Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths

प्रश्न 1.
प्रमाणित कीजिए कि $5-\sqrt { 3 }$

एक अपरिमेय संख्या है।
हल:
$5-\sqrt { 3 }$ एक अपरिमेय संख्या के विपरीत मान लें कि 5-3 एक परिमेय संख्या है, तो इस प्रकार के दो सह-अभाज्य पूर्णांक a और b विद्यमान होंगे कि

fetchpriority="high" decoding="async" width="784" height="328" src="https://rajboardexam.in/wp-content/uploads/2020/05/word-image-80.png" srcset="https://rajboardexam.in/wp-content/uploads/2020/05/word-image-80.png 784w, https://rajboardexam.in/wp-content/uploads/2020/05/word-image-80-300x126.png 300w, https://rajboardexam.in/wp-content/uploads/2020/05/word-image-80-768x321.png 768w, https://rajboardexam.in/wp-content/uploads/2020/05/word-image-80-455x190.png 455w, https://rajboardexam.in/wp-content/uploads/2020/05/word-image-80-267x112.png 267w" alt="Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths" title="Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths ex. 2.3">
यह इस तथ्य का विरोध करता है कि 3 एक अपरिमेय संख्या है। अतः प्रारम्भ में ली गई परिकल्पना गलत है।
अतः $5-\sqrt { 3 }$ एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ अपरिमेय संख्याएँ हैं
(i)   $\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } }$
(ii)   $6+\sqrt { 2 }$
(iii)   $3\sqrt { 2 }$
हल:
(i)
प्रश्न में दिए गए कथन के विपरीत माना कि   $\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } }$   एक परिमेय संख्या है।
अंतः हम अविभाज्य पूर्णांक a और B (b ≠ 0) प्राप्त कर सकते हैं अर्थात्
Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths
क्योंकि दो पूर्णांकों का भागफल एक परिमेय संख्या होती है।
अतः   $\frac { 2a }{ b }$   = एक परिमेय संख्या
(i) से   $\sqrt { 2 }$   भी एक परिमेय संख्या है। परन्तु यह कथन असत्य है। अर्थात् हमारी कल्पना असत्य है। अतः   $\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } }$   एक अपरिमेय संख्या है। (इतिसिद्धम् )

(ii)
माना कि   $6+\sqrt { 2 }$   एक परिमेय संख्या है। अतः हम ऐसी सह-अभाज्य संख्याएँ a और b (b ≠ 0) ज्ञात कर सकते हैं कि
Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths
चूँकि a तथा b पूर्णांक हैं अतः   $\frac { a-6b }{ b }$   भी एक पूर्णांक संख्या होगी क्योंकि पूर्णांकों की बाकी तथा पूर्णांकों का भाग भी पूर्णांक होता है। अर्थात्
RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 2 वास्तविक संख्याएँ Ex 2.3 4
परिमेय संख्या परन्तु यह कथन कि   $\sqrt { 2 }$   एक अपरिमेय संख्या होती है, का विरोधाभासी कथन है। अत: हमारी कल्पना असत्य है। अर्थात्   $6+\sqrt { 2 }$   एक अपरिमेय संख्या है।

(इतिसिद्धम्)

(iii)
माना कि दी गई संख्या   $3\sqrt { 2 }$   एक परिमेय संख्या है। अतः हम ऐसे दो पूर्णाक a और B (b ≠ 0) प्राप्त कर सकते हैं कि
RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 2 वास्तविक संख्याएँ Ex 2.3 5
चूँकि (i) में a, 3 और b सभी पूर्णांक हैं तथा दो पूर्णांकों का भाग भी एक परिमेय संख्या होती है। अर्थात्
$\frac { a }{ 3b }$   = एक परिमेय संख्या
अतः (i) से   $\sqrt { 2 }$   = एक परिमेय संख्या
जो कि कथन   $3\sqrt { 2 }$   एक अपरिमेय संख्या है, का विरोधाभासी कथन है। अर्थात् हमारी कल्पना असत्य है। अत:   $3\sqrt { 2 }$   एक अपरिमेय संख्या है।

(इतिसिद्धम् )

प्रश्न 3.
यदि p और q अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं, तो सिद्ध कीजिए कि   $\sqrt { p } +\sqrt { q }$   एक अपरिमेय संख्या है।
हल:
$\left( \sqrt { p } +\sqrt { q } \right)$   एक अपरिमेय संख्या के विपरीत यह मान लें कि
$\left( \sqrt { p } +\sqrt { q } \right)$   एक परिमेय संख्या है, तो इस प्रकार के दो सह-अभाज्य पूर्णांक a और b विद्यमान हैं, कि
Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths