Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 6 . 1

प्रश्न 1.
निम्न फलनों की सातत्यता का परीक्षण कीजिए-

हल :
(a)
दिया गया फलन

तथा x = 0 के लिए,
f(0) = 0
∴ f(0 – 0) = f(0 + 0) = f(0) = 0
अतः दिया हुआ फलन x = 0 पर सतत है।

(b)

दिया गया फलन


= कोई अस्तित्व नहीं है।
∵ बायीं सीमा तथा दार्थी सीमा का कोई अस्तित्व नहीं है।
अत: दिया हुआ फलन x = 0 पर असतत है।

(c)

दिया गया फलन

तथा x = 3 के लिए।
f(3) = 1 + x ⇒ 1 + 3 = 4
∴ f(3 – 0) = (3 + 0) = f(3) = 4
अतः दिया गया फलन x = 3 पर सतत है।

(d)

दिया गया फलन


तथा x = 0 के लिए,
f(0) = sin 0 = 0
∴ f(0 – 0) = f(0 + 0) = f(0) = 0
अत: दिया हुआ फलन x = 0 पर सतत है।

(e)

दिया गया फलन

तथा x = a के लिए,
f(a) = 0 (प्रश्नानुसार)
∴ f(a – 0) = f(a + 0) ≠ f(a)
अतः दिया हुआ फलन x = a पर असतत है।

(f)

दिया गया फलन


तथा x = a के लिए,
f(a) = 0 (प्रश्नानुसार)
∴ f(a – 0) = f(a + 0) ≠ f(a)
अतः दिया हुआ फलन x = a पर असतत है।

(g)

दिया गया फलन


तथा x = a के लिए,
f(a) = 0.
∴ f(a – 0) = f(a + 0) = f(a) = 0
अतः दिया हुआ एलन x = a पर सतत है।

प्रश्न 2.
फलन f(x) = x – [x] की x = 3 पर सततता का परीक्षण कीजिए।
हल :
दिया गया फलन, f(x) = x – [x], x = 3 पर
बायीं सीमा (Left hand limit) के लिए,
f(3 – 0) = lim_h→0 f(3 – h)
= lim_h→0 (3 – h) – [3 – h]
= 3 – 2
= 1
[क्योंकि 3 के पहले महत्तम पूर्णांक 2 है।]
दाय सीमा (Right hand limit) के लिए,
f(3 + 0) = lim_h→0 f(3 + h)
= lim_h→0 (3 + h) – [3 + h]
= 3 – 3
= 0
∴(3 – 0) ≠ f(3 + 0)
अतः दिया हुआ फलन x = 3 पर असतत है।

प्रश्न 3.
यदि निम्न फलन

बिन्दु x = 2 पर सतत है, तब λ का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
बायीं सीमा (Left hand limit) के लिए,

∴ फलन x = 2 पर सतत है, तब
f(2 – 0) = f(2 + 0) = f(2)
तब 7 = 7 = λ.
अतः λ = 7.

प्रश्न 4.
निम्न फलन

के अन्तराल [-1,2] में सततता का परीक्षण कीजिए।
हल :
हम यहाँ पर फलन की सततता की जाँच बिन्दु x = 0 पर कारेंगे तथा 0 ∈ [-1, 2].
x = 0 पर फलन की सततता का परीक्षण,
बायीं सीमा (Left hand limit) के लिए,
f(0 – 0) = lim_h→0 f(0 – h)
= lim_h→0 (0 – h)²
= lim_h→0 h²
= 0
दायीं समा (Right hand limit) के लिए,
f(0 + 0) = lim_h→0 f(0 + h)
= lim_h→0 4(0 + h) – 3
= lim_h→0 4h – 3
= 0 – 3
= – 3
∴ f(0 – 0) ≠ f(0 + 0)
बार्थी सीमाके ≠ दार्थी सीमा
अतः फलन x = 0 पर असतत है तथा x ∈ [-1, 2]
x = 1 पर फलन की सततता का परीक्षण
बायीं सीमा (Left hand limit) के लिए,
f(1 – h) = lim_h→0 4 (1 – h) – 3
= lim_h→0 4 – 3 – 4h
= 4 – 3 – 0 = 1
दाय सीमा (Right hadn limit) के लिए,
(1 + h) = lim_h→0 5(1 + h)² – 4(1 + h)
= lim_h→0 5(1 + h² + 2h) – (4 + 4h)
= lim_h→0 5h² + 10h + 5 – 4 – 4h
= 5 x 0 + 10 x 0 + 1 – 4 (0)
= 1
x = 1 पर फलन का मान ।
f(1) = 4 x 1 – 3 = 1
∵ lim_h→0 f(1 – h) = f(1) = lim_h→0 f(1 + h)
∴ फलन x = 2 पर सततता है।
अत: दिया हुआ फलन अन्तराल [-1, 2] में असतत है।

