Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 5. 1
प्रश्न 1.
x के किस मान के लिए आव्यूह
अव्युत्क्रमणीय है।
हल :
दिया है कि आव्यूह
अव्युत्क्रमणीय है।
तब
⇒ 1(6 – 2) + 2(3 – x) + 3(2 – 2x) = 0
⇒ 4 + 6 – 2x + 6 – 6x = 0
⇒ – 8x = – 16
⇒ x =
अतः x = 2
प्रश्न 2.
यदि आव्यूह
हो, तो adj•A ज्ञात कीजिए तथा सिद्ध कीजिए कि A(adj•A) = |A|I3= (adj•A)A.
हल :
दिया गया आव्यूह,
आव्यूह A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,
आव्यूह A के सहखण्डों से बना आव्यूह,
अतः A.(adj.A) = |A|I3…(ii)
(i) व (ii) से,
A(adj A) = |A|I3= (adjA) A
इति सिद्धम्।
प्रश्न 3.
निम्नलिखित आव्यूह का व्युत्क्रमणीय आव्यूह ज्ञात कीजिए :
हल :
(i) दिया गया आव्यूह
आव्यूह A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,
आव्यूह A के सहखण्डों से बना आव्यूह
(ii) दिया गया आव्यूह
| A | = 1(16 – 9) – 3(4 – 3) + 3(3 – 4)
= 7 – 3 – 3
|A | = 1 ≠ 0
अतः A-1का अस्तित्व है।
आव्यूह A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,
आव्यूह A सहखण्डों से बना आव्यूह B
(iii) दिया गया आव्यूह
| A | = 0( – 12 + 12) – 1(16 – 12) – 1( – 12 + 9)
= 0 – 4 + 3
| A | = -1 ≠ 0
अतः A-1का अस्तित्व है।
आव्यूह A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,
आव्यूह A के सहखण्डों से निर्मित आव्यूह
प्रश्न 4.
यदि आव्यूह
हो, तो A-1ज्ञात कीजिए तथा सिद्ध कीजिए कि :
(i) A-1A = I3
(ii) A-1= F( – α)
(iii) A(adjA) = |A|I = (adjA).A
हल :
दिया है आव्यूह
|A| = cos α (cos α – 0) + sin α (sin α – 0) + 0(0 – 0)
= cos² α + sin² α
| A | = 1 ≠ 0
अतः A-1का अस्तित्व है।
आव्यूह A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,
आव्यूह A के सहखण्डों से बना आव्यूह
प्रश्न 5.
यदि
तो सिद्ध कीजिए कि A-1= AT
हल :
माना कि
प्रथम पंक्ति के सापेक्ष प्रसार करने पर
= – 8(16 + 56) – (16 – 7) + 4( – 32 – 4)
= – 8.72 – 9 – 4.36
= – 9(64 + 1 + 16)
= – 9 × 81
= – 9³
अतः (iii) और (iv) से स्पष्ट है कि
A-1= AT
इति सिद्धम्।
प्रश्न 6.
यदि आव्यूह
हो, तो सिद्ध कीजिए कि A-1= A3
हल :
दिया गया आव्यूह,
अतः A-1का अस्तित्व है।
आव्यूह A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,
a11= – 1, a12= – 2, a21= 1, a22= 1
आव्यूह A के सहखण्डों के बना आव्यूह
समीकरण (i) व (ii) से,
A-1= A3.
इति सिद्धम्।
प्रश्न 7.
यदि
तथा
हो, तो (AB)-1ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया गया आव्यूह
तब |A| = 5(3 – 4) – 0(2 – 2) + 4(4 – 3)
= – 5 – 0 + 4
|A| = – 1 ≠ 0 .
अतः A-1का अस्तित्व है।
आव्यूह A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,
आव्यूह A के सहखण्डों से निर्मित आव्यूह
प्रश्न 8.
