Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 12 अवकल समीकरण Ex 12.

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 12 अवकल समीकरण Ex 12.1

निम्नलिखित अवकल समीकरण की कोटि एवं घात ज्ञात कीजिए :

प्रश्न 1.

हल :

y का उच्चतम अवकलज

अत: कोटि = 1, घात = 1

प्रश्न 2.

हल :

y का उच्चतम अवकलज

अत: कोटि = 2, घात = 1

प्रश्न 3.

हल :

y का उच्चतम अवकलज

अत: कोटि = 2, घात = 2

प्रश्न 4.

हल :

y का उच्चतम अवकलज

अत: कोटि = 1, घात = 4

प्रश्न 5.

हल :

y का उच्चतम अवकलज

अत: कोटि = 2, घात = 2

प्रश्न 6.
xdx + ydy = 0
हल :
xdx + ydy = 0

y का उच्चतम अवकलज

अत: कोटि = 1, घात = 1

प्रश्न 7.

हल :

y का उच्चतम अवकलज

अत: कोटि = 2, घात = 3

प्रश्न 8.

हल :

y का उच्चतम अवकलज

अत: कोटि = 1, घात = 2

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 12 अवकल समीकरण Ex 12.2

प्रश्न 1.
वक्र कुल y = ax +  के लिए अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल :
y = a +  ….(i)

समीकरण (iii) है।

समीकरण (ii) से,

समीकरण (iv) व (v) को जोड़कर (i) घटाने पर

यही अभीष्ट समीकरण है।

प्रश्न 2.
वक्र कुल x² + y² = a² के लिए अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
हुल:
x² + y² = a²

यही अभीष्ट अवकल समीकरण है।

प्रश्न 3.
वक्र कुल y = Ae^3x + Be^5x का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
हुल:
y = Ae^3x + Be^5x ….(i)

समीकरण (i) का 15 गुना करके समीकरण (ii) में जोड़ने पर,

समीकरण (iv) में से (ii) का 8 गुना घटाने पर,

यहीं अभीष्ट अवकल समीकरण है।

प्रश्न 4.
वक़ कुल y = e^x(A cos x + B sin x)
हल :
y = e^x(A cos x + B sin x) ……(i)

यही अभीष्ट समीकरण है।

प्रश्न 5.
वक्र कुल y = a cos (x + b), जहाँ a और b स्वेच्छा अचर है, की अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल :
y = a cos(x + b)


यही अभीष्ट समीकरण है।

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 12 अवकल समीकरण Ex 12.3

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि y² = 4a(x + 1) अवकल समीकरण

का हल है।
हल :
y² = 4a(x + 1) …(i)

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि y = ae^-2x + be^x अवकल समीकरण

का हल है।
हल :
y = ae^-2x + be^x ….(i)


= (8ae^-2x + be^x) + (-4ae^-2x + be^x) – 2(2ae^-2x + be^x)
= (8ae^-2x – 4ae^-2x – 4ae^-2x) + (be^x + be^x – 2be^x)
= 0 + 0 = 0
= R.H.S.
इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि y =  अवकल समीकरण (1 + x²)  + (1 + y²) = 0 का हल है।
हल :

समाकलन करने पर,

तुलना करने पर,
y = 
इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि y = a cos (log x) + b sin (log x) अवकल समीकरण

का हल है।
हल :
दिया गया फलन
y = a cos (log x) + b sin (log x) …(1)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

समीकरण (2) का x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर,

अवकल समीकरण  का हल है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि xy = log y + c अवकल समीकरण

का हुल है।
हल :
दिया गया फलन
xy = log y + c ……..(i)
समीकरण (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

अतः दिया गया फलन xy + log y + c,
अवकल समीकरण  का हल है।
इति सिद्धम्

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Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 12 अवकल समीकरण Ex 12.4

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए

प्रश्न 1.
(e^y + 1) cos x dx + e^y sin x dy = 0
हल :
दिया गया अवकल समीकरण
(e^y + 1) cos x dx + e^y sin x dy = 0

दोनों पक्षों को समाकलन करने पर,

या log sin x + log(e^y + 1) = log C
या log (sin x(e^y + 1)) = log C
या sin (e^y + l) = C
ओं अवकलन समीकरण का अभीष्ट हल है।

प्रश्न 2.
(1 + x²) dy = (1 + y²) dx
हुल :
(1 + x²) dy = (1 + y²) dx

⇒ y – x = C(1 + xy)
यही अभीष्ट व्यापक हल है।

प्रश्न 3.
(x + 1)  = 2xy
हल :
(x + 1)  = 2xy

समाकलन करने पर

log y = 2x – 2log (x + 1)+C
log y = 2[x – log (x + 1)] + C
अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।

प्रश्न 4.

