Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 5 व्युत्क्रम आव्यूह एवं रैरिवक समीकरण

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 5 . 1

प्रश्न 1.
x के किस मान के लिए आव्यूह

अव्युत्क्रमणीय है।
हल :
दिया है कि आव्यूह

अव्युत्क्रमणीय है।
तब

⇒ 1(6 – 2) + 2(3 – x) + 3(2 – 2x) = 0
⇒ 4 + 6 – 2x + 6 – 6x = 0
⇒ – 8x = – 16
⇒ x =
अतः x = 2

प्रश्न 2.
यदि आव्यूह

हो, तो adj•A ज्ञात कीजिए तथा सिद्ध कीजिए कि A(adj•A) = |A|I₃ = (adj•A)A.
हल :
दिया गया आव्यूह,

आव्यूह A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,

आव्यूह A के सहखण्डों से बना आव्यूह,


अतः A.(adj.A) = |A|I₃ …(ii)
(i) व (ii) से,
A(adj A) = |A|I₃ = (adjA) A
इति सिद्धम्।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित आव्यूह का व्युत्क्रमणीय आव्यूह ज्ञात कीजिए :

हल :
(i) दिया गया आव्यूह

आव्यूह A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,

आव्यूह A के सहखण्डों से बना आव्यूह

(ii) दिया गया आव्यूह

| A | = 1(16 – 9) – 3(4 – 3) + 3(3 – 4)
= 7 – 3 – 3
|A | = 1 ≠ 0
अतः A^-1 का अस्तित्व है।
आव्यूह A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,

आव्यूह A सहखण्डों से बना आव्यूह B

(iii) दिया गया आव्यूह

| A | = 0( – 12 + 12) – 1(16 – 12) – 1( – 12 + 9)
= 0 – 4 + 3
| A | = -1 ≠ 0
अतः A^-1 का अस्तित्व है।
आव्यूह A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,

आव्यूह A के सहखण्डों से निर्मित आव्यूह

प्रश्न 4.
यदि आव्यूह

हो, तो A^-1 ज्ञात कीजिए तथा सिद्ध कीजिए कि :
(i) A^-1 A = I₃
(ii) A^-1 = F( – α)
(iii) A(adjA) = |A|I = (adjA).A
हल :
दिया है आव्यूह

|A| = cos α (cos α – 0) + sin α (sin α – 0) + 0(0 – 0)
= cos² α + sin² α
| A | = 1 ≠ 0
अतः A^-1 का अस्तित्व है।
आव्यूह A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,

आव्यूह A के सहखण्डों से बना आव्यूह

प्रश्न 5.
यदि

तो सिद्ध कीजिए कि A^-1 = A^T
हल :
माना कि

प्रथम पंक्ति के सापेक्ष प्रसार करने पर

= – 8(16 + 56) – (16 – 7) + 4( – 32 – 4)
= – 8.72 – 9 – 4.36
= – 9(64 + 1 + 16)
= – 9 × 81
= – 9³


अतः (iii) और (iv) से स्पष्ट है कि
A^-1 = A^T
इति सिद्धम्।

प्रश्न 6.
यदि आव्यूह

हो, तो सिद्ध कीजिए कि A^-1 = A³
हल :
दिया गया आव्यूह,

अतः A^-1 का अस्तित्व है।
आव्यूह A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,
a₁₁ = – 1, a₁₂ = – 2, a₂₁ = 1, a₂₂ = 1
आव्यूह A के सहखण्डों के बना आव्यूह

समीकरण (i) व (ii) से,
A^-1 = A³.
इति सिद्धम्।

प्रश्न 7.
यदि

तथा

हो, तो (AB)^-1 ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया गया आव्यूह

तब |A| = 5(3 – 4) – 0(2 – 2) + 4(4 – 3)
= – 5 – 0 + 4
|A| = – 1 ≠ 0 .
अतः A^-1 का अस्तित्व है।
आव्यूह A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,

आव्यूह A के सहखण्डों से निर्मित आव्यूह

प्रश्न 8.
यदि

हो, तो सिद्ध कीजिए कि

हल :
दिया गया आव्यूह

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि आव्यूह

समीकरण A² – 6A + 17I = 0 को सन्तुष्ट करता है तथा A^-1 भी ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया गया आव्यूह

