = x + 1 रखने पर

यहीं अभीष्ट हल है।

प्रश्न 17.

हल :

समाकलन करने पर,

यही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 18.

हल :

यह समघातीय समी. है। …(1)

समाकलन करने पर

यही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 19.

हल :

यह आश्रित चर v के साथ रैखिक समी. हैं।

अतः e^y = e^x + 1 + Ce⁽_e^x) ही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 20.

हल :

माना tan y = v, तब sec²y (dy/dx) = dv/dx, समी. (1) से,
 , यह आश्रित चर v के साथ रैखिक समी. है।
यहाँ P = 2x और Q = x³

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 10 निश्चित समाकल Ex 10.1

योगफल की सीमा के रूप में (प्रथम सिद्धान्त सै) निम्न निश्चित समाकलों के मान ज्ञात कीजिए :

प्रश्न 1.

हल :

परिभाषानुसार,

यहाँ a = 3, b = 5,f (x) = x – 2, nh = 5 – 3 = 2

प्रश्न 2.

हल :

परिभाषानुसार,

यहाँ a = a, b = b, nh = b – a

प्रश्न 3.

हल :

यहाँ f(x) = x² + 5x, a = 1,b = 3 nh = 3 – 1 = 2



समी. (i) में I1 व I2 का मान रखने पर,

प्रश्न 4.

हल :
यहाँ f(x) = e^-x, ‘a’ = a, ‘b’ = b तथा nh = b – a

= – (e^-b – e^-a)
= e^-a – e^-b

प्रश्न 5.

हल :

यहाँ f(x) = x + 4, a = 0, b = 2
तथा nh = b – a = 2 – 0 = 2


= (2+0)+8 = 10

प्रश्न 6.

हल :

यहाँ f(x) = 2x² + 5, a = 1, b = 3
तथा nh = b – a = 3 – 1 = 2

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 10 निश्चित समाकल Ex 10.2

निम्न समाकलों के मान ज्ञात कीजिए

प्रश्न 1.

हल :

माना 2x + 1 = t
2dx = dt
जय x = 1 तो t = 3
2dx = dt
जब x = 3 तौ t = 7

प्रश्न 2.

हल :

माना cosx = t
तौ -sinx dx = dt
या sinx dx = -dt
जब x = 0
तौ t = cos 0 = 1

प्रश्न 3.

हल :

माना logx = t
तौ  dx = dt
जब x = 1, तौ t = log 1 = 0
जब x = 3, तौ t = log 3

= sin(log 3)

प्रश्न 4.

हल :

माना √x = t

जब x = 0, तौ t = √0 = 0
जब x = 1, तौ t = √1 = 1

प्रश्न 5.

हल :

प्रश्न 6.

हल :

माना y + c = t
तो y + c = t
dy = dt
जय y = 0 तो t = 0 + c = c
जब y = c तौ t = c + c = 2c

प्रश्न 7.

हल :

प्रश्न 8.

हल :

माना 1 + logx = t
तौ  dx = dt
जब x = 1, तौ t = 1 + log 1 = 1
जब x = 2, तौ t = 1 + log 2

प्रश्न 9.

हल :

प्रश्न 10.

हल :

माना sinx – cosx = t
⇒ (cosx + sinx)dx = dt
⇒ 1-2 sinx cosx = t²
⇒ sin 2x = 1 – t²

प्रश्न 11.

हल :

प्रश्न 12.

हल :

प्रश्न 13.

हल :

प्रश्न 14.

हल :

माना 1 – x² = t
⇒ – 2x dx = dt
⇒ xdx = 
⇒ sin 2x = 1 – t²
जब x = 0 तौ t = 1 – 0 = 1
जब x = 1 तौ t = 1 – 1 = 0

प्रश्न 15.

हल :

प्रश्न 16.

हल :

अंश व हर में cos²x से भाग देने पर

माना 2 tanx = t
⇒ 2 sec²x dx = dt
⇒ sec²x dx = 
जब x = 0 तौ t = 0

प्रश्न 17.

हल :

समी (i) तथा (ii) को जोड़ने पर

प्रश्न 18.

हल :

प्रश्न 19.

हल :

जब x = 0 तौ t = 0
जब x = 1 तौ t = 

= (1-0)-(0-0)
= 1

प्रश्न 20.