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 6.2

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि निम्न फलन x के प्रत्येक मान के लिए अवकलनीय है
(i) तत्समक फलन f(x) = x
(ii) अचर फलन f(x) = c, जहाँ c अचर है।
(iii) f(x) = e^x
(iv) f(x) = sinx.
हल :
(i) दिया है कि f(x) = x, तत्समक फलन है।
जहाँ x ∈ R (R वास्तविक संख्याओं का समुच्चय)
माना a कोई स्वेच्छ वास्तविक संख्या है, तब
x = a पर f(x) को बायाँ अवकलज (Left hand derivative)

पुन: x = a पर f(x) का दायाँ अवकलज (Right hand derivative)

अतः तत्समक फलन f(x) = x, x के प्रत्येक मान के लिए अवकलनीय
इति सिद्धम्।

(ii) दिया है कि अचर फलन f(x) = c, जहाँ c अचर है। फलन f(x) का प्रान्त वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R है।
माना a कोई स्वेच्छ वास्तविक संख्या है, तब
x = a पर f(x) का बायाँ अवकलज (Left hand derivative)

पुन: x = a पर f(x) का दायाँ अवकलज (Right hand derivative)

अतः अचर फलन (x) = c, x के प्रत्येक मान के लिए अवकलनीय
इति सिद्धम्।

(iii) दिया गया फलन f(x) = e^x जहाँ x ∈ R
माना a कोई स्वेच्छ वास्तविक संख्या है, तब
x = a पर f(x) का बायाँ अवकलज (Left hand derivative)

पुन: x = a पर f(x) का दायाँ अवकलज (Right hand derivative)

अतः अचर फलन (x) = e^x, x के प्रत्येक मान के लिए अवकलनीय
इति सिद्धम्।

(iv) दिया गया फलन f(x) = sin x, जहाँ x ∈ R
माना a कोई स्वेच्छ वास्तविक संख्या है, तब
x = a पर f(x) का बायाँ अवकलज (Left hand derivative)


पुनः x = a पर f(x) का दायाँ अवकलज (Right hand derivative)

= cos a × 1
= cos a
∴ f’ (a – 0) = f’ (a + 0)
अतः फलन f(x) = sin x, x के प्रत्येक मान के लिए अवकलनीय है।
इति सिद्धम्।

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = | x | बिन्दु x = 0 पर अवकलनीय नहीं है।
हल :
x = 0 पर अवकलनीयता के लिए,
बायाँ पक्ष का अवकलज (Left hand derivative)
L.H.D.

तथा दाएँ पक्ष का अवकलज (Right hand derivative)
R.H.D.


अतः फलन f(x), x = 0 पर अवकलनीय नहीं है। इति सिद्धम्।

प्रश्न 3.
फलन f(x) = |x – 1| + |x|, का बिन्दुओं x = 0, 1 पर अवकलनीयता को परीक्षण कीजिए।
हल :
हम दिए गए फलन को निम्न प्रकार भी लिख सकते हैं :

x = 0 पर अवकलनीयता के लिए,
बाएँ पक्ष का अवकलन (Left hand derivative)
L H.D.

दाएँ पक्ष का अवकलज (Right hand derivative)
R.H.D.