अत: दिया गया आव्यूह समीकरण A² – 6A + 17I = 0 को सन्तुष्ट करता है।
अब A² – 6A + 17I = 0
⇒ = A² – 6A = – 17I
⇒ A^-1 (A² – 6A) = – 17A^-1I
⇒ [A^-1 का दोनों पक्षों में वाम गुणन करने पर]
⇒ A^-1A² – 6A^-1A = – 17A^-1 [∴A^-1I = A^-1]
⇒ A – 6I = – 17A^-1 [∴A^-1A = I]

प्रश्न 10.
यदि आव्यूह

हो, तो सिद्ध कीजिए कि A² + 4A – 42I = 0 तत्पश्चात् A^-1 ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया गया आव्यूह,

अब A² + 4A – 42I

अतः दिया गया आव्यूह समीकरण A² + 4A – 42I = 0 को सन्तुष्ट करता है।
अब A² + 4A – 42I= 0
A² + 4A = 42I
A^-1 (A² + 4A) = 42A^-1I
(A^-1 का दोनों पक्षों में गुणा करने पर)।

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 5 . 2

प्रश्न 1.
सारणिक की सहायता से त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष निम्न हैं
(i) (2, 5), (-2, – 3) तथा (6, 0)
(ii) (3, 8), (2, 7) तथा (5,-1)
(ii) (0, 0), (5, 0) तथा (3, 4)
हल :
(i) दिए गए त्रिभुज के शीर्ष (2, 5), (-2, – 3) तथा (6, 0) हैं।

त्रिभुज का क्षेत्रफल

=  {2( – 3 – 0) – 5( – 2 – 6) + 1(0 + 18)}

अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल = 26 वर्ग इकाई।

(ii) दिए गए त्रिभुज के शीर्ष (3, 8), (2, 7) तथा (5,- 1) हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल

अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल =  वर्ग इकाई।

(iii) दिए गए त्रिभुज के शीर्ष (0, 0), (5, 0) तथा (3, 4) हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल

अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल = 10 वर्ग इकाई।

प्रश्न 2.
सारणिक का प्रयोग कर शीर्ष (1, 4), (2, 3) तथा (-5,- 3) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। क्या दिये गये बिन्दु संरेख है ?
हल :
दिए गए त्रिभुज के शीर्ष (1, 4), (2, 3) तथा (-5,-3) हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल

= 
अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल
=  वर्ग इकाई (ऋण चिह्न छोड़ने पर) ।
∴ त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य नहीं है। अत: दिए गए बिन्दु संरेख नहीं है।

प्रश्न 3.
k का मान ज्ञात कीजिए यदि त्रिभुज का क्षेत्रफल 35 वर्ग इकाई जबकि शीर्ष (k, 4), (2,- 6) तथा (5, 4) हैं।
हल :
∵ दिए गए बिन्दु (k, 4), (2,- 6) तथा (5, 4) से निर्मित
त्रिभुज का क्षेत्रफल = 35 वर्ग इकाई


k( – 6 – 4) – 4(2 – 5) + 1(8 + 30) = ± 70
– 10k + 12 + 38 = ± 70
– 10k + 50 = ± 70
धन चिह्न लेने पर,
– 10k + 50 = 70
– 10k = 70 – 50
– 10k = 20
k = – 2
ऋण चिह लेने पर
– 10k + 50 = 70
– 10k = – 70 – 50
– 10k = – 120
k = 12
अतः k = – 2, 12.

प्रश्न 4.
सारणिक का प्रयोग कर k का मान ज्ञात कीजिए, यदि बिन्दु (k:2-2k), (-k+1, 2k) तथा (-4-k, 6-2k) संरेख हों।
हल :
∵ दिए गए बिन्दु (k, 2 – 2k), ( – k + 1, 2k) तथा ( – 4 – k, 6 – 2k) सरेख हैं।

