Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths Chapter 12 वृत्त Ex 12.4

प्रश्न 1.
एक चक्रीय चतुर्भुज का एक कोण दिया गया है। सम्मुख कोण ज्ञात कीजिए।
(i) 70°
(ii) 135°
(iii) $112 \frac{1^{\circ}}{2}$

(iv) $\frac{3}{5}$ समकोण
(v)

165°
हल:
(i) हम जानते हैं कि चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग = 180° होता है।
इसलिये दूसरा सम्मुख कोण = 180° – 70°
= 110° उत्तर
(ii) दूसरा सम्मुख कोण = 180° – 135°
= 45°
(iii) दूसरा सम्मुख कोण = 180° – $112 \frac{1^{\circ}}{2}$
$=67 \frac{1^{\circ}}{2}=67.5^{\circ}$
(iv) एक कोण का मान $=\frac{3}{5}$ समकोण
$\begin{array}{l}{=\frac{3}{5} \times 90=3 \times 18} \\ {=54^{\circ}}\end{array}$
इसलिये दूसरा सम्मुख कोण = 180° – 54°
= 126°
(v) दूसरा सम्मुख कोण = 180° – 165°
= 15°

प्रश्न 2.
चक्रीय चतुर्भुज का सम्मुख कोण ज्ञात कीजिए यदि उसमें से एक कोण
(i) दूसरे का $=\frac{2}{7} x$ हो
(ii) दूसरे का $=\frac{11}{4} x$ हो।
हल:
(i) माना एक कोण = x है
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अतः चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण 140°, 40° होंगे।
हल:
(ii) माना एक कोण = x है।

इसका दूसरा सम्मुख कोण = 180° – 48°
= 132°
अतः चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण 48°, 132°

प्रश्न 3.
आकृति में, चक्रीय चतुर्भुज ABCD के चारों कोण ज्ञात कीजिए।
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हल:
चूँकि ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।

प्रश्न 4.
आकृति में, कुछ कोणों को a, b, c और d से चिह्नित किया गया है। इन कोणों के माप ज्ञात कीजिए।
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हल:
दिये गये चित्र में ABEF एक चक्रीय चतुर्भुज है। इस कारण से
∠BAF + ∠BEF = 180°

हम जानते हैं कि चक्रीय चतुर्भुज के बहिष्कोण उसके अन्तराभिमुख कोण के बराबर होते हैं।
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प्रश्न 5.
यदि चक्रीय चतुर्भुज ABCD में, AD || BC हो, तो सिद्ध कीजिए कि ∠A = ∠D
हल:
दिया हुआ है-
ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसमें AD || BC
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सिद्ध करना है-
∠A = ∠D
रचना-
A व B को क्रमशः C व D से मिलाओ।
उपपत्ति-
यदि ∠BCA= x, तब ∠BDA = x
एक ही खण्ड के कोण हैं। आगे
BC || AD
∴ ∠CAD = ∠BCA = x एकान्तर कोण है।
या ∠ CAD = ∠BDA …………….(1)
∠CAB = ∠BDC …………..(2)
एक ही खण्ड के कोण हैं। समीकरण (1) तथा (2) को जोड़ने पर
∠CAD + ∠CAB = ∠BDA + ∠BDC
अर्थात् ∠A = ∠D इतिसिद्धम्

प्रश्न 6.
ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। AB और DC बढ़ाये जाने पर E पर मिलती है। सिद्ध कीजिए कि AEBC और AEDA समरूप हैं।
हल;
दिया है-
एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD। भुजाएं AB और DC बढ़ाने पर E पर मिलती हैं।
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प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि एक चक्रीय चतुर्भुज के कोणों के समद्विभाजकों द्वारा बनाया चतुर्भुज भी चक्रीय चतुर्भुज होता है।
हल:
दिया है-
एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD के कोणों के समद्विभाजक AP, BP, CQ व DQ एक चतुर्भुज PRQS एक चक्रीय बनाते हैं।
सिद्ध करना है-
PRQS एक चक्रीय चतुर्भुज है।
उपपत्ति-
∵ ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।
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अतः मान रखने पर
= 360 – 90 – 90 = 180°
∴ चतुर्भुज PRQS के सम्मुख कोण संपूरक हैं।
∴ PRQS एक चक्रीय चतुर्भुज है।