Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 1

संयुक्त फलत Ex 1.1

प्रश्न 1.
यदि f : R→R तथा g : R→R दो फलन निम्न प्रकार से परिभाषित हों, तो (fog)(x) तथा (gof)(x) ज्ञात कीजिए :
(i) f(x) = 2x + 3, g(x) = x² + 5
(ii) f(x) = x² + 8, g(x) = 3x³+

1
(iii) f(x) = x, g(x) = | x |
(iv) f(x) = x² + 2x + 3, g(x) = 3x – 4
हल :
(i) f(x) = 2x +3
g(x) = x² + 5.
(fog)(x) = f(g(x))
= f(x² + 5)
= 2(x² + 5) + 3
= 2x² + 10 + 3
= 2x² + 13
(gof)(x) = g(f(x))
= g(2x + 3)
= (2x + 3)² + 5
= 4x² + 9 + 12x + 5
= 4x² + 12x + 14

(ii) f(x) = x² + 8
g(x) = 3x³+ 1
(fog)(x) = f(g(x))
= f(3x³+ 1)
= (3x³+ 1)² + 8
= 9x⁶+ 6x³+ 1 + 8
= 9x⁶+ 6x + 9
(gof)(x) = g(f(x))
= g(x² + 8)
= 3(x² + 8)³+ 1
= 3(x⁶+ 3x⁴× 8 + 3²× 64 + 8³) + 1
= 3x⁶+ 727x⁴+ 576x²+ 15136

(iii) f(x) = x
g(x) = | x |
(fog)(x) = f(g(x))
= f(| x |) = | x |
(gof)(x) = g(f(x))
= g(x) = | x |

(iv) f(x) = x² + 2x + 3
g(r) = 3x – 4
(fog)(x) = f(g(x))
= f(3x – 4)
= (3x – 4)² + 2(3x – 4) + 3
= 9x² – 24x + 16 + 6 – 8 + 3
= 9x² – 18x + 11
(gof)(x) = g(f(x)) = g(x² + 2x + 3)
= 3(x² + 2 + 3) – 4
= 3x² + 6x + 9 – 4
= 3x² + 6x + 5.

प्रश्न 2.
यदि A = {a, b, c}, B = {u, v, w} यदि f: A→B तथा g: B→A निम्न प्रकार परिभाषित हों कि
f= {(a, v), (b, u), (c, w)}
g= {(u, b), (v, a), (w, c)} तो (fog) तथा (gof) ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है, f = {(a, v), (b, u), (c, w)}
g = {(u, b), (v, a), (w, c}}
∴ f(a) = v तथा g(u) = b
f(b) = u तथा g(v) = a
f(c) = w तथा g(w) = c
अत: fog(x) = f[g(x)] से
fog(u) = f[g(u)] = f(b) =u
fog(v) = f[g(v)] = f(a) = v
fog(w) = f[g(w)] =f(c) = w
अत: fog= {(u, u), (v, v), (w, w)}
gof(a) = g[f(a)] = g(v) = a
gof(b) = g[f(b)] = g(u) = b
gof(c) = g[f(c)] = g(w) = c
∴ gof = {(a, a), (b, b), (c, c)}.

प्रश्न 3.
यदि f : R⁺→ R⁺तथा g : R⁺→ R⁺निम्न प्रकार परिभाषित हों कि
f(x) = x² तथा g(x) = √x तो
gof तथा fog ज्ञात कीजिए। क्या ये तुल्य फलन है?
हल :
दिया है, f: R⁺→ R⁺,f(x) = x²
g: R⁺→ R⁺, g(x) = √x
(gof)(x) = g[f(x)] = g(x)² = √x² = x
(fog)(x) = f[g(x)] = f(√x) = (√x)² = x
उपरोक्त से स्पष्ट है कि
(fog)(x) = (gof) (x) = x, ∀x ∈ R⁺
अत: (fog) तथा (gof) तुल्य फलन है।

प्रश्न 4.
यदि f: R → R तथा g : R → R दो ऐसे फलन हैं कि f(x) = 3x + 4 तथा g(x) = $\frac { 1 }{ 3 }$

(x-4), तो (fog)(x) तथा (gof)(x) ज्ञात कीजिए। साथ ही (gog)(1) का मान भी ज्ञात कीजिए।
हल :
दिये गये फलन हैं,
f: R → R, f(x) = 3x + 4
g: R→ R, g(x) = $\frac { x-4 }{ 3 }$
∴ (fog)(x) = f(g(x))
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 1 Ex 1.1 1

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प्रश्न 5.
यदि f, g, h तीन फलन R से R पर इस प्रकार परिभाषित हैं कि f(x) = x², g(x) = cos x एवं h(x) = 2x + 3, तो {ho(gof)} √2π का मान लिखिये।
हल :
दिया है : f(x) = x², g(x) = cos x, h(x) = 2x + 3
∴{ho(gof)}(x) = hog{{(x)} = h[g{f(x)}]
= h[g(x²)] = h(cos x²)
= 2 cos x² + 3
∴{ho(gof}}√2π = 2 cos (√2π)² + 3
= 2 cos 2π + 3
= 2 × 1 + 3 = 5

प्रश्न 6.
यदि f तथा g निम्न प्रकार परिभाषित हों, तो (gof) (x) ज्ञात कीजिए
(i) f : R → R, f(x) = 2x + x^-2
(ii) g : R → R, g(x) = x⁴+ 2x + 4
हल :
दिया है,f : R → R
f(x) = 2x + x^-2
g : R → R, g(x) = x⁴+ 2x + 4
(gof)(x) = g{f(x)}
= g{2x + x^-2}
= (2x + x^-2)⁴+ 2(2x + x^-2) + 4

प्रश्न 7.
यदि A = {1, 2, 3, 4},f: R→ R, f(x) = x² + 3x + 1 g: R → R, g(x) = 2x – 3, तब तब ज्ञात कीजिए :
(i) (fog)(x)
(ii) (gof)(x)
(iii) (fof)(x)
(iv) (gog)(x)
हल :
दिया है :
f: R → R, (x) = x² + 3x + 1
g : R – R, g(x) = 2x – 3
(i) ∴ (fog)(x) = f{g(x)}
=f{2x – 3}
= (2x – 3)² + 3(2x – 3) + 1
= 4x² – 12x + 9 + 6x – 9 + 1
= 4x² – 6 + 1

(ii) (gof)(x) = g{(x)}
= g(x² + 3x + 1)
= 2(x² + 3x + 1) – 3
= 2x² + 6x + 2 – 3,
= 2x² + 6x – 1.

(iii) (fof)(x) = f{f(x)}
= f(x² + 3x + 1)
= (x² + 3x + 1)² + 3(x² + 3x + 1) + 1
= x⁴+ 9x² + 1 + 6x³+ 6x + 2x² + 3x² + 9x + 3 + 1
= x⁴+ 6x³+ 14x² + 15x + 15

(iv) (gog)(x) = g{g(x)}
= g(2x – 3)
= 2(2x – 3) – 3
= 4x – 6 – 3
= 4x – 9

Ex. 1.2

प्रश्न 1.
यदि A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c, d} हो, तो A से B में चार एकैकी आच्छादक फलन परिभाषित कीजिये तथा उनके प्रतिलोम फलन भी बताइए।
हल :
दिया है : A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c, d}
(a) f1 = {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d)}
f1^-1= {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)}
(b) f2 = {(1, a), (2, c), (3, b), (4, d}}
f2^-1= {(a, 1), (c, 2), (b, 3), (d, 4}}
(c) f3 = {(1, b), (2, a), (3, 4), (4, b)}
f3^-1= {(b, 1), (a, 2), (d, 3), (b, 4)}
(d) f4 = {(1, c), (2, 4), (3, 4), (4, b)}
f4^-1= {(c, 1), (d, 2), (a, 3), (b, 4)}