⇒k[2k – (6 – 2k)] – (2 – 2k) [( – k + 1) – (  – 4 – k)] + 1[( – k + 1) (6 – 2k) – ( – 4 – k) (2k)] = 0
⇒k[2k – 6 + 2k] – (2 – 2k) [ – k + 1 + 4 + k] + 1[ – 6k + 2k² + 6 – 2k + 8k + 2k²] = 0
⇒k(4k – 6) – (2 – 2k) (5) + 1(4k² + 6) = 0
⇒4k² – 6k – 10 + 10k + 4k² + 6 = 0
⇒ 8k² + 4k – 4 = 0
⇒ 2k² + k – 1 = 0
⇒ 2k² + (2 – 1)k – 1 = 0
⇒ 2k² + 2k – k – 1 = 0
⇒ 2k(k + 1) – 1(k + 1)= 0
⇒ (k + 1) (2k – 1) = 0
अतः k = – 1, 

प्रश्न 5.
यदि बिन्दु (3, -2), (x, 2) तथा (8, 8) संरेख हैं, तो x का मान सारणिक का प्रयोग कर ज्ञात कीजिए।
हल :
∵ दिए गए बिन्दु (3, -2), (x, 2) तथा (8, 8) सरेख हैं।

⇒ 3(2 – 8) + 2(x – 8) + 1(8x – 16) = 0
⇒ – 18 + 2x – 16 + 87 – 16 = 0
⇒ 10 – 50 = 0
⇒ 10x = 50
⇒ x = 
अतः x = 5

प्रश्न 6.
सारणिक प्रयोग से दो बिन्दुओं (3, 1) तथा (9, 3) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए तथा त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि तीसरा बिन्दु (-2, -4) हो।
हल :
बिन्दुओं (3, 1) तथा (9, 3) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण

⇒ x(1 – 3) – y(3 – 9) + 1(9 – 9) = 0
⇒ – 2x + 6y + 0= 0
⇒ – 2(x – 3y) = 0
⇒ x – 3y = 0
अत: बिन्दुओं (3, 1) तथा (9, 3) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण x – 3y = 0 है।
अब, त्रिभुज का क्षेत्रफल जबकि तीनों
बिन्दु (3, 1), (9, 3) तथा (-2, -4) हैं।


=  (-20)
= – 10
∆ = 10 वर्ग इकाई (ऋण चिह्न छोड़ने पर)
अत: त्रिभुज का क्षेत्रफल = 10 वर्ग इकाई।

प्रश्न 7.
क्रेमर नियम से निम्नलिखित समीकरण निकायों को हल कीजिए
(i) 2x + 3y = 9, 3x – 2y = 7
(ii) 2x – 7y – 13 = 0, 5x + 6y – 9 = 0
हल :
(i) दिया गया समीकरण निकाय
2x + 3y = 9
3x – 2y = 7

(ii) दिया गया समीकरण निकाय
2x – 7y – 13= 0
5x + 6y – 9 = 0
इन समीकरणों को निम्न प्रकार से भी लिख सकते हैं
2x – 7y = 13
5x + 6y = 9


अत: समीकरण निकाय का हल x = 3, y = – 1.

प्रश्न 8.
सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित समीकरण निकाय असंगत हैं
(i)
3x – y + 2 = 3
2x + y + 3z = 5
x – 2y – z = 1
(ii)
x + 6y + 11 = 0
3x + 20y – 6z + 3= 0
6y – 18z + 1 = 0
हल :
(i) दिया गया समीकरण निकाय
3x – y + 2z = 3
2x + y + 3z = 5
x – 2y – z = 1

∴ ∆ = 0, ∆1 ≠ 0, ∆2 ≠ 0 तथा ∆3 ≠ 0
अतः समीकरण निकाय असंगत है तथा इसका हल सम्भव नहीं है।
इति सिद्धम्।

(ii) दिया गया समीकरण निकाय ।
x + 6y + 11 = 0
3x + 20y – 6z + 3 = 0
6y – 18z + 1 = 0
दिए गए समीकरण निका को निम्न प्रकार भी लिख सकते हैं :
x + 6y = – 11
3x + 20y – 6z = – 3
6y – 18z = – 1

∵ ∆ = 0, ∆1 ≠ 0, ∆2 ≠ 0 तथा ∆3 ≠ 0
अतः समीकरण निकाय असंगत है तथा इसका हल सम्भव नहीं है।
इति सिद्धम्।

प्रश्न 9.
क्रेमर नियम से निम्नलिखित समीकरण निकायों को हल कीजिए
(i) x + 2y + 4z = 16
4x + 3y – 2z = 5
3x – 5y + z = 4
(ii) 2x + y – z = 0
x – y + z = 6
x + 2z + z = 3
हल :
(i) दिया गया समीकरण निकाय
x + 2y + 4z = 16
4x + 3y – 2z = 5
3x – 5y + z = 4