हल :

दोनों पक्षों को समाकलन करने पर,

जो अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।

प्रश्न 5.
(sin x + cos x)dy + (cos x – sin x)dx = 0
हल :
(sin x + cos x)dy + (cos x – sin x)dx = 0

समाकलन करने पर,

⇒ y + log (cos x + sin x) = log C
⇒ log e^y + log (cos x + sin x) = log C
⇒ e^y + (sin x + cos x) = C
जो अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।

प्रश्न 6.

हल :


y = e^3x + c
जो अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।

प्रश्न 7.
sec² x tan ydy + sec² y tan xdx = 0
हल :
sec² x tan ydy + sec² y tan xdx = 0
⇒ sec² x tan ydy = – sec² y tan xdx

⇒ sin y cos y dy + sin x cos x dx = 0

⇒ sin² x + sin²y = 2C1
⇒ sin² x + sin² y = C

प्रश्न 8.

हल :

(sin y + y cos y) dy = x (2 log x + 1) dx
⇒ ∫sin ydy + ∫ycos ydy = 2 ∫xlog xdx + ∫xdx
⇒ -cos y + y sin y – ∫1.sin ydy

⇒ -cos y + y sin y + cos y = x²log x – ∫xdx + ∫xdx
⇒ y sin y = x² log x + C
यहीं अभीष्ट व्यापक हल है।

प्रश्न 9.
(1 + cos x) dy = (1 – cos x) dx
हल :
(1 + cos x) dy = (1 – cos x) dx

समीकरण (1) के दोनों पक्षों को समाकलन करने पर,

यही अवकल समीकरण का व्यापक हुल है।

प्रश्न 10.

हल :

यहीं अवकल समीकरण का व्यापक हल है।

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 12 अवकल समीकरण Ex 12.5

निम्नलिखित अवकलन समीकरण को हल कीजिए :

प्रश्न 1.

हल :
दी गई अवकल समीकरण

समीकरण (1) से

प्रश्न 2.

हल :

⇒ t – log (t + 1) = x + C₁
⇒ (x + y + 1) – log (x + y + 1 + 1) = x + C₁
⇒ y + 1 – log (x + y + 2) = C₁
⇒ log (x + y + 2) = (y + 1) + C₁
⇒ log (x + y + 2) = y + (C₁ + 1)
⇒ e^log(x+y+2) = e^y+(C₁⁺¹⁾
⇒ x + y + 2 = e^y(e^(C₁⁺¹⁾)
⇒ x + y + 2 = e^y.C
जहाँ C = e^(C₁⁺¹⁾
अत: अभीष्ट हल x + y + 2 = Ce^y है।

प्रश्न 3.
cos (x + y)dy = dx
हल :
माना x + y = v

यही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 4.

हल :
माना x + y = v

∴ समाकलन करने पर,
– e^{– v} – x = C₁
x + e^{– (x+y)} = C
(∵ v = x+y तथा C = – C₁)
यही अभीष्ट हुल हैं।

प्रश्न 5.
(x + y) (dx – dy) = dx + dy
हल :
⇒ (x + y) (dx – dy) = dx + dy
⇒ (x + y)dx – (x + y)dy = dx + dy
⇒ dy + (x + y)dy = (x + y) dx – dx
⇒ [(1 + (x + y)]dy = (x + y – 1) dx

⇒ x + y + log (x + y) = 2x + 2C₁
⇒ log (x + y) = 2x – x – y + 2C₁
⇒ log (x + y) = x – y + 2C₁
⇒ log (x + y) = x – y + C₁
जहाँ C = 2C₁ है।
अत: अभीष्ट हल x – y + C = log (x + y) है।

प्रश्न 6.

हल :
माना
x + y + 1 = v


यही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 7.

हल :
दी गई अवकल समीकरण

समीकरण (1) से


∫sec² u du – ∫sec u tan u du = x + C₁
tan u – sec u = x + C₁ [u = x + y रखने पर]
tan (x + y) – sec (x + y) = x + C₁
या x = tan (x + y) – sec (x + y) + C
जहाँ C = – C₁

प्रश्न 8.

हल :

2x + (x – y)² + 2C₁ = 0
2x + (x – y)² = – 2C₁
अतः अभीष्ट हल 2x + (x – y)² = C है, जहाँ C = -2C₁ है।

प्रश्न 9.

हल :
इसी अभ्यास का प्रश्न 3 पर देखें।

प्रश्न 10.

हल :


⇒ 2v + log (v + 2) = x + C
⇒ 2(x – y) + log (x – y + 2) = x + C
यहीं अभीष्ट हल है।

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 12 अवकल समीकरण Ex 12.6

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए :

प्रश्न 1.
x²ydx – (x³ + y³)dy = 0
हल :
x²ydx – (x³ + y³)dy = 0

जो समघातीय हैं।
∴ y = vx रखने पर,

अब समीकरण (1) तथा (2) से,


दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,

यही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 2.