प्रश्न 2.
यदि f: R → R, f(x) = x³ – 3 हो, तो सिद्ध कीजिए कि f^-1विद्यमान होगा तथा f^-1का सूत्र भी ज्ञात कीजिये। अतः f^-1(24) तथा f^-1(5) के मान भी ज्ञात कीजिये।
हल :
दिया गया है,
f: R → R, f(x) = x³ – 3
एकैकी/बहुएकी : माना a, b ∈ R.
∴f(a) = f(b)
∵f(a) = f(b)
a³ – 3 = b³ – 3
a³ = b³
a = b
अतः f(a) = f(b)
⇒ a = b
∴ f एकैकी फलन है।
आच्छादक/अन्तःक्षेपी : माना y ∈ R (सह-प्रान्त)
f(x) = y
⇒ x³ – 3 = y
⇒ x = (y + 3)^1/3∈ R ∀ y ∈ R
अतः y के प्रत्येक मान के लिए x प्रान्त R में विद्यमान है।
इस प्रकार, F का परिसर = f का सहप्रान्त
अतः f आच्छादक फलन है।
उपरोक्त से स्पष्ट है कि f एकैकी आच्छादक फलन है, इसलिये
f^-1, R → R विद्यमान होगा।
f^-1(y) = x
⇒ f(x) = y
⇒ f(x) = x³ – 3
⇒ x³ – 3 = y
⇒ x³ = y +3
⇒ x = (y + 3)^1/3
⇒ f^-1(y) = (y + 3)^1/3
⇒ f^-1(x) = (x + 3)^1/3∀ x ∈ R
x = 24 के लिए,
∴ f^-1(24) = (24 + 3)^1/3= (27)^1/3
= 3^{3 x}^1/3= 3
x = 24 के लिए,
f^-1(5)= (5 + 3)^1/3= (8)^1/3
= 2^{3 x}^1/3= 2

प्रश्न 3.
यदि f: R → R निम्न प्रकार परिभाषित है :
(i) f(x) = 2 – 3
(ii) f(x) = x³+ 5
तो सिद्ध कीजिये कि दोनों स्थितियों में f एकैकी आच्छादक है। f^-1भी ज्ञात कीजिये।
हल :
दिया गया फलन है,
f: R → R, f(x) = 2x – 3
एकैकी/बहुएकी-माना a, b ∈ R
f(a) = f(b)
⇒ 2a – 3 = 2b – 3
⇒ 2a = 2b
⇒ a = b
अतः f(a) = f(b) ⇒ a = b ∀a, b ∈ R
∴ f एकैकी फलन है।
आच्छादक/अन्तःक्षेपी—माना y ∈ R (सह-प्रान्त)
⇒ f(x) = y
⇒ 2x – 3 = y
⇒ x = $\frac { y+3 }{ 2 }$ ∈ R ∀ y ∈ R
अतः y के प्रत्येक मान के लिए पूर्व प्रतिबिम्ब प्रान्त R में विद्यमान है। इसलिए फलन f आच्छादक फलन है।
उपरोक्त से स्पष्ट है कि f एकैकी आच्छादक फलन है, अत: f^-1: R → R विद्यमान होगा।
माना x ∈ R (f का प्रान्त) तथा y ∈ R (f का सह-प्रान्त)
माना f(x) = y तब f^-1(y) = x
⇒ f(x) = y
⇒ 2x – 3 = y ,
⇒ $x=\frac { y+3 }{ 2 }$ ∈ R
⇒ f^-1(y) = $\frac { y+3 }{ 2 }$
⇒ f^-1(x) = $\frac { x+3 }{ 2 }$ ∀ x ∈ R

(ii) प्रश्नानुसार
f: R → R, f(x) = x³ + 5
एकैकी/बहुएकी : माना a, b ∈ R
f(a) = f(b)
a³+ 5 = b³+ 5
a³= b³
a = b
अतः f(a) = f(b)
a = b ∀ a, b ∈ R
∴ f एकैकी फलन है।
आच्छादक/अन्तःक्षेपी : माना y ∈ R (सह-प्रान्त)
f(x) = y
x³+ 5 = y
x³= y – 5
x= (y – 5)^1/3∈ R ∀ x ∈ R
अत: y के प्रत्येक मान के लिए पूर्व प्रतिबिम्ब प्रान्त R में विद्यमान है। इसलिए F का परिसर = F का सहप्रान्त
अतः फलन f आच्छादक फलन है।
अत: हम कह सकते हैं। f एकैकी आच्छादक फलन है; अतः f^-1: R → R अग्र प्रकार परिभाषित होगा।
f^-1(y) = x ⇔ (x) = y …(i)
⇒ f(x) = y
हल : दिया है, a*b= a + b + 1, ∀ a, b ∈ Z.
क्रम-विनिमेय : a*b = a + b + 1
a*b = b + a + 1
= b*a
∴ a*b = b*a
∴ * संक्रिया क्रम-विनिमेय हैं।
साहचर्य : (a*b)*c= (a + b + 1)*c
= a + b + 1 + c + 1
= a + b + c + 2
पुनः a*(b*c) = a*(b + c + 1)
= a + b + c + 1 + 1
= a + b + c + 2
⇒ a*(b*c) = (a*b)*c
∴* संक्रिया साहचर्य है।
तत्समक: यदि e तत्समक अवयव हो, तो
a*e = a
⇒ a + e + 1 = a
⇒ e = – 1
अत: – 1 ∈ Z तत्समक अवयव है।
प्रतिलोम : माना a का प्रतिलोम x है, तब परिभाषा के अनुसार,
a*= 0 [∵ 0 योग तत्समक हैं]
⇒ a + x + 1 = 0
⇒ x = – (a + 1) ∈ Z
यदि a ≠ – 1
प्रतिलोम अवयव – (a + 1) यदि a ≠ – 1

प्रश्न 4.
समुच्चय R – {1} पर एक द्विचर संक्रिया निम्न प्रकार परिभाषित है : ।
a*b = a + b – ab, ∀ a, b ∈ R – {1}
सिद्ध कीजिये कि * क्रम-विनिमेय तथा साहचर्य है। तत्समक अवयव ज्ञात कीजिये तथा किसी अवयव a का प्रतिलोम भी ज्ञात कीजिये।
हल :
यदि a, b ∈ R – {1} तो परिभाषानुसार,
a*b = a + b – ab
= b + a – ba
= b*a
∴ * एक क्रम-विनिमेय संक्रिया है।
पुनः (a*b)*c = (a + b – ab)*c
= (a + b – ab) + c – (a + b – ab).c
= a + b – ab + c – ac – bc + abc
= a + b + c – ab – bc – ac + abc …(i)
तथा a*(b*c) = a*(b + c – bc)
= a + (b + c – bc) – a.(b + c – bc)
= a + b + c – bc – ab – ac + abc
= a + b + c – ab – bc – ac + abc …(ii)

(i) और (ii) से स्पष्ट है कि
(ab)*c = a*(b*c)
∴ * एक साहचर्य संक्रिया है।
माना * का तत्समक अवयव e हो, तब किसी a ∈ R के लिये
a*e = a (तत्समक की परिभाषा से)
a + e – ae = a
e(1 – a) = 0
e = 0 ∈ R – {1}
1 – a ≠ 0 .
∴* का तत्समक अवयव 0 है।
माना b,a का प्रतिलोम है, तो a*b = e
a + b – ab = 0.e
b + ab = – a
$b=\frac { -a }{ a-1 }$ या $\frac { a }{ a-1 }$
अत: a का प्रतिलोम है $b=\frac { a }{ a-1 }$

प्रश्न 5.
समुच्चय R₀में चार फलन निम्न प्रकार परिभाषित है : f₁(x) = x, f₂(x) = – x, f₃(x) = 1/x, f₄(x) = – 1/x
फलनों का संयुक्त संक्रिया के लिए f₁, f₂, f₃, f₄की संक्रियता सारणी बनाइये। तत्समक अवयव तथा प्रत्येक अवयव का प्रतिलोम भी ज्ञात कीजिये।
हल :
दिया है, f₁(3) = x, f₂(x) = – x,
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 1 Ex 1.2 1

सारणी से स्पष्ट है कि f₁,f₂,f₃,f₄की तत्समक अवयव f₁है। प्रत्येक अवयव का प्रतिलोम भी स्वयं ही है।

विविध

प्रश्न 1.
यदि f : R → R, f(x) = 2x – 3; g : R → R, g(x) = x³+ 5 हो तब (fog)^-1(x) का मान होगा
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हल :
दिया है,
f : R → R, f(x) = 2x – 3
g : R → R, g(x) = x³ + 5
∴ (fog)(x) = f[g(x)]
= f(x³+ 5)
= 2(x³+ 5) – 3
= 2x³+ 10 – 3
= 2x³+ 7
माना y = (fog)(x) = 2x³+ 7
∴ (fog)^-1(y) = x