अतः फलन f(x), x = 0 पर अवकलनीय नहीं है।
अब x = 1 पर अवकलनीयता के लिए,
बाएँ पक्ष का अवकलज (Left hand derivative)


तथा दाएँ पथ का अवकलज (Right hand derivative)

अतः फलन f(x), x = 1 पर अवकलनीय नहीं है।
इति सिद्धम्।

प्रश्न 4.
फलन f(x) = |x – 1| + |x – 2| के अन्तराल [0, 2] में अवकलनीयता का परीक्षण कीजिए।
हल :
दिए गए फलन को निम्न प्रकार भी लिख सकते हैं,

यहाँ फलन की अवकलनीयता की जाँच बिन्दु x = 1 पर करेंगे। क्योंकि 1 ∈ [0, 2]
x = 1 पर अवकलनीयता के लिए।
बाएँ पक्ष का अवकलज (Left hand derivative)
L.H.D.

दाएँ पक्ष का अवकलज (Right hand derivative)
R.H.D.

फलन f(x), x = 1 पर अवकलनीय नहीं है तथा x = [0, 2]
अत: दिया हुआ फलन अन्तराल [0, 2] में अवकलनीय नहीं है।
इति सिद्धम्।

प्रश्न 5.
निम्न फलन

की बिन्दु पर अवकलनीयता का परीक्षण कीजिए।
हल :
x = 0 पर अवकलनीयता के लिए,
बाएँ पक्ष का अवकलज (Left hand derivative)

दाएँ पक्ष का अवकलज (Right hand derivative)

अतः x = 0 पर फलन अवकलनीय है।

प्रश्न 6.
फलन

की बिन्दु x = 0 पर अवकलनीयता का परीक्षण कीजिए।
हल :
x = 0 पर अवकलनीयता के लिए,
बाएँ पक्ष का अवकलज (Left hand derivative)
L.H.D.

दाएँ पक्ष का अवकलज (Right hand derivative)
R.H.D.

अतः x = 0 पर फलन अवकलनीय है।

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि निम्न फलन

(a) बिन्दु x = 0 पर सतत है यदि m > 0
(b) बिन्दु x = 0 पर अवकलनीय है यदि m > 1
हल :
(a) x = 0 पर सततता
(i) x = 0 पर फलन का मान f(0) = 0
(ii) x = 0 पर f(x) की बार्थी सीमा

(iii) x = 0 पर f(x) की दायीं सीमा

x = 0 पर फलन f(x) सतत होगा यदि (i) व (iii) अगल-अलग शून्य हों। ,
चूँकि  का मान – 1 तथा 1 के मध्य परिमित राशि है।
अत: दोनों सीमाएँ शून्य होंगी यदि m > 0
अतः फलन f(x), x = 0 पर सतत है यदि m> 0

(b) x = 0 पर अवकलनीयता,
x = 0 पर बायाँ अवकलज (left hand derivative)

x = 0 पर दायाँ अवकलज (Right hand derivative)

दिया है कि f(x), x = 0 पर अवलनीय है, तब
f’ (0 – 0) = f’ (0 + 0),
जो कि समीकरण (i) व (ii) से
तभी सम्भव है जबकि m – 1 > 0 या m > 1
अतः दिया गया फलन f(x), x = 0 पर अवकलनीय है, यदि m> 1.
इति सिद्धम्।

प्रश्न 8.
निम्न फलन की x = 0 पर अवकलनीयता का परीक्षण कीजिए :

हल :
x = 0 पर बायाँ अवकलज (Left hand derivative)

x = 0 पर दायाँ अवकलज (Right hand derivation)

अतः फलन x = 0 पर अवकलनीय नहीं है।

प्रश्न 9.
फलन

की बिन्दु x = 0 पर अवकलनीयता का परीक्षण कीजिए।
हल :
x = 0 पर बायाँ अवकलज (Left hand derivative)

x = 0 पर दायाँ अवकलज (Right hand derivative)

यहाँ बायाँ व दायाँ अवकलज विद्यमान नहीं है।
अत: x = 0 पर दिया गया फलन अवकलनीय नहीं है।

प्रश्न 10.
फलन

बिन्दु x =  पर अवकलनीयता का परीक्षण कीजिए।
हल :
x =  पर बायाँ अवकलज (Left hand derivative)


पुनः x =  पर दायाँ अवकलज (Right hand derivative)

अतः ∴ x =  पर दिया गया फलन अवकलनीय है।

प्रश्न 11.
m तथा n के मान ज्ञात कीजिए जबकि फलन

प्रत्येक बिन्दु पर अवकलनीय है।
हल :
दिया है कि फलन f(x), x = 1 अवकलनीय है। हम जानते हैं। कि प्रत्येक अवकलनीय फलन सतत होता है। अतः x = 1 पर फलन f(x) सतत है।
∴ बाय सीमा (Left hand limit)
f(1 – 0) = lim_h→0  f(1 -h)
= lim_h→0 (1 + h)² + 3(1 – h) + m
= (1 – 0)² + 3(1 – 0) + m
= 1 + 3 + m
= 4 + m
अब दार्थी सीमा (Right hand limit)
f(1 + 0) = lim_h→0 f(1 + h)
= lim_h→0 n(1 + h) + 2
= n(1 + 0) + 2
= n + 2
∴ फलन x = 1 पर सतत है, तब
f(1 – 0) = f(1 + 0)
तब 4 + m = n + 2
या m – n = – 2
पुनः x = 1 पर f(x) अवकलनीय है।
तब x = 1 पर बायाँ अवकलज (Left hand derivative)

तथा x = 1 पर दायाँ अवकलज (Right hand derivative)

∴ x = 1 पर फलन अवकलनीय है।
तब f’ (1 – 0) = f’ (1 + 0)
5 = n ⇒ n = 5
n का मान समीकरण (i) में रखने पर,
⇒ m – 5 = – 2
⇒ m = – 2 + 5
m = 3
अतः m = 3 तथा n = 5

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RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 6 सततता तथा अवकलनीयता Miscellaneous Exercise

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 6 सततता तथा अवकलनीयता Miscellaneous Exercise

प्रश्न 1.
यदि फलन f(x) = . x = 3 पर संतत है तो f(3) का मान होगा :
(a) 6
(b) 3
(c) 1
(d) 0
हल :
f(x) = 
दाँय सीमा (RHL.)

फलन x = 3 पर संतत है इसलिए
f(3) = f(3 + 0)
f(3) = 6
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 2.
यदि

x = 0 पर संतत है तब m का मान होगा :
(a) 3
(b)
(c) 1
(d) 0
हल :

= 3 × 1
= 3
फलन x = 0 पर संतत है इसलिए
f(0) = f(0 + 0)
m = m
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 3.
यदि

बिन्दु x = 0 पर सतत है, तब k का मान होगा :
(a) 0
(b) m + n
(c) m – n
(d) m.n
हल :
∴ फलन x = 0 पर सतत है।

⇒ m + n = λ
⇒ λ = m + n
अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 4.
यदि

बिन्दु x = 3 पर सतत है तब λ का मान होगा :
(a) 4
(b) 3
(c) 2
(d) 1
हल :
बाय सीमा (Left hand limit)
f(3 – 0) = lim_h→0 f(3 – h)
= lim_h→0 (3 – h) + λ.
= (3 – 0) + λ
= 3 + λ
∵ x = 3 पर फलन सतत है, तब
f(3 – 0) = f(3)
3 + λ = 4
λ = 4 – 3
λ = 1
अतः विकल्प (d) सही है।

प्रश्न 5.
यदि f(x) = cot x, x =  पर असतत है, तब
(a) n ∈ Z
(b) n ∈ N
(c)  ∈z
(d) n = 0
हल :
∵ फलन x =  पर असतत है, तब

अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 6.
फलन f(x) = x |x| के उन बिन्दुओं का समुच्चय, जिन पर वह अक्कलनीय होगा :
(a) (0, ∞)
(b) (-∞,∞)
(c) (-∞, 0)
(d) (-∞, 0) ∩ (0, ∞)
हल :
दिए गए फलन को निम्न प्रकार से लिख सकते हैं,

अतः फलन x = 0 अवकलनीय है।
अतः फलन अन्तराल (- ∞, ∞) में अवकलनीय है।
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 7.
निम्न फलनों में से कौन-सा x = 0 पर अवकलनीय नहीं है:
(a) x |x|
(b) tan x
(c) e^-x
(d) x + |x|
हल :
x = 0 पर बायाँ अवकलज

x = 0 पर बायाँ अवकलज

∴ f’ (0 – 0) ≠ f’ (0 + 0)
अतः फलन (x) = x + |x|
x = 0 पर अवकलनीय नहीं है।
अतः विकल्प (d) सही है।
छात्र इसी प्रकार अन्य तीनों विकल्पों की जाँच करें।