हल :

प्रश्न 21.

हल :

= (2 log 2 – 1 log 1) – (2 – 1)
= log 2² – 0 – 1
= log 4 – 1
= log 4 – log e
= log 

प्रश्न 22.

हल :

प्रश्न 23.

हल :

माना cosx = t
तौ -sin x dx = dt
या sinx dx = -dt
जब x = 0, तौ t = 1


t = A(t + 2) + B (t + 1)
= At + 2A + Bt + B
= (A + B)t + 2A + B
तुलना करने पर,
A + B = 1, 2A + B = 0
⇒ A + (A + B) = 0
⇒ A + 1 = 0
⇒ A = – 1
⇒ – 1 + B = 1
⇒ B = 2

= [log (0 + 1) – log (1 + 1)] – 2 [log (0 + 2) – log (1 + 2)]
= log 1 – log 2 – 2 log 2 + 2 log 3
= 0 – log 2 – log 2² + log 3²
= log 9 – log 2 x 4
= log 

प्रश्न 24.

हल :

माना x = 3 sin² θ
∴ dx = 3 sin² dθ
जब x = 0, तौ θ = 
जब x = 0, तौ θ = 0

प्रश्न 25.

हल :

प्रश्न 26.

हल :

= [log (x +1)] – [log (x + 2)]
= [log (2 + 1) – log (1 + 1]] – [log (2 + 2) – log (1 + 2)]
= log 3 – log 2 – log 4 + log 3
= 2 log 3 – (log 2 + log 4)
= 2 log 3 – log 8

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 10 निश्चित समाकल Ex 10.3

निम्नलिखित समाकलों के मान ज्ञात कीजिए

प्रश्न 1.

हल :
माना

प्रश्न 2.

हल :
माना

प्रश्न 3.

हल :
माना

= 28 + 6 + 28
= 62

प्रश्न 4.

हल :
माना

= 0 + (2 – 1) + (6 – 4)
= 0 + 1 + 2
= 3

प्रश्न 5.

हल :
माना

यहाँ f(x) = x⁵ cos² x
अब f(x) = (-x)⁵ cos² (-x)
= -x⁵ cos² x
= -f(x)
अतः यह एक विषम फलन है।

प्रश्न 6.

हल :
माना


[∵ sin x एक विषम फलन है तथा cos x एक सम फलन हैं
∴ sin (-x) = -sin x
cos(-x) = cos x]
= -f(x)
अत: यह एक विषम फलन है।

प्रश्न 7.

हल :
माना

समी करण (i) व (ii) को जोड़ने पर

प्रश्न 8.

हल :
माना

समी करण (i) व (ii) को जोड़ने पर

प्रश्न 9.

हल :
माना

समी करण (i) व (ii) को जोड़ने पर

प्रश्न 10.

हल :
माना

प्रश्न 11.

हल :
माना

प्रश्न 12.

हल :
माना


समी करण (i) व (ii) को जोड़ने पर

प्रश्न 13.

हल :
माना

समी करण (i) व (ii) को जोड़ने पर

प्रश्न 14.

हल :
माना

प्रश्न 15.

हल :
माना

जहाँ t = tan x तथा dt = sec² dx
जब x = 0,तो t = tanθ = 0

प्रश्न 16.

हल :
माना

(i) तथा (ii) को जोड़ने

(iv) तथा (v) को जोड़ने


जब x = 0 तब t = 0, जब x =  तब t = π

I1 का मान समीकरण (iii) में रखने पर

प्रश्न 17.

हल :
माना

समी करण (i) व (ii) को जोड़ने पर

प्रश्न 18.

हल :
माना

(1) तथा (2) को जोड़ने पर

= π[tan π – tan 0] – π[sec π – sec 0]
= π × 0 – π(-1-1) = 2π
2I = 2π
∴ I = π

प्रश्न 19.

हल :
माना


समी (ii) व (iii) से मान समी (i) में रखने पर

प्रश्न 20.

हल :
माना

प्रश्न 21.

हल :
माना

प्रश्न 22.

हल :
माना

समी करण (i) व (ii) को जोड़ने पर

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 10 निश्चित समाकल Miscellaneous Exercise

निम्नलिखित का समाकल कीजिए

प्रश्न 1.

का मान है

हल :
माना

अत: विक (d) सही है।

प्रश्न 2.