अत: सही विकल्प (d) है।

प्रश्न 2.
यदि f(x) = $\frac { x }{ 1-x } =\frac { 1 }{ y }$ तो f(y) का मान होगा
(a) 2x
(b) x – 1
(c) x + 1
(d) (1 – 3)
हल :
दिया है,
f(x) = $\frac { x }{ 1-x } =\frac { 1 }{ y }$
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अत: उपर्युक्त विकल्पों में से में सही विकल्प कोई नहीं है।

प्रश्न 3.
यदि f(x) = $\frac { x-3 }{ x+1 }$ हो, तो f[f{(x)}] बराबर है
(a) x
(b) 1/x
(c) -x
(d) -1/x
हल :
दिया है,
f(x) = $\frac { x-3 }{ x+1 }$
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 1 Additional Questions 3

अत: सही विकल्प (a) है।

प्रश्न 4.
यदि f(x) = cos (log x) हो तो f(x) . f(y) – $\frac { 1 }{ 2 }$ [f(x/y)] – f(x.y) बराबर है
(a) -1
(b) 0
(c) 1/2
(d) – 2
हल :
दिया है, f(x) = cos (log x)
∴ $f(x).f(y)-\frac { 1 }{ 2 } \left[ f\left( \frac { x }{ y } \right) +f(x.y) \right]$
= cos (log x) cos (log y) $-\frac { 1 }{ 2 } \left[ cos\left( log\frac { x }{ y } \right) +cos(log\quad xy) \right]$
= cos (log x) cos (logy) – $\frac { 1 }{ 2 }$ [cos (logx – logy) + cos (logx + logy)]
= cos (log.x) cos (logy) – $\frac { 1 }{ 2 }$ [2 cos (log x) cos (logy)]
= cos (log x) cos (logy) – cos (log x) cos (logy)
= 0
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 5.
यदि f : R→ R, f(x) = 2x + 1 और g : R → R, g(x) = x³, तो (gof)^-1(27) बराबर है
(a) 2
(b) 1
(c) -1
(d) 0
हल :
माना (gof)^-1(27) = x
(gof)(x) = 27
g{f(x)} = 27
g{2x + 1} = 27
(2x + 1)³ = 27
2x + 1 = 27^1/3
2x + 1 = 3^{3 x}^1/3
2x + 1 = 3
∴ 2x = 2
⇒ x = 1
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 6.
यदि f : R → R तथा g : R → R, जहां f(x) = 2x + 3 तथा g(x) = x² + 1 तब (gof)(2) का मान है
(a) 38
(b) 42
(c) 46
(d) 50
हल :
माना (gof)(2) = y
∴ y = g{f(2)}
= g{2 x 2 + 3}
= g(7)
= (7)² + 1
= 49 + 1
= 50
अतः सही विकल्प (d) है।

