विविध प्रश्नमाला 12

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (1 से 20 तक)

प्रश्न 1.
10 सेमी. त्रिज्या वाले वृत्त के केन्द्र से 6 सेमी. दूर स्थित जीवा की लम्बाई
(क) 16 सेमी.
(ख) 8 सेमी.
(ग) 4 सेमी.
(घ) 5 सेमी.
उत्तर:
(क) 16 सेमी.

प्रश्न 2.
13 सेमी. त्रिज्या वाले वृत्त में 24 सेमी. लम्बी जीवा खींची गई है। जीवा की वृत्त के केन्द्र से दूरी है
(क)

12 सेमी.
(ख) 5 सेमी.
(ग) 6.5 सेमी.
(घ) 12 सेमी.
उत्तर:
(ख) 5 सेमी.

प्रश्न 3.
लघुचाप का डिग्री माप होता है
(क) 180° से कम
(ख) 180° से अधिक
(ग) 360°
(घ) 270°
उत्तर:
(क) 180° से कम

प्रश्न 4.
दीर्घचाप का डिग्री माप होता है
(क) 180° से कम
(ख) 180° से अधिक
(ग) 360°
(घ) 90°
उत्तर:
(ख) 180° से अधिक

प्रश्न 5.
एक वृत्त में केन्द्र से समान दूरी पर स्थित जीवाएँ एक-दूसरे की होती हैं
(क) दुगुनी
(ख) तिगुनी
(ग) आधी
(घ) बराबर
उत्तर:
(घ) बराबर

प्रश्न 6.
एक वृत्त के किसी चाप का डिग्रीमाप 180° है, वह चाप है
(क) दीर्घ चाप
(ख) लघु चाप
(ग) वृत्त
(घ) अर्द्धवृत्त
उत्तर:
(घ) अर्द्धवृत्त

प्रश्न 7.
तीन संरेखीय बिन्दुओं से गुजरने वाले वृत्तों की संख्या है
(क) एक
(ख) दो।
(ग) शून्य
(घ) अनन्त
उत्तर:
(क) एक

प्रश्न 8.
यदि किसी वृत्त में चाप AB = चाप BA हों, तो चाप है|
(क) दीर्घ चाप
(ख) लघु चाप
(ग) अर्द्ध वृत्त
(घ) वृत्त
उत्तर:
(ग) अर्द्ध वृत्त

प्रश्न 9.
यदि वृत्त का व्यास दो जीवाओं में से प्रत्येक को समद्विभाजित करे तो जीवाएँ होंगी
(क) समान्तर
(ख) लम्बवत्
(ग) प्रतिच्छेदी
(घ) उपरोक्त में से कोई नहीं
उत्तर:
(क) समान्तर

प्रश्न 10.
यदि सर्वांगसम वृत्तों में दो चाप बराबर हों, तो उनकी संगत जीवाएँ होंगी
(क) समान्तर
(ख) समान
(ग) लम्बवत्
(घ) प्रतिच्छेदी
उत्तर:
(ख) समान

प्रश्न 11.
किसी वृत्त का AD एक व्यास है और AB एक जीवा है। यदि AD = 34 सेमी., AB = 30 सेमी. हैं, तो वृत्ते के केन्द्र से AB की दूरी है
(क) 17 सेमी.
(ख) 15 सेमी.
(ग) 4 सेमी.
(घ) 8 सेमी.
उत्तर:
(घ) 8 सेमी.

प्रश्न 12.
आकृति में, यदि OA = 5 सेमी., AB = 8 सेमी. तथा OD जीवा AB पर लम्ब है, तो CD बराबर है
विविध प्रश्नमाला 12

(क) 2 सेमी.
(ख) 3 सेमी.
(ग) 4 सेमी.
(घ) 5 सेमी.
उत्तर:
(क) 2 सेमी.

प्रश्न 13.
यदि AB = 12 सेमी., BC = 16 सेमी. और AB रेखाखण्ड BC पर लम्ब है, तो A, B और C से होकर जाने वाले वृत्त की त्रिज्या है
(क) 6 सेमी.
(ख) 8 सेमी.
(ग) 10 सेमी.
(घ) 12 सेमी.
उत्तर:
(ग) 10 सेमी.

प्रश्न 14.
आकृति में, यदि ∠ABC = 20° है, तो। ∠AOC बराबर है
विविध प्रश्नमाला 12
(क) 20°
(ख) 40°
(ग) 60°
(घ) 10°
उत्तर:
(ख) 40°

प्रश्न 15.
आकृति में, यदि AOB वृत्त का एक व्यास तथा AB = BC है, तो ∠CAB बराबर है
विविध प्रश्नमाला 12
(क) 30°
(ख) 60°
(ग) 90°
(घ) 45°
उत्तर:
(घ) 45°

प्रश्न 16.
आकृति में, यदि ∠OAB = 40° है, तो ∠ACB बराबर है
विविध प्रश्नमाला 12
(क) 50°
(ख) 40°
(ग) 60°
(घ) 70°
उत्तर:
(क) 50°

प्रश्न 17.
आकृति में, यदि ∠DAB = 60°, ∠ABD = 50° है, तो ∠ACB बराबर है
विविध प्रश्नमाला 12
(क) 60°
(ख) 50°
(ग) 70°
(घ) 80°
उत्तर:
(ग) 70°

प्रश्न 18.
चतुर्भुज की एक भुजा AB उसके परिगत वृत्त का एक व्यास है तथा ∠ADC = 140° है। तब, ∠BAC बराबर है
(क) 80°
(ख) 50°
(ग) 40°
(घ) 30°
उत्तर:
(ख) 50°

प्रश्न 19.
आकृति में, BC वृत्त का व्यास है तथा ∠BA0 = 60° है। तब, ∠ADC बराबर
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(क) 30°
(ख) 45°
(ग) 60°
(घ) 120°
उत्तर:
(ग) 60°

प्रश्न 20.
आकृति में, ∠AOB = 90° और ∠ABC = 30° है। तब, ∠CAO बराबर है
विविध प्रश्नमाला 12
(क) 30°
(ख) 45°
(ग) 90°
(घ) 60°
उत्तर:
(घ) 60°

प्रश्न 21.
यदि एक वृत्त की दो बराबर जीवाएँ परस्पर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि एक जीवा के दो भाग दूसरी जीवा के दोनों भागों के पृथक्पृथक् बराबर होते हैं।
हल:
दिया है-
AB व CD दो बराबर जीवाएँ, जो कि P बिन्दु पर काटती हैं। सिद्ध करना है–
AP = CP
BP = DP
रचना-
OP को जोड़ते हैं एवं
OL ⊥ AB
OM ⊥ CD खींचते हैं।
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उपपत्ति-
∵ OL ⊥ AB और OM ⊥ CD
∴ L एवं M, AB व CD के मध्य बिन्दु हैं।
समान जीवाएँ केन्द्र से समान दूरी पर स्थित होती हैं।
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प्रश्न 22.
यदि P, Q और R क्रमशः एक त्रिभुज की BC, CA और AB भुजाओं के मध्य-बिन्दु हैं तथा AD शीर्ष A से BC पर लम्ब है, तो सिद्ध कीजिए कि बिन्दु P, Q, R और D चक्रीय हैं।
हल:
दिया है-P, Q, R क्रमशः BC, CA एवं AB भुजाओं के मध्य बिन्दु हैं तथा AD शीर्ष A से BC पर लम्बे हैं।
सिद्ध करना है-
P, Q, R एवं D चक्रीय है।
रचना-
RD, QD, PR एवं PQ को जोड़ा।
उपपत्ति-
RP, R व P को जोड़ती है, जो कि AB व BC को मध्य बिन्दु है
∴ RP || AC (मध्य बिन्दु प्रमेय)। इसी प्रकार, PQ || AB
∴ ARPQ एक समान्तर चतुर्भुज है।
∴ ∠RAQ = ∠RPQ …..(1) (विपरीत कोण)
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∆ABD एक समकोण त्रिभुज है एवं DR एक माध्यिका है।

प्रश्न 23.
∆BCD एक समान्तर चतुर्भुज है। A और B से होकर एक वृत्त इस प्रकार खींचा जाता है कि वह AD को P पर और BC को Q पर प्रतिच्छेद करता है। सिद्ध कीजिए कि P, Q, C और D चक्रीय हैं।
हल:
∆BCD एक समान्तर चतुर्भुज है। वृत्त खींचा जो AD को P एवं BC को BP Q पर काटता है।
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PQ को जोड़ते हैं।
∆PQB एक चक्रीय चतुर्भुज की A भुजा AP को D तक बढ़ाया।
∴ बहिष्कोण ∠1 = आन्तरिक कोण ∠B
∴ BA || CD एवं BC उसको काटता है।
∠B +∠C = 180°
∠1 +∠C = 180° [समीकरण (1) से]
∴ PDCQ एक चक्रीय चतुर्भुज है।
अतः P, Q, C एवं D चक्रीय है।