का मान है

हल :
माना

समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर।


अत: विक (c) सही है।

प्रश्न 3.

का मान है

हल :
अत: विक (b) सही है।

प्रश्न 4.
यदि

हो, तो A(3) का मान होगा
(a) 9
(b) 27
(c) 3
(d) 81
हल :

= 3 x 3 = 9
अत: विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 5.

हल :
माना

x + 3 = (A + B)x + 2A
तुलना से, A + B = 1, 2A = 3
⇒ A + B = 1, A = 3/2
B = 1 – 3/2 = – 1/2

प्रश्न 6.

हल :
माना

प्रश्न 7.

हल :
माना

= e^π/2 x 1 = 0
= e^π/2

प्रश्न 8.

हल :

प्रश्न 9.

हल :

समीकरण (i) (ii) व (iii) को जोड़ने पर।

प्रश्न 10.

हल :
माना

प्रश्न 11.

हल :
माना

प्रश्न 12.

हल :
माना

प्रश्न 13.

हल :

  एक विषम फलन है    और एक सम फलन है।

माना cosx ⇒ – sinx dx = dt
sinx dx = -dt
जब x = 0,तो t = 1 तथा जब x = π तो t = -1

I1 और I2 का मान समीकरण (1) में रखन पर

प्रश्न 14.

हल :
माना

माना

I = ∫t sec² t dt
I= t tan t – ∫1.tan t dt
= t tan t – log sec t + c
I = sin x tan (sin) – log sec(sin x) + c

प्रश्न 15.

हल :
माना


प्रश्न में limit 0 से 1 रखते है, तब

प्रश्न 16.

हल :
माना

प्रश्न 17.

हल :
माना

अतः के निष्कासन नियम से

(cos² x का अंश-हर में भाग देने पर)
जहाँ माना tan x = t ⇒ sec² x dx = dt
x = 0 तो t = 0, x =  तो t = ∞

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 9 समाकलन Ex 9.1

प्रश्न 1.
निम्न फलनों का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए

हल :

निम्न समाकलों के मान ज्ञात कीजिए
प्रश्न 2.

हल:

= 5 ∫cos x dx – 3 ∫sin x dx + 2 ∫sec² x dx
= 5 sin x – 3( – cos x) + 2 tan x + c
= 5 sin x + 3 cos x + 2 tan x + c

प्रश्न 3.

हल:

प्रश्न 4.
∫(sec² x + cosec² x) dx
हल :
∫(sec² x + cosec² x) dx
= ∫sec² x + ∫cosec² dx
= tan x – cot x + c

प्रश्न 5.
∫(1 + x) √x dx
हल:
∫(1 + x) √x dx

प्रश्न 6.
∫a^x da
हल:
∫a^x da =

प्रश्न 7.

हल:

प्रश्न 8.

हल:

= ∫(1 – sin x) dx
= ∫dx – ∫sin x dx
= x – (-cos x) + c
= x + cos x + c

प्रश्न 9.
∫sec x (sec x + tan x) dx
हल:
∫sec x (sec x + tan x) dx
= ∫sec² x dx + ∫sec x tan x dx
= tan x + sec x + c

प्रश्न 10.
∫(sin^-1 x + cos^-1 x) dx
हल:
∫(sin^-1 x + cos^-1 x) dx

प्रश्न 11.

हल:

= x – 2 tan^-1 x + c

प्रश्न 12.
∫ tan² x dx
हल:
∫ tan² x dx = ∫(sec²x – 1)dx
= ∫sec² – ∫dx
= tan x – x + c

प्रश्न 13.
∫cot² x dx
हल:
∫(cosec²x – 1)dx
= ∫cosec² dx – ∫dx
= – cot x – x + c

प्रश्न 14.

हल:

प्रश्न 15.
∫(tan²x – cot²x) dx
हल:
∫(tan²x – cot²x) dx
= ∫(sec²x – 1 – cosec²x + 1) dx
= ∫sec² x dx – ∫cosec² x dx
= tan x + cot x + c

प्रश्न 16.

हल:

= ∫x – ∫sec² x dx + ∫tan x sec x dx
= x – tan x + sec x + c

प्रश्न 17.

हल:

= ∫cosec² x dx + ∫cosec x cot x dx
= – cotx – cosec x + c

प्रश्न 18.