प्रश्न 7.
यदि समुच्चय Q₀पर एक संक्रिया *, a*b = ab/2, ∀a, b ∈ Q₀, द्वारा परिभाषित की जाये तो इस संक्रिया का तत्सम अवयव है-
(a) 1
(b) 0
(c) 2
(d) 3
हल :
यदि e तत्समक अवयव हो तो।
a ∈ Q₀के लिए
a*e = a
⇒ $\frac { ae }{ 2 }$ = a
⇒ e = 2
अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 8.
वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R में एक द्विचरं संक्रिया a*b = 1 + ab, ∀ a, b ∈ R द्वारा परिभाषित है, तब संक्रिया * है
(a) क्रमविनिमेय पर साहचर्य नहीं
(b) साहचर्य पर क्रम-विनिमेय नहीं
(c) न साहचर्य न क़म-विनिमेय
(d) साहचर्य तथा क्रम-विनिमेय दोनों
हल :
दिया है, a*b = 1 + ab, ∀a, b ∈ R
क्रम-विनिमेयता : a*b = 1 + ab
= 1 + b.a
= b*a
∵ वास्तविक संख्याओं का समुच्चय क्रम-विनिमेय होता है।
अतः a*b = b*a
∴ * संक्रिया क्रमविनिमेय है।
साहचर्यता : (a*b)*c = (1 + ab)*c
= 1 + abc
a*(b*c) = a*(1 + bc)
= 1 – a( 1 + bc)
= 1 + a + abc
स्पष्ट है कि (a*b)*c* ≠ a*(b*c)
अतः * संक्रिया साहचर्य नहीं है।
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 9.
पूर्णाकों के समुच्चय z के व्यवकलन (subtraction) एक ऐसी संक्रिया है जो
(a) क्रम-विनिमेय तथा साहचर्य है।
(b) साहचर्य परन्तु क्रम-विनिमेय नहीं
(c) न क़म-विनिमेय न साहचर्य
(d) क्रम-विनिमेय पर साहचर्य नहीं व्यवकलन की
उत्तर-
माना a, b ∈ Z
क्रम-विनिमेयता : अतः
a – b ≠ b – a
अर्थात् संक्रिया क्रमविनिमेय नहीं है।
साहचर्यता : (a – b) – c ≠ a – (b – c)
अत: व्यकलन की संक्रिया साहचर्य नहीं है।
विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 10.
पूर्णाकों के समुच्चय Z में एक संक्रिया *, a*b = a + b – ab, ∀ a, b ∈ Z द्वारा परिभाषित है। इस संक्रिया के सापेक्ष किसी अवयव a(≠1) का प्रतिलोम है :
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 1 Additional Questions 10
हल :
दिया है, a*b = a + b – ab, ∀ a, b ∈ Z
माना a ∈ Z यदि संभव हो, तो माना a का प्रतिलोम x है,
तब परिभाषा के अनुसार
a*x = 0 (∵ 0 तत्समक है)
a + x – ax = 0
x(1 – a) = – a
$x=\frac { -a }{ 1-a }$
= $\frac { a }{ a-1 }$ ∈ Z (यदि a ≠ 1)
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 11.
R में परिभाषित निम्न में से कौन सी संक्रिया क्रमविनिमेय
(a) a*b = a²b
(b) a*b = a^b
(c) a*b = a – b + ab
(d) a*b = a + b + a²
हल :
(a) ∵ a*b = a²b तथा b*a = b²a
∴ a*b ≠ b*a
अतः संक्रिया क्रम विनमेयी नहीं है।

(b) ∵ a*b = a^bतथा b*a = b^a
∴ a*b ≠ b*a
अतः संक्रिया क्रम विनमेयी नहीं है।

(d) ∵ a*b = a + b + a²b तथा b*b = b + a + b²a
∴ a*b ≠ b*a
अतः संक्रिया क्रम विनमेयी नहीं है।
अत: कोई भी संक्रिया क्राम विनमेयी नहीं है।

प्रश्न 12.
निम्न तीन फलनों के लिए संयुक्त फलन संक्रिया के लिये साहचर्य नियम का सत्यापन कीजिये
f : N → Z₀, f(x) = 2x
g : Z₀→ Q, g(x) = 1/x
h : Q → R, h(x) = e^x
हल :
दिया है,
f : N → Z₀
g : Z₀→ Q
h : Q → R
ho(gof) : N → R तथा
(hog)of : N → R
इसी प्रकार ho(gof) तथा (hog)of के प्रान्त तथा सह-प्रान्त समान हैं; क्योंकि दोनों फलनों N से R में परिभाषित हैं; अत: सिद्ध करना है कि
[ho(gof)](x) = [(hog)of)](x) ∀ x ∈ N
अब [ho(gof)](x) = h[(gof)(x)]
= h[g{f(x)]
= h[g(2x)]
= $h\left( \frac { 1 }{ 2x } \right)$
[ho(gof)](x) = ${ e }^{ \frac { 1 }{ 2x } }$ ….(i)
पुनः [(hog)of](x) = (hog)f(x) = (hog)(2x)
= h[g(2x)]
= $h\left( \frac { 1 }{ 2x } \right)$
= ${ e }^{ \frac { 1 }{ 2x } }$
[(hog)of](x) = ${ e }^{ \frac { 1 }{ 2x } }$ …..(ii)
समी. (i) और (ii) से,
(hog)of = ho(gof)
अतः फलन f, g, h की साहचर्यता सत्यापित होती है। इति सिद्धम्।