प्रश्न 24.
सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज के किसी कोण का समद्विभाजक और उसकी सम्मुख भुजा का लम्ब समद्विभाजक, यदि प्रतिच्छेद करते हैं, तो उस त्रिभुज के परिवृत्त पर प्रतिच्छेद करते हैं।
हल:
दिया है-
∆ABC के आधार BC का लम्ब समद्विभाजक XY है। ABDC, ∆ABC का परिवृत्त है। लम्ब समद्विभाजक XY परिवृत्त को D पर काटता है। XY, BC को M पर काटता है।
सिद्ध करना है-
∠A को समद्विभाजक भी बिन्दु D से होकर जाता है।
रचना-
DB तथा DC को मिलाया।
उपपत्ति-
∵ XY, BC को लम्ब समद्विभाजक है और यह परिवृत्त को बिन्दु D पर काटता है।
∴ बिन्दु D, परिवृत्त पर भी है और XY पर भी।
समकोण ∆BDM और ∆CDM में
BM = CM (XY, BC का लम्ब समद्विभाजक है)
MD = MD (उभयनिष्ठ भुजा है)
∠BMD = ∠CMD (∵ XY ⊥ BC)
भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता के गुणधर्म से,
∆BDM = ∆CDM
BD = CD
∵ बिन्दु D, परिवृत्त पर भी स्थित है।
∴ परिवृत्त में, जीवा BD = जीवा CD
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∴ चाप BD = चाप CD (सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ) किसी वृत्त की समान जीवाएँ समान चाप काटती हैं।
∴ चाप BD द्वारा बिन्दु A पर अन्तरित कोण = चाप CD द्वारा बिन्दु A पर अन्तरित कोण
∠BAD = ∠CAD
∴ AD, ∠A का समद्विभाजक है।
अतः ∠A का समद्विभाजक AD भी बिन्दु D से होकर जाता है। (इतिसिद्धम् )

प्रश्न 25.
यदि किसी वृत्त AYD∠BWCX की दो जीवाएँ AB और CD समकोण पर प्रतिच्छेद करती। हैं (आकृति देखिए), तो सिद्ध कीजिएं कि चाप CXA + चाप D∠B = चाप AYD + चाप BWC = एक अर्धवृत्त है।
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हल:
दिया है-
किसी वृत्त की दो जीवाएँ AB व At CD समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सिद्ध करना है-
चाप CXA + चाप D∠B
= चाप AYD + चाप BWC
= एक अर्द्धवृत्त
रचना-
A को C, D एवं C को B से। मिलाते हैं।
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उपपत्ति-
दो जीवाएँ AB वे CD समकोण पर बिन्दु O पर काटती हैं। ∆AOD में-
∠DAO + ∠ODA + ∠AOD = 180°
∠DA0 + ∠ODA + 90° = 180°
∠DAO + ∠ODA = 90°
चाप   $\widehat{D Z B}$   एवं चाप   $\widehat{C X A}$   द्वारा क्रमश: ∠DAO एवं ∠ODA बनाते हैं।
∴ चाप   $\widehat{D Z B}$   + चाप   $\widehat{C X A}$   = 90° …..(1)
अब ADOB में-
∠BDO + ∠OBD + ∠DOB = 180°
∠BDO +∠OBD + 90° = 180°
∠BDO + ∠OBD = 90°
पुनः चाप   $\widehat{B W A}$   एवं चाप   $\widehat{A Y D}$   द्वारा क्रमशः ∠BDO एवं ∠OBD बनाते हैं।
∴ चाप   $\widehat{A Y D}$   + चाप AYD = 90° …..(2)
समीकरण (1) व (2) से,
चाप   $\widehat{D Z B}$   + चाप   $\widehat{C X B}$   = चाप   $\widehat{B W C}$   + चाप   $\widehat{A Y D}$   = 90°
हम जानते हैं कि किसी वृत्त का चाप, किसी बिन्दु पर समकोण बनाता है जो कि एक अर्द्धवृत्त के वृत्तखण्ड में वैकल्पिक होता है।
अतः चाप   $\widehat{C X A}$   + चाप   $\widehat{D Z B}$   = चाप   $\widehat{A Y D}$   + चाप   $\widehat{B W C}$   = अर्द्धवृत्त

प्रश्न 26.
यदि ABC किसी वृत्त के अन्तर्गत एक समबाहु त्रिभुज है तथा P लघु चाप BC पर स्थित कोई बिन्दु है, जो B या C के सम्पाती नहीं है, तो सिद्ध कीजिए कि PA कोण BPC का समद्विभाजक है।
हल:
दिया है-
ABC किसी वृत्त के अन्तर्गत एक समबाहु त्रिभुज है तथा P लघुचाप BC पर स्थित कोई बिन्दु है जो B या C के सम्पाती नहीं है।
सिद्ध करना है-
PA, कोण BPC का समद्विभाजक है। A
उपपत्ति-
वृत्त की समान जीवाएँ, वृत्त के केन्द्र पर समान कोण अन्तरित करती हैं।
∴ जीवा AB = जीवा AC
∠AOB = ∠AOC …..(1)
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एक चाप द्वारा वृत्त के केन्द्र पर अन्तरित कोण, वृत्त के शेष भाग के किसी बिन्दु पर अन्तरित कोण का दोगुना होता है।
∴ ∠APC = $\frac{1}{2}$ ∠AOC …..(2)
एवं ∠APB = $\frac{1}{2}$ ∠AOC …..(3)
समीकरण (2) तथा (3) को बराबर करने पर
∴ ∠APC = ∠APB.
अतः PA, कोण BPC को समद्विभाजक है। इतिसिद्धम्

प्रश्न 27.
आकृति में, AB और CD एक वृत्त की दो जीवाएँ हैं, जो E पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠AEC =   $\frac{1}{2}$   (चाप CXA द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण + चाप DYB द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण) है।
विविध प्रश्नमाला 12
हल:
दिया है-
AB एवं CD एक वृत्त की दो जीवाएँ हैं, जो E पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सिद्ध करना है-
∠AEC =   $\frac{1}{2}$   (चाप CXA द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण + चाप DYB द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण)
रचना-
AC, BC एवं BD को मिलाते हैं।
उपपत्ति-
AB एवं CD वृत्त की दो जीवाएँ हैं। जो E पर प्रतिच्छेद करती हैं।
हम जानते हैं कि एक चाप द्वारा वृत्त के केन्द्र पर अन्तरित कोण, वृत्त के शेष भाग के किसी बिन्दु पर अन्तरित कोण का दोगुना होता है।
विविध प्रश्नमाला 12
चाप CXA, केन्द्र पर ∠AOC एवं शेष भाग पर ∠ABC अन्तरित करता है।
∠AOC = 2∠ABC …..(1)
इसी प्रकार, ∠BOD = 2∠BCD ………….(2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर,
∠AOC + ∠BOD = 2(∠ABC + ∠BCD) ………….(3)
त्रिभुज का बहिण, आन्तरिक विपरीत कोणों के योग के बराबर होता है। इसलिए त्रिभुज CEB में,
∠AEC = ∠ABC + ∠BCD . …..(4)
समीकरण (3) व (4) से,
∠AOC + ∠BOD = 2∠AEC
= ∠AEC =   $\frac{1}{2}$   (∠AOC + ∠BOD)
अतः ∠AEC =   $\frac{1}{2}$   (चाप CXA द्वारा केन्द्र पर आन्तरिक कोण + चाप DYB द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण)

प्रश्न 28.
यदि एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD के सम्मुख कोणों के समद्विभाजक इस चतुर्भुज के परिगत वृत्त को P और Q बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि PQ इस वृत्त का व्यास है।
हल:
दिया है-
एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD के सम्मुख कोणों के समद्विभाजक इस चतुर्भुज के परिगत वृत्त को P और Q बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।
सिद्ध करना है-
PQ वृत्त का व्यास है।
रचना-
AP, QC, QD एवं AQ को। मिलाते हैं।
उपपत्ति-
PQ वृत्त का व्यास होने के लिए हमें सिद्ध करना होगा
विविध प्रश्नमाला 12
∠PAQ = 90°
ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है
∠A+∠C = 180°
$\frac{1}{2}$ ∠A + $\frac{1}{2}$ ∠C = 90°
∠PAD + ∠QCD = 90° ………..(1)
लेकिन कोण QCD और कोण QAD, जीवा QD के वृत्त के समान वृत्तखण्ड के कोण हैं।
∴ ∠QCD = ∠QAD …..(2)
समीकरण (1) व (2) से,
∠PAD + ∠QAD = 90°
∠PAQ = 90°
∠PAQ, एक अर्द्धवृत्त में स्थित है।
अतः PQ इस वृत्त का व्यास है।