हल:

प्रश्न 19.
∫cot x (tan x – cosec x) dx
हल:
∫cot x (tan x – cosec x) dx
= ∫cot x tan x dx – ∫cot x cosec x dx
= ∫1 dx – ∫cosec x cot x dx
= x + cosec x + c

प्रश्न 20.

हल:

प्रश्न 21.
∫log_x x dx
हल:
∫log_x x dx

=∫1 dx
= x + c

प्रश्न 22.

हल:

= √2∫cos x dx
= √2 sin x + c

प्रश्न 23.

हल:

= ∫cosec² x dx – ∫sec² x dx
= – cot x – tan x + c

प्रश्न 24.

हल:

= 3 ∫cosec x cot x dx + 4 ∫cosec² x dx
= – 3 cosec x + 4(-cotx) + c
= – 3 cosec x – 4 cotx + c

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 9 समाकलन Ex 9.2

निम्न फलनों को x के सापेक्ष समाकलन कीजिए

प्रश्न 1.
(a) ∫x sin x² dx
(b) ∫x√x² + 1 dx
हल :
(a)∫x sin x² dx
माना x² = t
⇒ 2x dx = dt

(b) ∫x√x² + 1 dx
माना x² + 1 = t
⇒2x dx = dt

प्रश्न 2.

हल :
(a)

माना e^x + cos x = t
⇒ (e^x – sin x) = dt

= log |t| + C
= log |e^x + cos x|+C

(b)

माना
1 + e^x = t
e^x dx = dt

प्रश्न 3.

हल :
(a)

(b)

प्रश्न 4.

हल :

प्रश्न 5.

हल :

प्रश्न 6.

हल :

= log|cosec 2x – cot 2x| + log |cosec x – cot x |+ C

प्रश्न 7.
(a) ∫sin 3x sin 2x dx
(b) ∫ 
हल :
(a) ∫sin 3x sin 2x dx

प्रश्न 8.
(a) ∫cos⁴ x dx
(b) ∫sin³ x dx
हल :
(a) ∫cos x⁴ dx
= – ∫(cos² x)² dx

(b) ∫sin³ x dx

प्रश्न 9.

हल :

माना tan x = t
sec² x dx = dt

माना xe^x = t
⇒ (xe^x + e^x.1)dx = dt
⇒ (1 + x)e^x dx = dt

= ∫sec² t dt = tan t + c
= tan (xe^x) + c

प्रश्न 10.

हल :


माना cosx – sinx = t
⇒ (sin x + cos x) dx = dt

माना sin x + cos x = t
⇒ -cos x + sin x dx = dt

प्रश्न 11.

हल :

माना tan x = t
⇒ sec²x dx = dt

माना sin x + cos x = t
(cos x – sin x) dx = dt
= ∫ 
= log|t| + C
= log |sin x + cos x| + C

प्रश्न 12.

हल :

माना x + a = t
dx = dt
x = t – a

= cos 2a ∫ dt – sin 2a ∫ cot dt
= (cos 2a)t – sin 2a log |sin t| + C1
= (x + a) cos 2a – sin 2a log |sin (x + a) | + C1
= x cos 2a – sin 2a log |sin(x + a)| + a cos 2a + C1
= x cos 2a – sin 2a log |sin (x + a)| + C
(जहाँ C = a cos 2a + C1)

माना x – a = t
x = t + a
dx = dt

= ∫cos a dt + ∫sin a cot dt
= cos a.t + sin a log |sin t|
= (x – a) cos a + sin a log |sin (x – a)| + C1
= x cos a + sin a log |sin (x – a)| + (-a cos a + C1)
= x cos a + sin a log |sin (x -a)| + C
(जहाँ C = -a cos a + C1)

प्रश्न 13.

हल :

प्रश्न 14.

हल :

माना 4 = sin θ तथा 3 = r cos θ
तब्र r² sin² θ + r² cos² θ = 3² + 4² = 5²
⇒ r = 5

प्रश्न 15.

हल :

माना a cos² x + b sin² x = t
⇒ (-2a cos x sin x + 2b sin x cos x) dx = dt
⇒ (2b sin cos x – 2a sin x cos x) dx = dt
⇒ 2(b – a) sin x cos x dx = dt

प्रश्न 16.