यदि
हो, तो सिद्ध कीजिए कि
हल :
दिया गया आव्यूह
प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि आव्यूह
समीकरण A² – 6A + 17I = 0 को सन्तुष्ट करता है तथा A-1भी ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया गया आव्यूह
अत: दिया गया आव्यूह समीकरण A² – 6A + 17I = 0 को सन्तुष्ट करता है।
अब A² – 6A + 17I = 0
⇒ = A² – 6A = – 17I
⇒ A-1(A² – 6A) = – 17A-1I
⇒ [A-1का दोनों पक्षों में वाम गुणन करने पर]
⇒ A-1A² – 6A-1A = – 17A-1[∴A-1I = A-1]
⇒ A – 6I = – 17A-1[∴A-1A = I]
प्रश्न 10.
यदि आव्यूह
हो, तो सिद्ध कीजिए कि A² + 4A – 42I = 0 तत्पश्चात् A-1ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया गया आव्यूह,
अब A² + 4A – 42I
अतः दिया गया आव्यूह समीकरण A² + 4A – 42I = 0 को सन्तुष्ट करता है।
अब A² + 4A – 42I= 0
A² + 4A = 42I
A-1(A² + 4A) = 42A-1I
(A-1का दोनों पक्षों में गुणा करने पर)।
Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 5. 2
प्रश्न 1.
सारणिक की सहायता से त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष निम्न हैं
(i) (2, 5), (-2, – 3) तथा (6, 0)
(ii) (3, 8), (2, 7) तथा (5,-1)
(ii) (0, 0), (5, 0) तथा (3, 4)
हल :
(i) दिए गए त्रिभुज के शीर्ष (2, 5), (-2, – 3) तथा (6, 0) हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल
={2( – 3 – 0) – 5( – 2 – 6) + 1(0 + 18)}
अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल = 26 वर्ग इकाई।
(ii) दिए गए त्रिभुज के शीर्ष (3, 8), (2, 7) तथा (5,- 1) हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल
अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल =वर्ग इकाई।
(iii) दिए गए त्रिभुज के शीर्ष (0, 0), (5, 0) तथा (3, 4) हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल
अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल = 10 वर्ग इकाई।
प्रश्न 2.
सारणिक का प्रयोग कर शीर्ष (1, 4), (2, 3) तथा (-5,- 3) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। क्या दिये गये बिन्दु संरेख है ?
हल :
दिए गए त्रिभुज के शीर्ष (1, 4), (2, 3) तथा (-5,-3) हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल
=
अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल
=वर्ग इकाई (ऋण चिह्न छोड़ने पर) ।
∴ त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य नहीं है। अत: दिए गए बिन्दु संरेख नहीं है।
प्रश्न 3.
k का मान ज्ञात कीजिए यदि त्रिभुज का क्षेत्रफल 35 वर्ग इकाई जबकि शीर्ष (k, 4), (2,- 6) तथा (5, 4) हैं।
हल :
∵ दिए गए बिन्दु (k, 4), (2,- 6) तथा (5, 4) से निर्मित
त्रिभुज का क्षेत्रफल = 35 वर्ग इकाई
k( – 6 – 4) – 4(2 – 5) + 1(8 + 30) = ± 70
– 10k + 12 + 38 = ± 70
– 10k + 50 = ± 70
धन चिह्न लेने पर,
– 10k + 50 = 70
– 10k = 70 – 50
– 10k = 20
k = – 2
ऋण चिह लेने पर
– 10k + 50 = 70
– 10k = – 70 – 50
– 10k = – 120
k = 12
अतः k = – 2, 12.
प्रश्न 4.
सारणिक का प्रयोग कर k का मान ज्ञात कीजिए, यदि बिन्दु (k:2-2k), (-k+1, 2k) तथा (-4-k, 6-2k) संरेख हों।
हल :
∵ दिए गए बिन्दु (k, 2 – 2k), ( – k + 1, 2k) तथा ( – 4 – k, 6 – 2k) सरेख हैं।
⇒k[2k – (6 – 2k)] – (2 – 2k) [( – k + 1) – ( – 4 – k)] + 1[( – k + 1) (6 – 2k) – ( – 4 – k) (2k)] = 0
⇒k[2k – 6 + 2k] – (2 – 2k) [ – k + 1 + 4 + k] + 1[ – 6k + 2k² + 6 – 2k + 8k + 2k²] = 0
⇒k(4k – 6) – (2 – 2k) (5) + 1(4k² + 6) = 0
⇒4k² – 6k – 10 + 10k + 4k² + 6 = 0
⇒ 8k² + 4k – 4 = 0
⇒ 2k² + k – 1 = 0
⇒ 2k² + (2 – 1)k – 1 = 0
⇒ 2k² + 2k – k – 1 = 0
⇒ 2k(k + 1) – 1(k + 1)= 0
⇒ (k + 1) (2k – 1) = 0
अतः k = – 1,
प्रश्न 5.
यदि बिन्दु (3, -2), (x, 2) तथा (8, 8) संरेख हैं, तो x का मान सारणिक का प्रयोग कर ज्ञात कीजिए।
हल :
∵ दिए गए बिन्दु (3, -2), (x, 2) तथा (8, 8) सरेख हैं।
⇒ 3(2 – 8) + 2(x – 8) + 1(8x – 16) = 0
⇒ – 18 + 2x – 16 + 87 – 16 = 0
⇒ 10 – 50 = 0
⇒ 10x = 50
⇒ x =
अतः x = 5
प्रश्न 6.
सारणिक प्रयोग से दो बिन्दुओं (3, 1) तथा (9, 3) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए तथा त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि तीसरा बिन्दु (-2, -4) हो।
हल :
बिन्दुओं (3, 1) तथा (9, 3) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण
⇒ x(1 – 3) – y(3 – 9) + 1(9 – 9) = 0
⇒ – 2x + 6y + 0= 0
⇒ – 2(x – 3y) = 0
⇒ x – 3y = 0
अत: बिन्दुओं (3, 1) तथा (9, 3) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण x – 3y = 0 है।
अब, त्रिभुज का क्षेत्रफल जबकि तीनों
बिन्दु (3, 1), (9, 3) तथा (-2, -4) हैं।
=(-20)
= – 10
∆ = 10 वर्ग इकाई (ऋण चिह्न छोड़ने पर)
अत: त्रिभुज का क्षेत्रफल = 10 वर्ग इकाई।
प्रश्न 7.
क्रेमर नियम से निम्नलिखित समीकरण निकायों को हल कीजिए
(i) 2x + 3y = 9, 3x – 2y = 7
(ii) 2x – 7y – 13 = 0, 5x + 6y – 9 = 0
हल :
(i) दिया गया समीकरण निकाय
2x + 3y = 9
3x – 2y = 7
(ii) दिया गया समीकरण निकाय
2x – 7y – 13= 0
5x + 6y – 9 = 0
इन समीकरणों को निम्न प्रकार से भी लिख सकते हैं
2x – 7y = 13
5x + 6y = 9
अत: समीकरण निकाय का हल x = 3, y = – 1.
प्रश्न 8.
सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित समीकरण निकाय असंगत हैं
(i)
3x – y + 2 = 3
2x + y + 3z = 5
x – 2y – z = 1
(ii)
x + 6y + 11 = 0
3x + 20y – 6z + 3= 0
6y – 18z + 1 = 0
हल :
(i) दिया गया समीकरण निकाय
3x – y + 2z = 3
2x + y + 3z = 5
x – 2y – z = 1
∴ ∆ = 0, ∆1 ≠ 0, ∆2 ≠ 0 तथा ∆3 ≠ 0
अतः समीकरण निकाय असंगत है तथा इसका हल सम्भव नहीं है।
इति सिद्धम्।
(ii) दिया गया समीकरण निकाय ।
x + 6y + 11 = 0
3x + 20y – 6z + 3 = 0
6y – 18z + 1 = 0
दिए गए समीकरण निका को निम्न प्रकार भी लिख सकते हैं :
x + 6y = – 11
3x + 20y – 6z = – 3
6y – 18z = – 1
∵ ∆ = 0, ∆1 ≠ 0, ∆2 ≠ 0 तथा ∆3 ≠ 0
अतः समीकरण निकाय असंगत है तथा इसका हल सम्भव नहीं है।
इति सिद्धम्।
प्रश्न 9.