प्रश्न 8.
फलन

के लिए f(x) का x = 2 पर बाएँ अवकलज का मान होगा
(a) -1
(b) 1
(c)-2
(d) 2
हल :
x = 2 पर बायाँ अवकलज

अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 9.
फलन f(x) = |x| अवकलनीय नहीं है
(a) प्रत्येक पूर्णाक पर
(b) प्रत्येक परिमेय संख्या पर
(c) मूल बिन्दु पर
(d) सर्वत्र
हल :
∵ [x] महत्तम पूर्णांक फलन सभी पूर्णाकों पर असतत होता है।
तथा हम जानते हैं कि प्रत्येक असतत फलन अवकलनीय नहीं होता है :
अत: विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 10.
फलन

बिन्दु x = 0 पर अवकलनीय है, तब x = 0 पर f(x) का दायाँ अवकलज का मान होगा-
(a) -1
(b) 1
(c) 0
(d) अपरिमित
हल :
x = 0 पर दायाँ अवकलज

अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 11.
फलन f(x) = | sin x | + | cos x | + |x|, ∀ x ∈ R की सततता का परीक्षण कीजिए।
हल :
माना x = c कोई स्वेच्छ वास्तविक संख्या है, तब x = c पर फलन (x) की सततता के लिए,
बार्यी सीमा (Left hand limit)
f(c – 0) = lim_h→0 f(c – h)
= lim_h→0 | sin (c – h) | + | cos (c – h) | + | (c – h) |
= | sin (c – 0) | + | cos (c – 0) | + | (c – 0) |
= | sin c | + | cos c| + | c |
= sin c + cos c + c
दाय सीमा (Right hand limit)
f(c + 0) = lim_h→0  f(c + h)
= lim_h→0 | sin (c + h)| + | cos (c + h) | + | (c – h) |
= | sin (c + 0) | + | cos (c + 0) | + | c + 0 |
= | sin c | + | cos c | + | c |
= sin c + cos c + c
x = c पर फलन का मान
f(c) = | sin c | + | cos c | + | c |
= sin c + cos c + c
∴ f(c – 0) = (c + 0) = f(c)
अतः फलन x = c पर सतत है।
अत: फलन f(x), R में सर्वत्र सतत है।

प्रश्न 12.
यदि फलन

बिन्दु x = 0 पर सतत है, तब m का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
x = 0 बायीं सीमा

प्रश्न 13.
m तथा n के मान ज्ञात कीजिए जबकि निम्न फलन सतत हो-

हल :
x = 2 पर सततता के लिए।
बार्यी सीमा (Left hand limit)
f(2 – 0) = lim_h→0 f(2 – h)
= lim_h→0 [(2 – h)² + m(2 – h) + n]
= (2 – 0)² + m(2 – 0) + n
= 4 + 2m + n
दाय सीमा (Right hand limit)
f(2 + 0) = lim_h→0 f(2 + h)
= lim_h→0 [4(2 + h) – 1]
= 4(2 + 0) – 1
= 8 – 1
= 7
x = 2 पर फलन का मान,
f(2) = 4 x 2 – 1 = 8 – 1 = 7
दिया है, x = 2 पर फलन सतत है, तब
f(2 – 0) = f(2 + 0) = f(2)
4 + 2m + n = 7 = 7
4 + 2m + n = 7
2m + n = 7 – 4
2m + n = 3
अब x = 4 पर सतता के लिए,
बार्यी सीमा (Left hand limit)
f(4 – 0) = lim_h→0 f(4 – h)
= lim_h→0 [4(4 – h) – 1]
= 4(4 – (0) – 1.
= 16 – 1
= 15
दार्थी सीमा (Right hand limit)
f(4 + 0) = lim_h→0 f(4 + a)
= lim_h→0 [m(4 + h)² + 17n]
= m(4 + 0)² + 17n
= 16 + 17n
x = 4 पर फलन का मान
f(4) = 4 x 4 – 1 = 16 – 1 = 15
दिया है, x = 4 पर फलन सतत है
f(4 – 0) = f(4 + 0) = f(4)
15 = 16m + 17n = 15
⇒ 16m + 17n = 15
समीकरण (i) से n = 3 – 2m समीकरण (ii) में रखने पर,
16m + 17(3 – 2m) = 15
16m + 51 – 34m = 15
– 18m = 15 – 51
– 18m = – 36
m = 2
m का मान समीकरण (i) में रखने पर,
2 x 2 + n = 3
n = 3 – 4
अतः m = 2, n = – 1.