हल :


= 2∫ (cos x + cos α) dx
= 2∫ cos x dx + 2∫ cos α dx
= 2 sin x + 2 cos α∫ dx
= 2 sin x + 2x cos α + C
= 2(sin x + x cos α) + C

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 9 समाकलन Ex 9.3

निम्न फलनों का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए

प्रश्न 1.

हल :

प्रश्न 2.

हल :

प्रश्न 3.

हल :

प्रश्न 4.

हल :

प्रश्न 5.

हल :

प्रश्न 6.

हल :

माना tanx = t
sec²x dx = dt

प्रश्न 7.

हल :

प्रश्न 8.

हल :

माना sin x – cos x = t
(cosx + sin x)dx = dt

प्रश्न 9.

हल :

माना x = a cos²θ
dx = a 2cos θ (-sin θ) dθ
dx = – 2a sin θ cosθ dθ


माना x = a cos θ
dx = -a sin θ dθ

प्रश्न 10.

हल :

प्रश्न 11.

हल :

माना x = sin θ
dx = cosθ dθ

माना x² + 1 = t
2x dx = dt

प्रश्न 12.

हल :

x = α cos²θ + β sin²θ
dx = (β – α) sin 2θ dθ
α(1 – sin² θ) + β sin²θ = x
α + β sin²θ – α sin²θ = x
(β – α) sin²θ = x – α

प्रश्न 13.

हल :

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 9 समाकलन Ex 9.4

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए

प्रश्न 1.

हल:

प्रश्न 2.

हृल :

प्रश्न 3.

हृल :

⇒ 3x = Ax – 2A + Bx + B
⇒ 3x = (A + B)x – 2A + B
तुलना करने पर, A + B = 3 ….(1)
तथा -2A + B = 0
B = 2A …….(2)
समी. (2) से B का मान समी. (1) में रखने पर,
⇒ A + 2A = 3 ⇒ A – 1
माना B = 2 x 1 = 2

= log | x + 1 | + 2 log | x – 2| + C

प्रश्न 4.

हल :

⇒ 3x – 2 = A (x + 1) (x + 3) + B (x + 3) + C (x + 1)²
⇒ 3x – 2 = A (x² + 4x + 3) + Bx + 3B + C (x² + 2x + 1)
⇒ 3x – 2 = (A + C)x² + (4A + B + 2C)x + 3A + 3B + C
तुलना से,
A + C = 0 तो A = – C ….(i)
4A + B + 2C = 3
4A + B – 2A = 3
24 + B = 3 …(ii)
3A + 3B + C = – 2
3A + 3B – A = – 2
2A + 3B = – 2 …(iii)
समी. (iii) में से (ii) को घटाने पर
(2A + 3B) – (2A + B) = – 2 – 3
2B = – 5 ⇒ B = 
2A + B = 3

प्रश्न 5.

हल :

माना

x² = A (x – 2)(x – 3) + B (x + 1) (x – 3) + C (x + 1] (x – 2)
x² = A(x² – 2x – 3x + 6) + B (x² + x – 3x – 3) + C (x² + x – 2x – 2)
x² = A (x² – 5x + 6) + B (x² – 2x – 3) + C(x² – x – 2)
x² = (A + B + C)x² + (-5A – 2B – C)x + (6A – 3B – 2C)
दोनों पक्षों में x के गुणांकों की तुलना करने पर,
A + B + C = 1 …(1)
– 5A – 2B – C = 0 …(2)
6A – 3B – 2C = 0 …(3)
समी. (1), (2) व (3) को हल करने पर

प्रश्न 6.

हल:


y = A (y – 4) + B (y + 3)
y = Ay – 4A + By + 3B
y = Ay + By + (-4A + 3B)
y = (A + B)y + (-4A + 3B)
तुलना करने पर A + B = 1, – 4A + 3B = 0
हल करने पर, A = 3/2, B = 4/7

प्रश्न 7.

हल:

1 = A (x – 1) (x + 1) + B (x + 1} + C (x – 1)²
1 = A (x² – 1) + B (x + 1) + C(x² – 2x + 1)
1 = (A + C)x² + (B – 2C)x – A + B + C
तुलना करने पर , A + C = 0,B – 2C = 0
– A + B + C = 1

प्रश्न 8.