क्रेमर नियम से निम्नलिखित समीकरण निकायों को हल कीजिए
(i) x + 2y + 4z = 16
4x + 3y – 2z = 5
3x – 5y + z = 4
(ii) 2x + y – z = 0
x – y + z = 6
x + 2z + z = 3
हल :
(i) दिया गया समीकरण निकाय
x + 2y + 4z = 16
4x + 3y – 2z = 5
3x – 5y + z = 4
(ii) दिया गया समीकरण निकाय ।
2x + y – z = 0
x – y + z = 6
x + 2y + z = 3
अतः x = 2, y = -1, z = 3
प्रश्न 10.
सारणिकों की सहायता से निम्नलिखित समीकरण निकायों को हल कीजिए
(i)
6x + y – 3z = 5
x + 3y – 2z = 5
2x + y + 4z = 8
(ii)
हल :
(i) दिया गया समीकरण निकाय
6x + y – 3z = 5
x + 3y – 2z = 5
2x + y + 4z = 8
प्रश्न 11.
आव्यूह सिद्धान्त का प्रयोग कर निम्नलिखित समीकरण निकायों को हल कीजिए
(i) 2x – y = – 2
3x + 4y = 3
(ii) 5x + 7y + 2 = 0
4x + 6y +3 = 0
x + y – z = 1
(iii) 3x + y – 2z = 3
x – y – z = – 1
(iv) 6x – 12y + 25z = 4
4x + 15 – 20z = 3
2x+ 18y + 152 = 10
हल :
(i) दिया गया समीकरण निकाय
2x – y = – 2
3x + 4y = 3
इसे आव्यूह रूप में निम्न प्रकार लिख सकते हैं|
AX = B ….(i)
(ii) दिया गया समीकरण निकाय
5x + 7y + 2 = 0
4x + 6y + 3 = 0
दिए गए समीकरण निकाय को निम्न प्रकार से भी लिख सकते
5x + 7y = – 2
4x + 6y = – 3
इस समीकरण निकाय को आव्यूह रूप में निम्न प्रकार लिख सकते
AX = B
(iii) दिया गया समीकरण निकाय
x + y – z = 1
3x + y – 2z = 3
x – y – z = -1
इस समीकरण निकाय को आव्यूह रूप में लिखने पर,
AX = B …(i)
(iv) दिया गया समीकरण निकाय
6x – 12y + 25z = 4
4x + 15y – 20z = 3
2x + 18y + 15z = 10
इन समीकरण निकाय को आव्यूह रूप से लिखने पर,
AX = B ….(i)
प्रश्न 12.
यदि
हो, तो A-1ज्ञात कीजिए।
तथा निम्नलिखित रैखिक समीकरण निकाय को हल कीजिए :
x – 2 = 10, 2x + y + 3x = 8, – 2y + z = 7
हल :
दिया है,
= 1(1 + 6) +2(2 – 0) + ( – 4 – 0)
= 7 + 4 + 0
|A| = 11 ≠ 0
अतः A-1का अस्तित्व है।
A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,
अब, दिया गया समीकरण निकाय
x – 2y = 10
2x + y + 3z = 8
– 2y + 2 = 7
रैखिक समीकरण निकाय का आव्यूह रूप
अतः x = 4, y = -3, z = 1
प्रश्न 13.
आव्यूहों
तथा
गुणनफल ज्ञात कीजिए तथा इसकी सहायता से निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए।
x – y + z = 4, x – 2y – 2z = 9, 2x + y + 3z = 1
हल :
माना
प्रश्न 14.
आव्यूह
का व्युत्क्रम आव्यूह ज्ञात कीजिए तथा इसकी सहायता से निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए।
हुल :
दिया गया आव्यह
= 1(1 + 3) + 1(2 + 3) + 1(2 – 1)
= 4 + 5 + 1 = 10 ≠ 0
अतः A-1का अस्तित्व है।
A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,
प्रश्न 15.
यदि समबाहु त्रिभुज की भुजा ॥ तथा शीर्ष (x1, y1), (x2, x2) एवं (x3, y3) हों, तो सिद्ध कीजिए कि
हल :
दिया है कि समबाहु त्रिभुज की भुजा a तथा समबाहु त्रिभुज के तीनों शीर्ष (x1, y1), (x2, y2) तथा (x3, y3) हैं।
इति सिद्धम्।
Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 5 व्युत्क्रम आव्यूह एवंरैरिवक समीकरण Miscellaneous Exercise
प्रश्न 1.
यदि
हो, तो A-1ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया गया आव्यूह
|A| = 5 ≠ 0
अतः A-1का अस्तित्व है।
A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,
a11= 3, a12= – 2, a21= 1, a22= 1
आव्यूह A के सहखण्डों से निर्मित आव्यूह
प्रश्न 2.
यदि
हो, तो A-1ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया गया आव्यूह
= 0(0 – 1) – 1(0 – 1) + (1 – 0).
= 0 + 1 + 1
|A| = 2 ≠ 0
अतः A-1का अस्तित्व है।
A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,
प्रश्न 3.
यदि आव्यह
एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया गया आव्यूह,
∵ आव्यूह A अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है, तब
|A| = 0
1( – 6 – 2) + 2( – 3 – x) + 3(2 – 2x) = 0
– 8 – 6 – 2x + 6 – 6x = 0
– 8 – 8x = 0
– 8x = 8.
x =
x = -1
प्रश्न 4.
क्रेमर नियम का प्रयोग कर निम्नलिखित समीकरण निकाय हल कीजिए।
(i) 2x – y = 17
x + 5y = 6
(ii) 3x + ay = 4
2x + ay = 2, a ≠ 0
(iii) x + 2 + 3z = 6
2x + 4y + z = 7
3x + 2y + 9z = 14
हल :
(i) दिया गया समीकरण निकाय
2x – y = 17
3x + 5y = 6
अतः समीकरण निकाय का हल x = 7, y = – 3
(ii) दिया गया समीकरण निकाय
3x + ay = 4
2a + y = 2, a ≠ 0
अत: समीकरण निकाय का हल x = 2, y =
(iii) दिया गया समीकरण निकाय
x + 2 + 2x = 6
2x + 4y + 2 = 7
3x + 2y + 9z = 14
अत: समीकरण निकाय का हल x = 1, y = 1, z = 1.
प्रश्न 5.
क्रेमर नियम का प्रयोग कर सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित समीकरण निकाय असंगत है।
(i) 2x – y = 5
4x – 2y = 7
(ii) x + y + z = 1 ,
x + 2y + 3z = 2
3x + 4y + 5y = 3
हल :
(i) दिया गया समीकरण निकाय
2x – y = 5
4x – 2y = 7
∵ ∆ = 0, ∆1≠ 0 तथा ∆2≠ 0
अतः समीकरण निकाय संगत है।
(ii) दिया गया समीकरण निकाय
x + y + z = 1
x + 2y + 3z = 2
3x + 4y + 3z = 3
∵ ∆ = 0, ∆1≠ 0, ∆2≠ 0 तथा ∆3≠ 0
अतः दिया गया समीकरण निकाय असंगत है।
प्रश्न 6.
एक द्वितीय क्रम की आव्यूह A ज्ञात कीजिए :
जहाँ
हल :
प्रश्न 7.
यदि
हो, तो सिद्ध कीजिए कि
A² + 4A – 42I = 0 तथा इसकी सहायता से A-1भी ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया गया आव्यूह
प्रश्न 8.
यदि
हो, तो सिद्ध कीजिए कि
हुल :
दिया गया आव्यूह.
प्रश्न 9.
यदि
हो, तो A-1ज्ञात कीजिए तथा दिखाइये कि A-1.A = I3
हल :
दिया गया आव्यूह
अत: A-1का अस्तित्व है।
आव्यूह A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,
प्रश्न 10.
यदि
हो, तो सिद्ध कीजिए कि A² – 4A – 5I = 0 तत्पश्चात् इसकी सहायता से A-1भी ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया गया आव्यूह,
A² = A.A
प्रश्न 11.