प्रश्न 14.
फलन

के लिए बिन्दु. x = 0 पर सततता का परीक्षण कीजिए।
हल :
x = 0 पर सततता के लिए
बार्यी सीमा (Left hand limit)

दार्थी सीमा (Right hand limit)

x = 0 पर फलन का मान,
f(0) = 1
∴ f(0 – 0) = f(0 + 0) = f(0) = 1
अत: फलन f(x), x = 0 पर सतत है।

प्रश्न 15.
फलन

के लिए बिन्दु x = 1 तथा 3 पर सततता का परीक्षण कीजिए।
हल :
x = 1 पर सातत्यता की जाँच
बार्यी सीमा (Left hand limit)

दायीं सीमा (Right hand limit)
f(1 – 0) = lim_h→0 f(1 – h)
= lim_h→0 | 1 + h – 3 |
= | 1 + 0 – 3 |
= | – 2 |
= 2
x = 1 पर फलन का मान
f(1) = | 1 – 3 |
= | – 2 |
= 2
∴ f(1 – 0) = f(1 + 0) = f(1) = 2
अतः फलन f(x), x = 1 पर सतत है।
x = 3 पर सातत्यता की जाँच
बाय सीमा (Left hand limit)
f(3 – 0) = lim_h→0 f(3 – a)
= lim_h→0 – {(3 – h) – 3}
= lim_h→0 (3 – 3 + h)
= 0
दायीं सीमा (Right hand limit)
f(3 + 0) = lim_h→0 f(3 + h)
= lim_h→0 (3 + h – 3)
= 0
f(3) = 3 – 3 = 0
∴ f(3 – 0) = f(3 + 0) = f(0) = 0
अतः फलन f(x), x = 3 पर सतत है।

प्रश्न 16.
यदि

बिन्दु x = 0 पर सतत है, तब a, b तथा c के मान ज्ञात कीजिए।
हल :
x = 0 पर दिया गया फलन सतत है, तब
बायीं सीमा (Left hand limit)

दायीं सीमा (Right hand limit)

प्रश्न 17.
फलन f(x) =  के लिए  पर सततता की जाँच कीजिए।
हल :
 पर सतता के लिए
बायीं सीमा (Left hand limit)

दायीं सीमा (Right hand limit)


अत: फलन  पर असतत है।

प्रश्न 18.
अन्तराल [-1,2] के फलन f(x) = |x| + |x – 1| के सतत होने की जाँच कीजिए।
हल :
दिया गया फलन f(x) = | x | + | x – 1 |
दिए गए फलन को निम्न प्रकार भी लिख सकते हैं

यहाँ केवल x = 0 तथा 1 पर सततता का परीक्षण करेंगे।
x = 0 पर सततता का परीक्षण
यहाँ f(0) = 1
बायीं सीमा (Left hand limit)
f(0 – 0) = lim_h→0 f(0 – h)
= lim_h→0 1 – 2(0 – h)
= 1
दायीं सीमा (Right hand limit)
f(0 + 0) = lim_h→0 f(0 + h)
= 1
f(0) = f(0 – c) = f(0 + 0)
अतः x = 0 पर फलन f(x) सतत है।
अब x = 1 पर सततता का परीक्षण
यहाँ f(1) = 2 x 1 – 1 = 1
बायीं सीमा (1 – 0) = lim_h→0 f(1 – h)
= lim_h→0 1
दायीं सीमा f(1 + 0) = lim_h→0 f(1 + h)
= lim_h→0 2(1 + h) – 1
= 2(1 + 0) – 1
= 2 – 1
= 1
∴ f(1) = (1 – 0) = f(1 + 0)
अतः x = 1 पर फलन f(x) सतत है।
∴ फलन x = 0 तथा 1 पर सतत है।
अतः फलन f(x), अन्तराल [-1, 2] में सतत है।