(ii) दिया गया समीकरण निकाय ।
2x + y – z = 0
x – y + z = 6
x + 2y + z = 3


अतः x = 2, y = -1, z = 3

प्रश्न 10.
सारणिकों की सहायता से निम्नलिखित समीकरण निकायों को हल कीजिए
(i)
6x + y – 3z = 5
x + 3y – 2z = 5
2x + y + 4z = 8
(ii)

हल :
(i) दिया गया समीकरण निकाय
6x + y – 3z = 5
x + 3y – 2z = 5
2x + y + 4z = 8

प्रश्न 11.
आव्यूह सिद्धान्त का प्रयोग कर निम्नलिखित समीकरण निकायों को हल कीजिए
(i) 2x – y = – 2
3x + 4y = 3
(ii) 5x + 7y + 2 = 0
4x + 6y +3 = 0
x + y – z = 1
(iii) 3x + y – 2z = 3
x – y – z = – 1
(iv) 6x – 12y + 25z = 4
4x + 15 – 20z = 3
2x+ 18y + 152 = 10
हल :
(i) दिया गया समीकरण निकाय
2x – y = – 2
3x + 4y = 3
इसे आव्यूह रूप में निम्न प्रकार लिख सकते हैं|
AX = B ….(i)

(ii) दिया गया समीकरण निकाय
5x + 7y + 2 = 0
4x + 6y + 3 = 0
दिए गए समीकरण निकाय को निम्न प्रकार से भी लिख सकते
5x + 7y = – 2
4x + 6y = – 3
इस समीकरण निकाय को आव्यूह रूप में निम्न प्रकार लिख सकते
AX = B

(iii) दिया गया समीकरण निकाय
x + y – z = 1
3x + y – 2z = 3
x – y – z = -1
इस समीकरण निकाय को आव्यूह रूप में लिखने पर,
AX = B …(i)



(iv) दिया गया समीकरण निकाय
6x – 12y + 25z = 4
4x + 15y – 20z = 3
2x + 18y + 15z = 10
इन समीकरण निकाय को आव्यूह रूप से लिखने पर,
AX = B ….(i)

प्रश्न 12.
यदि

हो, तो A^-1 ज्ञात कीजिए।
तथा निम्नलिखित रैखिक समीकरण निकाय को हल कीजिए :
x – 2 = 10, 2x + y + 3x = 8, – 2y + z = 7
हल :
दिया है,

= 1(1 + 6) +2(2 – 0) + ( – 4 – 0)
= 7 + 4 + 0
|A| = 11 ≠ 0
अतः A^-1 का अस्तित्व है।
A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,


अब, दिया गया समीकरण निकाय
x – 2y = 10
2x + y + 3z = 8
– 2y + 2 = 7
रैखिक समीकरण निकाय का आव्यूह रूप

अतः x = 4, y = -3, z = 1

प्रश्न 13.
आव्यूहों

तथा

गुणनफल ज्ञात कीजिए तथा इसकी सहायता से निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए।
x – y + z = 4, x – 2y – 2z = 9, 2x + y + 3z = 1
हल :
माना

प्रश्न 14.
आव्यूह

का व्युत्क्रम आव्यूह ज्ञात कीजिए तथा इसकी सहायता से निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए।

हुल :
दिया गया आव्यह

= 1(1 + 3) + 1(2 + 3) + 1(2 – 1)
= 4 + 5 + 1 = 10 ≠ 0
अतः A^-1 का अस्तित्व है।
A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,

प्रश्न 15.
यदि समबाहु त्रिभुज की भुजा ॥ तथा शीर्ष (x1, y1), (x2, x2) एवं (x3, y3) हों, तो सिद्ध कीजिए कि

हल :
दिया है कि समबाहु त्रिभुज की भुजा a तथा समबाहु त्रिभुज के तीनों शीर्ष (x1, y1), (x2, y2) तथा (x3, y3) हैं।

इति सिद्धम्।

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 5 व्युत्क्रम आव्यूह एवंरैरिवक समीकरण Miscellaneous Exercise

प्रश्न 1.

यदि

हो, तो A^-1 ज्ञात कीजिए।

हल :

दिया गया आव्यूह

|A| = 5 ≠ 0

अतः A^-1 का अस्तित्व है।

A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,

a₁₁ = 3, a₁₂ = – 2, a₂₁ = 1, a₂₂ = 1

आव्यूह A के सहखण्डों से निर्मित आव्यूह

प्रश्न 2.

यदि

हो, तो A^-1 ज्ञात कीजिए।

हल :

दिया गया आव्यूह

= 0(0 – 1) – 1(0 – 1) + (1 – 0).

= 0 + 1 + 1

|A| = 2 ≠ 0

अतः A^-1 का अस्तित्व है।

A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,

प्रश्न 3.

यदि आव्यह

एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए।

हल :

दिया गया आव्यूह,

∵ आव्यूह A अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है, तब

|A| = 0

1( – 6 – 2) + 2( – 3 – x) + 3(2 – 2x) = 0

– 8 – 6 – 2x + 6 – 6x = 0

– 8 – 8x = 0

– 8x = 8.

x =

x = -1

प्रश्न 4.

क्रेमर नियम का प्रयोग कर निम्नलिखित समीकरण निकाय हल कीजिए।

(i) 2x – y = 17

x + 5y = 6

(ii) 3x + ay = 4

2x + ay = 2, a ≠ 0

(iii) x + 2 + 3z = 6

2x + 4y + z = 7

3x + 2y + 9z = 14

हल :

(i) दिया गया समीकरण निकाय

2x – y = 17

3x + 5y = 6

अतः समीकरण निकाय का हल x = 7, y = – 3

(ii) दिया गया समीकरण निकाय

3x + ay = 4

2a + y = 2, a ≠ 0

अत: समीकरण निकाय का हल x = 2, y =

(iii) दिया गया समीकरण निकाय

x + 2 + 2x = 6

2x + 4y + 2 = 7

3x + 2y + 9z = 14

अत: समीकरण निकाय का हल x = 1, y = 1, z = 1.

प्रश्न 5.

क्रेमर नियम का प्रयोग कर सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित समीकरण निकाय असंगत है।

(i) 2x – y = 5

4x – 2y = 7

(ii) x + y + z = 1 ,

x + 2y + 3z = 2

3x + 4y + 5y = 3

हल :

(i) दिया गया समीकरण निकाय

2x – y = 5

4x – 2y = 7

∵ ∆ = 0, ∆₁ ≠ 0 तथा ∆₂ ≠ 0

अतः समीकरण निकाय संगत है।

(ii) दिया गया समीकरण निकाय

x + y + z = 1

x + 2y + 3z = 2

3x + 4y + 3z = 3

∵ ∆ = 0, ∆₁ ≠ 0, ∆₂ ≠ 0 तथा ∆₃ ≠ 0

अतः दिया गया समीकरण निकाय असंगत है।

प्रश्न 6.

एक द्वितीय क्रम की आव्यूह A ज्ञात कीजिए :

जहाँ

हल :

प्रश्न 7.

यदि

हो, तो सिद्ध कीजिए कि

A² + 4A – 42I = 0 तथा इसकी सहायता से A^-1 भी ज्ञात कीजिए।

हल :

दिया गया आव्यूह

प्रश्न 8.

यदि

हो, तो सिद्ध कीजिए कि

हुल :

दिया गया आव्यूह.

प्रश्न 9.

यदि

हो, तो A^-1 ज्ञात कीजिए तथा दिखाइये कि A^-1.A = I₃

हल :

दिया गया आव्यूह

अत: A^-1 का अस्तित्व है।

आव्यूह A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,

प्रश्न 10.

यदि

हो, तो सिद्ध कीजिए कि A² – 4A – 5I = 0 तत्पश्चात् इसकी सहायता से A^-1 भी ज्ञात कीजिए।

हल :

दिया गया आव्यूह,

A² = A.A

प्रश्न 11.