हल :

अतः f(x,y) शून्य घात का समघातीयफलन है।
y = vx रखने पर, …(ii)

अब समीकरण (i),(ii) तथा (iii) से,


दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,

यही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 3.

हल :

यह समघात समी. है।
y = vx रखने पर


⇒ -x = – y log x + Cy
⇒ x + Cy = y logx

प्रश्न 4.

हल :
दिया हुआ अवकल समीकरण

यह  = F(x, y) के रूप का अवकल समीकरण है।

अत: F(x, y) शून्य घात का समघातीय फलन है।
इसलिए दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है। माना

समीकरण (2), (3) तथा (4) से,

समीकरण (5) के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,

यह अवकल समीकरण (1) का व्यापक हुल है।

प्रश्न 5.

हल:

⇒ या f(λx, λy) = λ⁰(x, y)
अतः f(x, y) शुन्य घात का समघार्तीय फलन है।
∴ दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है।

समीकरण (1), (2) तथा (3) से,

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,

यही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 6.
(x² + y²) dx = 2xydy
हल :
(x² + y²) dx = 2xydy

अब समीकरण (1) तथा (2) से,

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,

यही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 7.

हल :

अत: f(x, y) शून्य घात का समधी फलन है।
∴ दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय हैं।

समीकरण (1), (2) तथा (3) से,

दोनों पक्षों को समाकलन करने पर,

अवकल समीकरण (1) का अभीष्ट हुल है।

प्रश्न 8.
(3xy + y²) dx + (x² + xy) dy = 0
हल :
(3xy + y²) dx + (x² + xy) dy = 0

यह समघात अवकल समीकरण है।

समीकरण (1) में मान रखने पर,


यह दी हुई अवकल समीकरण का अभीष्ट हुल है।

प्रश्न 9.

हल:

यह समधातीय समी. है।
y = vx रखने पर।

यहीं अभीष्ट हल है।

प्रश्न 10.
x(x – y) dy = y(x + y) dx
हल :
x(x – y) dy = y(x + y) dx
इस समीकरण को इस प्रकार भी लिख सकते है।

यह समघातीय समीकरण है।
∴ माना y = vx, तब

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 12 अवकल समीकरण Ex 12.7

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए

प्रश्न 1.

हल :

h तथा k इस प्रकार हैं कि
3h + 2k – 5 = 0 तथा 2h + 3k – 5 = 0
हल करने पर, h = 1, k = 1
समीकरण (1) में h व k के मान रखने पर,

यह एक समधातीय समीकरण है।
तब Y = vX

⇒ – 2 log X + log c = log (3V² + 4V + 3)
⇒ log {(3V² + 4V + 3)X²} – log C
⇒ x²[3(x²/x²) + 4(Y/X) + 3] = C
⇒ 2Y² + 4XY + 3X² = C
⇒ 3(y – 1)² + 4(y – 1)(x – 1) + 3(x – 1)² = C
⇒ 3x² + 3y² + 4xy – 10x – 10y + 10 = C
⇒ 3(x² + y²) + 4xy – 10(x + y – 1)=C

प्रश्न 2.

हल :
यहाँ

x – y = v रखने पर,

x + C = 2v + log (v + 2)
x + C = 2(x – y) + log (x – y + 2)
x – 2y + log (x – y + 2) = C,
यही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 3.
(2x + y + 1) dx + (4x + 2y – 1) dy = 0
हल :
(2x + y + 1) dx + (4x + 2y – 1) dy = 0


समाकलन करने पर,
⇒ 3x + C = 2v + log (v – 1)
⇒ 3x + C = 2(2x + y) + log (2x + y – 1), [∵ v = 2x + y]
⇒ x + 2y + log (2x + y – 1) = C,
यही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 4.

हल :

तब माना x + y = v
⇒ 1 + (dy/dx) = (dv/dx)

∴ समाकलन करने पर,
x + C = -2v – 2 log (1 – v)
या x + C + 2(x + y) + 2 log (1 – x – y) = 0 [∵ v = x + y]
या 3x + 2y + 2 log (1 – x – y) + C = 0,
यहीं अभीष्ट हल है।

प्रश्न 5.

हल :


h व k इस प्रकार हैं कि
6h – 2k – 7 = 0 तथा 2h + 3k – 6 = 0
दोनों समीकरणों को हल करने पर,
h =  , k = 1
h व k के मान समी. (1) में रखने पर

यह एक समघातीय समीकरण है तब Y = vX रखने पर,

⇒ 2 log X = – log (3v² + 4v – 6) + log c
⇒ log X² + log (3v² + 4v – 6) = log c
⇒ log X² (3v² + 4v – 6) = log c
⇒ X² (3V² + 4v – 6) = c
⇒ 3Y² – 4XY + 6X²

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 12 अवकल समीकरण Ex 12.8

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए

प्रश्न 1.