प्रश्न 13.
यदि f : R⁺→ R⁺तथा g : R^–→ R^–निम्न प्रकार परिभाषित हो कि f(x) = x², g(x) = √x, तो gof तथा fog ज्ञात कीजिये। क्या ये फलन तुल्य हैं?
हल :
दिया है f : R⁺→ R⁺, f(x) = x²
g : R⁺→ R⁺, g(x) = √x
तब (fog) : R⁺→ R⁺एवं (gof) : R⁺→ R⁺परिभाषित हैं।
∴ (gof)(x) = g[f(x)]
= g(x²) = √x² = x
(fog)(x) = f[g(x)]
= f(√x) = (√x)² = x
उपरोक्त के आधार पर (gof) तथा (fog) के प्रान्त, सह-प्रान्त समान हैं और
(fog)(x) = (gof)(x) ∀ x ∈ R⁺
अत: (fog) तथा (gof) तुल्य फलन हैं।

प्रश्न 14.
यदि f : R → R, f(x) = cos (x + 2) हो, तो ज्ञात कीजिये कि f प्रतिलोमी फलन है या नहीं, कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिये।
हल :
दिया गया फलन है,
f : R → R, f(x) = cos (x + 2)
x = 2π रखने पर।
f(2π) = cos (2π + 2)
= cos (2)
x = 0 रखने पर
f(0) = cos (0 + 2)
= cos 2
यहाँ 0 व 2π के लिए एक ही प्रतिबिम्ब प्राप्त होता है। इसलिए फलन एकैकी नहीं है। इस प्रकार फलन एकैकी आच्छादक नहीं है।
अत: f^-1: R → R विद्यमान नहीं हो सकता।

प्रश्न 15.
यदि A = {-1, 1} तथा A में परिभाषित दो फलन f तथा g हैं जहाँ f(x) = x², g(x) = sin $\left( \frac { \pi x }{ 2 } \right)$ , तो सिद्ध कीजिये कि g^-1विद्यमान है जबकि f^-1भी ज्ञात कीजिये।
हले :
दिया है, A = {- 1, 1}
f(x) = x², g(x) = sin $\left( \frac { \pi x }{ 2 } \right)$
एकैकी/बहुएकी : f : A → A, f(x) = x²
f(- 1) = f(1) = 1
⇒ – 1 और 1 का प्रतिबिम्ब भिन्न नहीं है।
अतः एकैकी नहीं है।
आच्छादक/अन्तःक्षेपी : साथ ही सह-प्रान्त में ऐसे अवयव हैं जो प्रान्त के किसी अवयव के प्रतिबिम्ब नहीं हैं।
अतः f आच्छादक नहीं है।
इसलिये फलन f एकैकी और आच्छादक नहीं है। अतः f^-1विद्यमान नहीं है।
इसी प्रकार g(x) = sin $\left( \frac { \pi x }{ 2 } \right)$ के लिये
एकैकी/बहुएकी : माना x₁, x₂, ∈ A इस प्रकार है कि
f(x₁) = f(x₂)
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 1 Additional Questions 15
अतः फलन एकैकी है।
साथ ही माना y ∈ R (सह-प्रान्त)यदि सम्भव हो, तो y का पूर्व प्रतिबिम्ब प्रान्त R में x है, तब
g(x) = y
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 1 Additional Questions 15.1
चूँकि y के प्रत्येक मान को पूर्व प्रतिबिम्ब प्रान्त R में विद्यमान है।
इसलिए g(x) आच्छादक फलन है।
अत: g(x) एकैकी आच्छादक फलन है इसलिए g^-1विद्यमान है।
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 1 Additional Questions 15.2

प्रश्न 16.
यदि f : R → R तथा g : R → R ऐसे फलन हैं कि f(x) = 3x +4 तथा g(x) = $\frac { x-4 }{ 3 }$ , तो (fog)(x) तथा (gof)(x) ज्ञात कीजिये। साथ ही (gog)(1) का मान ज्ञात कीजिये।
हल :
दिया है,
f : R → R, f(x) = 3x + 4
g : R → R, g(x) = $\frac { x-4 }{ 3 }$
∴ (fog)(x) = f[g(x)]