हल:

तथा अंश की बात हर को घात से बड़ी या बराबर नहीं होनी चाहिएः
∴ घात का संयोजन किया गया है।

प्रश्न 9.

हल:

प्रश्न 10.

हल:

x + 1 = A (x + 3) (x – 2) + Bx (x – 2) + Cx (x + 3)
x + 1 = A (x² + 3x – 2x – 6) + B(x² – 2x) + C(x² + 3x)
x + 1 = A (x² + x – 6) + B(x² – 2x) + (C x² + 3Cx)
x + 1 = (A + B + C)x² + (A – 2B + 3C)x – 6A
तुलना करने पर,
A + B + C = 0, A – 2B + 3C = 1, – 6A = 1
हल करने पर,

प्रश्न 11.

हल:

⇒ x² – 8x + 4 = A(x² – 4) = A(x² – 4) + B(x² + 2x) +C(x² – 2x)
⇒ x² – 8x + 4 = (A + B + C)x² + (2B – 2C)x – 4A
तुलना करने पर
A + B + C = 1, 2B – 2 C = – 8, – 4 A = 4
हल करने पर, A = -1, B = – 1, C = 3

= – log | x | – log | x – 2 | + 3 log | x + 2 | + C

प्रश्न 12.

हल:

⇒ 1 = A(x – 1) (x + 2) + B(x + 2) + C(x – 1)²
⇒ 1 = A(x² – x + 2x – 2) + B(x + 2) + C(x² – 2x + 1)
⇒ 1 = A(x² + x – 2) + B(x + 2) + C(x² – 2x + 1)
⇒ 1 = (A + C)x² + (A + B – 2C)x – 2A + 2B + C
तुलना करने पर,
A + C = 0, A + B – 2C = 0, – 2A + 2B + C = 1
हल करने पर,

प्रश्न 13.

हल:

⇒ 1 – 3x = A(1 + x²) + (Bx + C) (1 + x)
⇒ 1 – 3x = A + Ax² + Bx + C + Bx² + Cx
⇒ 1 – 3x = Ax² + Bx² + Bx + Cx + A + C
⇒ 1 – 3x = (A + B)x² + (B + C)x + A + C
तुलना करने पर,
A + B = 0, B + C = – 3, A + C = 1
हल करने पर
A = 2, B = – 2, C = – 1

प्रश्न 14.

हल:

प्रश्न 15.

हल:

⇒ 2x + 1 = Ax + Bx + 2A + B
⇒ 2x + 1 = (A + B)x + (2A + B)
तुलना करने पर,
A + B = 2, 2A + B = 1
हल करने पर,
A = -1, B = 3

= x – log |x + 1| + 3 log |x + 2|

प्रश्न 16.

हल:

(x – 1) = A(x² + 1) + (Bx + C) (x + 1)
x – 1 = Ax² + A + Bx² + Cx + Bx + C
x – 1 = (A + B)x² + (B + C)x + A + C
तुलना करने पर,
A + B = 0, B + C = 1, A + C = – 1
हुल करने पर,
A = – 1, B = 1, C = 0

प्रश्न 17.

हल :

प्रश्न 18.

हल :

(e^x से अंश व हर में गुणा करने पर)
माना e^x – 1 = t, तो e^x = t + 1
e^x dx = dt

1 = At² + Bt(t – 1) + C(t + 1)
1 = At² + Bt² + Bt + Ct + C
1 = (A + B)t² – (B + C)t + C
तुलना से, A + B = 0, B + C = 0, C = 1
हल करने पर,
C = 1, B = – 1, A = 1

प्रश्न 19.

हल :

माना
e^x = t
e^x dx = dt

⇒ 1 = At + 2A + Bt + 3B
⇒ 1 = (A + B)t + (2A + 3B)
तुलना करने पर,
A + B = 0, 2A + 3B = 1
हल करने पर,
A = – 1, B = 1

प्रश्न 20.

हल :

माना
tan x = t
sec² x dx = dt

⇒ 1 = 3A + At + 2B + Bt
⇒ 1 = (A + B)t + 3A + 2B
तुलना करने पर,
A + B = 0
तथा 3A + 2B = 1
हल करने पर, A = 1, B = -1

प्रश्न 21.

हल:

(अंश व हर में x⁴ से गुणा करने पर)

⇒ 1 = At + A + Bt
⇒ 1 = (A + B)t + A
तुलना करने पर
A + B = 0, A = 1
हल करने पर,
A = 1, B = – 1

प्रश्न 22.

हल:

प्रश्न 23.

हल:

⇒ 8 = (x² + 4) = (Bx + C)(x + 2)
= A(x² + 4) + Bx² + Cx + 2Bx + 2C
= (A + B)x² + (2B + C)x + 4A + 2
तुलना करने पर,
A + B = 0, 2B + C = 0, 4A + 2C = 8
हल करने पर,
A = 1, B = – 1, C = 2

प्रश्न 24.

हल:

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 9 समाकलन Ex 9.5

निम्न फलनों का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए-

प्रश्न 1.

हल :

प्रश्न 2.

हल :

प्रश्न 3.

हल :

प्रश्न 4.

हल :

प्रश्न 5.

हल :

प्रश्न 6.

हल :

sin x = t
cos x dx = dt

= tan^-1(t+2)+c
= tan^-1(sin x+2)+c

प्रश्न 7.

हल :

x – 3 = A  (x² + 2x – 4) + B
⇒ x – 3 = A(2x – 2) + B
⇒ x – 3 = 2Ax + (2A + B)
तुलना करने पर,

प्रश्न 8.

हल :

3x + 1 = A  (2x² – 2x + 3) + B
⇒ 3x + 1 = A(4x – 2) + B
⇒ 3x + 1 = 4Ax – 2A + B
तुलना करने पर,
4A = 3 ⇒ 

प्रश्न 9.

हल :

माना x + 1 = A  (x² + 4x + 5) + B
⇒ x + 1 = A(2x + 4) + B
⇒ 2A = 1 ⇒ A = 1/2
⇒ 4A + B = 1 ⇒ B = -1
∴ x + 1 =  (2x + 4) – 1

प्रश्न 10.

हल :

माना sinx = t
cos x dx = dt

प्रश्न 11.

हल :

(e^-2x से हर व अंश में गुणा करने पर)


t = At + 2A + Bt + B
t = (A +B)t + (2A + B)
तुलना से, A + B = 1
2A + B = 0
B = -2A
A + (-2A) = 1
A – 2A = 1
– 2A = 1
– A = 1 या A = -1
B = -2 x (- 1) = 2 या B = 2

प्रश्न 12.

हल :

प्रश्न 13.

हल :

प्रश्न 14.

हल :

प्रश्न 15.

हल :

प्रश्न 16.

हल :

माना
x² – 2x +4 = t
(2x – 2) = t
2(x – 1)dx = dt

प्रश्न 17.

हल :

x + 1 = A  (x² – x + 1) + B
x + 1 = A(2x – 1) + B
x + 1 = 2Ax – A + B
तुलना करने पर,
2A = 1, A = 1/2
– A + B = 1
⇒ B = 

प्रश्न 18.

हल :

x + 3 = A  (x² + 2x + 2) + B
⇒ x + 3 = A(2x + 2) + B
⇒ x + 3 = 24x + 2A + B
तुलना करने पर,
2A = 1, A = 
2A + B = 3, B = 2

प्रश्न 19.

हल :

प्रश्न 20.

हल :

प्रश्न 21.

हल :

प्रश्न 22.

हल :

माना e^x = t
e^x dx = dt

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 9 समाकलन Ex 9.6

निम्न फलनों का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए

प्रश्न 1.
(a) ∫x cos
(b) ∫x sec²x
हल :
(a) ∫x cos dx

= x sin x – ∫1.sin x dx
= x sin x – ( – cos x) + C
= x sin x + cos x + C

(b) ∫x sec²x dx

= x tan x – ∫1.tan x dx
= x tan x + log |cos x| + C
= x tan x – log |sec x| + C

प्रश्न 2.
(a) x³e^-x
(b) x³ sinx
हल :
(a) ∫x³e^-x

= – x³e^-x + 3∫x²e^-x dx ….(i)
∫x² e^-x dx

= – x²e^-x + ∫2xe^-x dx
= – x²e^-x + 2∫xe^-x dx ……(ii)
∫x e^-x dx

= – xe^-x + ∫e^-x dx
= – xe^-x – e^-x + C …..(iii)
समी. (i), (ii) व (iii) को हल करने पर
∫x³e^-x dx = – x³e^-x + 3[- x²e^-x + 2 ∫xe^-x dx]
= -x³e^-x + 3(-x²e^-x + 2(-xe^-x – e^-x + C1))
= -x³e^-x – 3x²e^-x + 6(-xe^-x – e^-x + C1)
= -x³e^-x – 3x²e^-x – 6xe^-x – 6e^-x + 6C1
= -x³e^-x – 3x²e^-x – 6xe^-x – 6e^-x + C
= -e [x³ + 3x² + 6x + 6] + C