हुल :

समी. (i) को  से तुलना करने पर,
P = 2, Q = 4x
I.F = e^∫2dx = e^2x
समी. (i) को e^2x से गुणा करने पर


यही अभीष्ट हुल है।

प्रश्न 2.

हल :
दिया हुआ अवकल समीकरण

समीकरण (1) की तुलना  से करने पर,
∴P = sec²x, Q = sec²x tan x
∴ I.F. = e^{∫sec²x dx} = e^{tan x}
समीकरण (1) को e^{tan x} से गुणा करने पर,

दोनों पक्षों का x के सापेक्ष समाकलन करने पर,

यही अभीष्ट हुल है।

प्रश्न 3.

हल :

समीकरण (1) की तुलना  से करने पर,

समीकरण (1) को (1 + x²) से गुणा करने पर,

दोनों पक्षों का x के सापेक्ष समाकलन करने पर,

यही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 4.

हल :

यहाँ P = (2/y),
तब ∫P dy = ∫(2/y) dy = 2 log y
∴ I.F. = e^{∫p dy} = e^{2 log y}
= e^{log y2}
= y²
∴ x(I.F.) = ∫{Q(I.F)}dy + C
i.e., x.y² = ∫10y².y²dy+C, [∴ Q = 10y²]
= ∫10y⁴ dy + C = 10.  y⁵ + C
अतः xy² = 2y⁵ + C,
यही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 5.

हल :

समीकरण (1) की तुलना  से करने पर,
p = cot x, Q = sin x
∴ IF = e^{∫cot x dx}
⇒ I.F. = e^{log sin x} = sin x
समीकरण (i) में sin x की गुणा करने पर,

यही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 6.

हल :

समीकरण (1) की तुलना  से करने पर,

समीकरण (i) में दोनों और  की गुणा करने पर,

यहीं अभीष्ट हल है।

प्रश्न 7.

हल :

समीकरण (1) की तुलना  से करने पर,

समीकरण (i) को x² से गुणा करने पर,

⇒ I = – x²cos x + 2x sin x + 2 cos x + C …(iii)
समी. (ii) व (iii) से,
x²y = -x²cos x + 2x sin x + 2 cos x + c
x²y = C + (2 – x²) cos x + 2x sin x
यह अभीष्ट हल है।

प्रश्न 8.

हल :

समीकरण (1) की तुलना  से करने पर,

समीकरण (1) को x² से गुणा करने पर,

दोनों पक्षों का x के साक्ष समाकलन करने पर,

जो अभीष्ट हल है।

प्रश्न 9.
dx + xdy = e^-y sec²y dy
हल :
dx + xdy = e^-y sec²y dy

यहाँ P = 1,
तब ∫Pdy = ∫1.dy = y
∴ समाकलन गुणांक = e^∫p.dy = e^y
∴ x . (I.F) = ∫{Q(I.F.)} dy + C
i.e., xe^y = ∫e^-y sec² y.e^y dy + C [∵ Q = e^-y  sec²y]
= ∫sec² y dy + C = tan y + C
अत: xe^y = tan y + C ही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 10.

हल

यही अभीष्ट हुल है।

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 12 अवकल समीकरण Ex 12.9

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए :

प्रश्न 1.

हल :

यह चर राशि में एक रैखिक समी. है।
यहाँ P = -2x और Q = – 2x³

v = रखने पर
y^-2 = 1 + x² + ce^x²

प्रश्न 2.

हल :


यह चर राशि v में एक रैखिक समी. है।
यहाँ P = e^x और Q = e^2x

यही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 3.

हल :

यह चर राशि v में एक रैखिक समी. है।
यहाँ P = tan x और Q = – Sec x

प्रश्न 4.

हल :

समीकरण को tan x से भाग देने पर


sin y . sin x = – e^t + c
sin x sin y = – e^{sin x} + c
या sin x sin y + e^{sin x} = c

प्रश्न 5.

हल :

यह चर राशि v में एक रैखिक समी है।
यहाँ P = 2x और Q = x³

x² = t और 2x dx = dt रखने पर

प्रश्न 6.

हल :

माना। 1/log y = v
– {1(logy)²} . (1/y) . (dy/dx) = dv/dx

यह चर राशि v में एक रैखिक समीकरण है।
यहाँ P = – 1/x और Q = – 1/x²

यही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 7.
अवकल समीकरण

यदि x = 1, y = 0 का हल दीजिए।
हल :

अवकल समीकरण का हल
y.(I.F) = ∫Q(I.F.)dx + c

अब x = 1 तथा y = 0 रखने पर।

अतः अवकल समीकरण का हल