प्रश्न 29.
एक वृत्त की त्रिज्या 2 cm. है। 2 cm. लम्बाई वाली जीवा द्वारा यह वृत्त दो वृत्त-खण्डों में विभाजित किया जाता है। सिद्ध कीजिए कि इस जीवा द्वारा दीर्घ वृत्त-खण्ड के किसी बिन्दु पर बना कोण 45° है।
हल:
दिया है:
वृत्त की त्रिज्या = 2 सेमी. तथा 2 सेमी. वाली जीवा द्वारा इस वृत्त को दो वृत्त खण्डों में विभाजित किया जाता है।
सिद्ध करना है-
2 सेमी. वाली जीवा द्वारा दीर्घ वृत्त-खण्ड के किसी बिन्दु पर ना कोण 45° है।
अर्थात् ∠BAC = 45°
विविध प्रश्नमाला 12
∴ ∠BOC = 90° (पाइथागोरस प्रमेय के विलोम द्वारा)
अब चाप BC वृत्त के केन्द्र 0 पर ∠BOC तथा शेष भाग पर ∠BAC अन्तरित करता है।

प्रश्न 30.
AB और AC त्रिज्या r वाले एक वृत्त की दो जीवाएँ इस प्रकार हैं कि AB = 2AC है। यदि p और q क्रमशः केन्द्र से AB और AC की दूरियाँ हैं, तो सिद्ध कीजिए कि $4 q^{2}=p^{2}+3 r^{2}$ है।
हल:
दिया है-
AB और AC त्रिज्या r वाले वृत्त की जीवाएँ हैं ताकि AB = 2AC.
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समकोण ∆AOL में,

समीकरण (1) तथा (2) को बराबर करने पर
RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 12 वृत्त Additional Questions 23

प्रश्न 31.
आकृति में, O वृत्त का केन्द्र है। और ∠BCO = 30° है।r और y ज्ञात कीजिए।
हल:
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RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 12 वृत्त Additional Questions 25
हम जानते हैं कि एक चाप द्वारा वृत्त के केन्द्र मे 4 पर अन्तरित कोण वृत्त के शेष भाग के किसी बिन्दु पर अन्तरित कोण का दोगुना होता है।
RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 12 वृत्त Additional Questions 26
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प्रश्न 32.
आकृति में, O वृत्त का केन्द्र है। BD = OD और CD ⊥ AB है। ∠CAB ज्ञात कीजिए।
विविध प्रश्नमाला 12
हल:
दिया है-
BD = OD
CD ⊥ AB
ज्ञात करना है-
∠CAB. AODB में,
BD = OD (दिया है)
∠DOB = ∠DBO (त्रिभुज के समान भुजाओं के विपरीत कोण समान होते हैं।)
∆ODP एवं ∆BDP में,
∠DOP = ∠DBP (∵ 2DOB = ∠DBO)
∠DPO = ∠DPB (प्रत्येक 90°)
OD = BD (दिया है)।
विविध प्रश्नमाला 12
∴ ∆ODP = ∆BDP (AAS नियम से)
⇒ ∠ODP = ∠BDP …..(1) (CPCT)
पुन: OD = OB (समान वृत्त की त्रिज्याएँ)
लेकिन OD = BD
⇒ OB = OD = BD, ∴ ∆OBD एक समबाहु त्रिभुज है।
∴ ∠ODB = 60° =
$\Rightarrow \quad \angle \mathrm{BDP}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{ODB}$ [समीकरण (1) से)
$\Rightarrow \quad \angle B D P=\frac{1}{2} \times 60^{\circ}=30^{\circ}$
या ∠CDB = 30°
वृत्त के समान वृत्तखण्ड में कोण समान होते हैं अतः
∠CAB = ∠CDB = 30°.

प्रश्न 33.
सिद्ध कीजिए कि वृत्त के अन्दर किसी बिन्दु से होकर जाने वाली सभी जीवाओं में से वह जीवा सबसे छोटी होती है, जो उस बिन्दु से होकर जाने वाले व्यास पर लम्ब होती है।
हल:
माना AB व CD वृत्त की दो जीवाएँ हैं।
OL ⊥ AB, OM ⊥ CD.
ताकि OL ∠ OM.
OA व OC को मिलाया।
विविध प्रश्नमाला 12
वृत्त के केन्द्र से जीवा पर डाले गये लम्ब , इसको समद्विभाजित करता है।
∴ AL = $\frac{1}{2}$ AB तथा CM = $\frac{1}{2}$ CD.
∆OAL तथा ∆OCM में
$\mathrm{OA}^{2}=\mathrm{OL}^{2}+\mathrm{AL}^{2}$ तथा $\mathrm{OC}^{2}=\mathrm{OM}^{2}+\mathrm{CM}^{2}$
विविध प्रश्नमाला 12
अतः वृत्त के अन्दर किसी बिन्दु से होकर जाने वाली सभी जीवाओं में से वह जीवा सबसे छोटी होती है, जो उस बिन्दु से होकर जाने वाले व्यास पर लम्ब होती है। (इतिसिद्धम्)