प्रश्न 19.
यदि फलन

बिन्दु x = 0 पर सतत है, तब f(0) का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
∵ फलन x = 0 पर सतत है।

प्रश्न 20.
फलन

का x = 0 पर सततता का परीक्षण कीजिए।
हल :
दिया गया फलन


अर्थात् फलन की सीमा का x = 0 पर अस्तित्व नहीं है।
अतः फलन x = 0 पर सतत नहीं है।

प्रश्न 21.
फलन f(x) = sin x, x के किन मानों के लिए अवकलनीय है।
हल :
दिया गया फलन, (x) = sinx
f का प्रान्त R है अर्थात् डोमेन (f) = R
जहाँ R वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।
माना a ∈ R कोई स्वेच्छ वास्तविक संख्या है,
तब x = a पर बायाँ अवकलज


अत: sin x, a ∈ R में अवकलनीय है।
∵ a समुच्चय R का एक स्वेच्छ अवयव है।
∴ sin x, x ∈ R में अवकलनीय है।

प्रश्न 22.
फलन

की x ∈ R के लिए अवकलनीयता की जाँच कीजिए तथा f’ (0) का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
x = 0 पर बायाँ अवकलज

x = 0 पर दायाँ अवकलज

अतः फलन x = 0 पर अवकलनीय है।
∴ x ∈ R, तब फलन प्रत्येक x ∈ R के लिए अवकलनीय है तथा
f’ (0) = 0.

प्रश्न 23.
फलन

बिन्दु x = a पर अवकलनीयता का परीक्षण कीजिए।
हल :
x = a पर बायाँ अवकलज = L.H.D.


x = a पर दायाँ अवकलज = R.H.D.

अतः फलन x = a पर अवकलनीय है।

प्रश्न 24.
सिद्ध कीजिए कि फलन

बिन्दु x = 1 पर अवकलनीय नहीं है।
हल :
x = 1 पर बायाँ अवकलज (L.H.D.)

x = 1 पर दायाँ अवकलज (R.H.D.)


अतः फलन x = 1 पर अवकलनीय है।

प्रश्न 25.
फलन

की बिन्दु x = 0 अवकलनीयता की जाँच कीजिए।
हल :
x = 0 पर बायाँ अवकलज (L.H.D.)

x = 0 पर दायाँ अवकलज (R.H.D.)

अतः फलन x = 0 पर अवकलनीय है।
इति सिद्धम्।

प्रश्न 26.
सिद्ध कीजिए कि फलन

बिन्दु x = 0 पर अवकलनीय है।
हल :
x = 0 पर बायाँ अवकलज

x = 0 पर बायाँ अवकलज

अत: फलन x = 0 पर अवकलनीय नहीं है।

प्रश्न 27.
फलन f(x) = | x – 2 | + 2| x – 3 | की अन्तराल [1, 3] में अवकलनीयता की जाँच कीजिए।
हल :
दिए गए फलन को निम्न प्रकार लिख सकते हैं

यहाँ x = 2 पर अवकलनीय की जाँच करेंगे; क्योंकि
2 ∈ [1, 3]
x = 2 पर बाय सीमा (Left hand limit)

x = 2 पर दायीं सीमा (Right hand limit)

अत: फलन x = 2 पर अवकलनीय नहीं है। स्पष्ट है कि फलन अन्तराल [1, 3] में अवकलनीय नहीं है।

प्रश्न 28.
यदि फलन (x) = x³, x = 2 पर अवकलनीय है, तब f’(2) ज्ञात कीजिए।
हल :
x = 2 पर बायीं सीमा (Left hand limit)

x = 2 पर दायीं सीमा (Right hand limit)

अतः फलन x = 2 पर अवकलनीय है।
तथा f’ (2) = 12.

प्रश्न 29.
सिद्ध कीजिए कि महत्तम मान फलन f(x) = [x], बिन्दु x = 2 पर अवकलनीय नहीं है।
हल :
x = 2 पर बाय सीमा (Left hand limit)


x = 2 पर दार्थी सीमा (Right hand limit)

अत: x = 2 पर फलन अवकलनीय नहीं है।
इति सिद्धम्।

प्रश्न 30.
फलन

तब f’ (2 – 0) ज्ञात कीजिए।
हल :