आव्यूह सिद्धान्त का प्रयोग कर निम्नलिखित रैखिक समीकरण निकाय को हल कीजिए :
(i) 5x – 7y = 2
7x – 5y = 3
(ii) 3x + y + z = 3
2x – y – z = 2
– x – y + z = 1
(iii) x + 2y – 2z + 5 = 0
– x + 3y + 4 = 0
– 2y + z – 4 = 0
हुल :
(i) दिया गया समीकरण निकाय
5x – 7y = 2
7x – 5y = 3
इसे आव्यूह रूप में लिखने पर
AX = B…..(i)
(ii) दिया गया समीकरण निकाय
3x + y + z = 3
2x – y – z = 2
– x – y + z = 1
इस समीकरण निकाय को आव्यूह रूप में लिखने पर
AX = B
अतः A-1का अस्तित्व है।
आव्यूह A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,
(iii) दिया गया समीकरण निकाय ।
x + 2y – 2z + 5 = 0
– x + 3y + 4 = 0
– 2y + z – 4 = 0
समीकरण निकाय को निम्न प्रकार भी लिख सकते हैं,
x + 2y – 2z = – 5
-x + 3y = – 4
– 2y + z = 4
इसी समीकरण निकाय को आव्यूह रूप में लिखने पर ।
AX = B …(i)
प्रश्न 12.
त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि शीर्ष निम्नलिखित हों :
(i) A(-3, 5), B(3,- 6), C(7, 2)
(ii) A(2, 7), B(2, 2), C(10, 8)
हल :
(i) त्रिभुज ABC के शीर्ष
A = (-3, 5), B = (3, -6), C = (7, 2)
त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ∆
प्रश्न 13.
यदि बिन्दु (2,-3), (λ,-2) तथा (0, 5) संरेख हो, तो λ. का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
दिए गए बिन्दु (2,-3), (λ, -2) तथा (0, 5) संरेख हैं, तब
⇒ 2( – 2 – 5) + 3(λ – 0) + 1(5λ – 0) = 0
⇒ – 14 + 3λ + 5λ = 0
⇒ 8λ = 14
प्रश्न 14.
आव्यूह A ज्ञात कीजिए जबकि :
हल :
प्रश्न 15.
यदि
हो, तो A-1ज्ञात कीजिए। तत्पश्चात् इसकी सहायता से निम्नलिखित रैखिक समीकरण निकाय को हल कीजिए
x + y + z = 2, x + 2y – 3z = 13, 2x – y + 3z = -7.
हल :
दिया है,
= 1(6 – 3) – 1(3 + 6) + 1( – 1 – 4)
= 3 – 9 – 5
अतः |A| = – 11 ≠ 0
अतः A-1का अस्तित्व है।
A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,
अतः x = 1, y = 3, z = – 2.
प्रश्न 16.
यदि
हो, तो A-1ज्ञात कीजिए तथा दिखाइये कि aA-1= (a² + bc + 1)I – aA.
हल :
दिया गया आव्यूह,
प्रश्न 17.
सारणिक की सहायता से निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए—
x + y + z = 1
ax + by + cz = k
a²x + b²y + c²z = k²
हल
दिया गया समीकरण निकाय
x + y + z = 1
ax + by + cz = k
a²x + b²y + c²z = k²
प्रश्न 18.
यदि
हो, तो A-1 ज्ञात कीजिए। तत्पश्चात् इसकी सहायता से निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए ।
x + 2y – 3z = – 4, 2x + 3y + 2z = 2, 3x – 3y – 4z = 11
हल :
दिया है,
= 1( -12 + 6) – 2(- 8 – 6) – 3( – 6 – 9)
= – 6 + 28 + 45 = 67 ≠ 0
अत: A-1का अस्तित्व है।
आव्यूह A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,
अतः x = 3, y = – 2, z = 1.
प्रश्न 19.
यदि
हो, तो X ज्ञात कीजिए।
हल :
माना
प्रश्न 20.
निम्नलिखित समीकरण निकाय के अनन्त हल हो, तो a तथा b का मान ज्ञात कीजिए-
2x + y + az = 4
bx – 2y + z = – 2
5x + 5y + z = – 2
हल :
दिया गया समीकरण निकाय
2x + y + az = 4
bx – 2y + z = – 2
5x + 5y + z = – 2
∵ समीकरण निकाय के अनन्त हल है, तब ∆ = 0, ∆1= 0, ∆2= 0 तथा ∆3= 0 होगा।