(b) ∫x³ sinx

= -x³ cos x + 3x² sin x – 6(-x cos x + ∫cos x dx)
= -x³ cosx + 3x² sin x + 6x cos x – 6 sin x + C

प्रश्न 3.
(a) ∫x³ (log x)² dx
(b) ∫x³e_x² dx.
हल :
(a) ∫x³ (log x)² dx

(b) ∫x³e_x² dx.
माना x² = t
⇒ 2x dx = dt
⇒ x dx = 

प्रश्न 4.
(a) ∫ e^2x e_e^x dx
(b) ∫ (log x)² dx
हल :
(a) ∫ e^2x e_e^x dx
माना e^x = t
e^x dx = dt

= t e^t – ∫1 e^t dt = te^t – e^t + c
= e^t (t – 1) + c
= e_e^x (e^x – 1) + c

(b) I = ∫ (log x)² dx = ∫(log x)².1 dx
[(log x)² को प्रथम फलन तथा 1 को द्वितीय फलन लेने पर ]

(log x को प्रथम फलन तथा 1 को द्वितीय फलन लेने पर)

= x (log x)² – 2x log x + 2x + C

प्रश्न 5.

हल :
(a) I = ∫ cos^-1x dx
माना cos^-1 x = t
तब x = cos t
dx = – sint dt
∴ I = – ∫t sin t dt
(t को प्रथम फलन तथा sin t को द्वितीय फलन लेने पर)

माना x = a tan²θ
∴ dx = 2a tan θ sec² θ dθ

(θ को पहला एवं tan θ sec² θ को दूसरा फलन मानने पर)
खण्डशः समाकलन से,

प्रश्न 6.

हल :
(a) I = ∫ sin^-1 (3x – 4x³) dx
माना x = sin t, तब dx = cos t dt
∴ I = ∫sin^-1(3 sint – 4 sin³ t).cos t dt
= ∫sin^-1 (sin 3t) cos t dt
= ∫3t cos t dt
= 3∫t cost dt
(t को प्रथम फलन तथा cos t को द्वितीय फलन लेने पर)

(x को प्रथम फलन तथा sec²  को द्वितीय फलन लेने पर)।

प्रश्न 7.

हल :
(a) माना x = cos θ
dx = – sinθ dθ,

(b) ∫cos √x dx
माना √x = t, x = t²
dx = 2t dt
∫cos √x dx = ∫cos t.2t dt

प्रश्न 8.

हल :

= ∫x sec² x dx – ∫x tan x sec x dx
= I1 – I2 …….(i)
I1 = ∫x sec² x dx

= x tan x – ∫1.tan x dx
= x tan x – ∫tan x dx
= x tanx – (- log |cos x|) + C1
= x tan x + log |cos x| + C1 ….(ii)
I2 = ∫x.tan x sec x dx

= x sec x – ∫1.sec dx
= x sec x – ∫sec x dx
= x sec x – log | sec x + tan x | + C2 …(iii)

प्रश्न 9.

हल :

प्रश्न 10.

हल :

= θ( – cos θ) + ∫ cos θ dθ
= – θ cos θ + sin θ + c
= sin θ – θ cos θ + c
= cos θ [tanθ – θ] + c

प्रश्न 11.
∫ e^x (cot x + log sin x) dx
हल :
∫ e^x (cot x + log sin x) dx
माना I = ∫e^x [log |sin x| + cot x]dx
= ∫e^x log | sinx | dx + ∫e^x cot x dx
= ∫log | sin x | e^x dx + ∫e^x cot x dx
अब ∫log |sin x| e^x dx


∴ I = e^x log | sin x |e^x – ∫e^x cotx dx + ∫e^x cotx dx
= log | sin x |e^x + C
= e^x log | sin x | + C