आव्यूह सिद्धान्त का प्रयोग कर निम्नलिखित रैखिक समीकरण निकाय को हल कीजिए :

(i) 5x – 7y = 2

7x – 5y = 3

(ii) 3x + y + z = 3

2x – y – z = 2

– x – y + z = 1

(iii) x + 2y – 2z + 5 = 0

– x + 3y + 4 = 0

– 2y + z – 4 = 0

हुल :

(i) दिया गया समीकरण निकाय

5x – 7y = 2

7x – 5y = 3

इसे आव्यूह रूप में लिखने पर

AX = B…..(i)

(ii) दिया गया समीकरण निकाय

3x + y + z = 3

2x – y – z = 2

– x – y + z = 1

इस समीकरण निकाय को आव्यूह रूप में लिखने पर

AX = B

अतः A^-1 का अस्तित्व है।

आव्यूह A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,

(iii) दिया गया समीकरण निकाय ।

x + 2y – 2z + 5 = 0

– x + 3y + 4 = 0

– 2y + z – 4 = 0

समीकरण निकाय को निम्न प्रकार भी लिख सकते हैं,

x + 2y – 2z = – 5

-x + 3y = – 4

– 2y + z = 4

इसी समीकरण निकाय को आव्यूह रूप में लिखने पर ।

AX = B …(i)

प्रश्न 12.

त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि शीर्ष निम्नलिखित हों :

(i) A(-3, 5), B(3,- 6), C(7, 2)

(ii) A(2, 7), B(2, 2), C(10, 8)

हल :

(i) त्रिभुज ABC के शीर्ष

A = (-3, 5), B = (3, -6), C = (7, 2)

त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ∆

प्रश्न 13.

यदि बिन्दु (2,-3), (λ,-2) तथा (0, 5) संरेख हो, तो λ. का मान ज्ञात कीजिए।

हल :

दिए गए बिन्दु (2,-3), (λ, -2) तथा (0, 5) संरेख हैं, तब

⇒ 2( – 2 – 5) + 3(λ – 0) + 1(5λ – 0) = 0

⇒ – 14 + 3λ + 5λ = 0

⇒ 8λ = 14

प्रश्न 14.

आव्यूह A ज्ञात कीजिए जबकि :

हल :

प्रश्न 15.

यदि

हो, तो A^-1 ज्ञात कीजिए। तत्पश्चात् इसकी सहायता से निम्नलिखित रैखिक समीकरण निकाय को हल कीजिए

x + y + z = 2, x + 2y – 3z = 13, 2x – y + 3z = -7.

हल :

दिया है,

= 1(6 – 3) – 1(3 + 6) + 1( – 1 – 4)

= 3 – 9 – 5

अतः |A| = – 11 ≠ 0

अतः A^-1 का अस्तित्व है।

A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,

अतः x = 1, y = 3, z = – 2.

प्रश्न 16.

यदि

हो, तो A^-1 ज्ञात कीजिए तथा दिखाइये कि aA^-1 = (a² + bc + 1)I – aA.

हल :

दिया गया आव्यूह,

प्रश्न 17.

सारणिक की सहायता से निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए—

x + y + z = 1

ax + by + cz = k

a²x + b²y + c²z = k²

हल

दिया गया समीकरण निकाय

x + y + z = 1

ax + by + cz = k

a²x + b²y + c²z = k²

प्रश्न 18.

यदि

हो, तो A-1 ज्ञात कीजिए। तत्पश्चात् इसकी सहायता से निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए ।

x + 2y – 3z = – 4, 2x + 3y + 2z = 2, 3x – 3y – 4z = 11

हल :

दिया है,

= 1( -12 + 6) – 2(- 8 – 6) – 3( – 6 – 9)

= – 6 + 28 + 45 = 67 ≠ 0

अत: A^-1 का अस्तित्व है।

आव्यूह A के सहखण्ड ज्ञात करने पर,

अतः x = 3, y = – 2, z = 1.

प्रश्न 19.

यदि

हो, तो X ज्ञात कीजिए।

हल :

माना

प्रश्न 20.

निम्नलिखित समीकरण निकाय के अनन्त हल हो, तो a तथा b का मान ज्ञात कीजिए-

2x + y + az = 4

bx – 2y + z = – 2

5x + 5y + z = – 2

हल :

दिया गया समीकरण निकाय

2x + y + az = 4

bx – 2y + z = – 2

5x + 5y + z = – 2

∵ समीकरण निकाय के अनन्त हल है, तब ∆ = 0, ∆₁ = 0, ∆₂ = 0 तथा ∆₃ = 0 होगा।