Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 14 त्रि – विमीयज्यामिति Ex 14

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 14 त्रि – विमीयज्यामिति Ex 14.1

प्रश्न 1.
एक रेखा के दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए जो निर्देशाक्षों के साथ समान कोण बनाती हैं।
हल :
माना रेखा निर्देशांक्षों के साथ समान कोण θ बनाती है। अतः दिक्-कोसाइन
l = cos θ, m = cos θ, n = cos θ
परन्तु
l² + m² + n² = 1
⇒ cos² θ + cos² θ + cos² θ = 1
⇒

3 cos² θ = 1

प्रश्न 2.
दो बिन्दुओं (4, 2, 3) तथा (4, 5, 7) को मिलाने वाली सरल रेखा की दिक्-कोज्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल :
बिन्दुओं P(x1, y1, z1) तथा Q(x2, y2, z2) को मिलाने वाली रेखा के दिक्-कोसाइन

प्रश्न 3.
यदि एक रेखा के दिक्-अनुपात 2, -1, -2 हैं, तो इसकी दिक्-कोज्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है : a = 2, b = -1, c = -2
माना रेखा के दिक्-कोसाइन l, m और n हैं तो

प्रश्न 4.
एक सदिश  , X, Y तथा Z-अक्षों के साथ क्रमशः 45°, 60°, 120° के कोण बनाता है। यदि सदिश  का परिमाण 2 इकाई है तो  ज्ञात कीजिए।
हल :

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 14 त्रि – विमीयज्यामिति Ex 14.2

प्रश्न 1.
बिन्दु (5, 7, 9) से गुजरने गली उन सरल रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो निम्न अक्षों के समान्तर है :
(i) X-अक्ष
(ii) Y-अक्ष
(iii) Z-अक्ष
हल :
बिन्दु A(5, 7, 9) स्थिति सदिश

(i) X-अक्ष के समान्तर जाने वाली रेखा बिंदु B(1, 0, 0) से गुजरती है, अत: बिंदु B का स्थिति सदिश

अत: वाँछित रेखा का समीकरण समीकरण

दी गई रेखा का कार्तीय समीकरण माना xi + yj + zk है अतः

(ii) Y-अक्ष के समान्तर रेखा बिंदु (0, 1, 0) से गुजरती है। अतः बिंदु B की स्थिति सदिश

अतः वांछित रेखा का सदिश समीकरण

(iii) Z-अक्ष के समान्तर रेखा बिंदु (0, 0, 1) से गुरजती है। अत: बिंदु C का सदिश

अत: वांछित रेखा का सदिश समीकरण

प्रश्न 2.
सरल रेखा को सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो एक बिन्दु जिसका स्थिति सदिश

है, से गुजरती है तथा सदिश

के समान्तर है। इसका कार्तीय रूप में रूपान्तरण भी ज्ञात कीजिए।
हल :
दिये गये बिंदु का स्थिति सदिश

प्रश्न 3.
सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो संदेश

के समान्तर है और बिन्दु (5,-2, 4) से गुजरती है।
हल :
चूँकि रेखा बिंदु (5,-2, 4) से गुजरती है।
∴ बिंदु (5,-2, 4) का स्थिति सदिश

प्रश्न 4.
उस रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (2,-1, 1) से गुजरती है तथा रेखा

के समान्तर है।
हल :
दी गई रेखा

के समान्तर बिंदु (2, – 1, 1) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण

क्योंकि दोनों समान्तर रेखाओं के दिक्-अनुपात एक ही होते हैं।

∴ वांछित रेखा का सदिश समीकरण

प्रश्न 5.
एक रेखा का कार्तीय समीकरण

है, इसका सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल :
रेखा

बिन्दु (5, -4, 6) से होकर जाती है।

दी हुई रेखा के दिक्-अनुपात 3, 7, 2 हैं।

अतः अभीष्ट रेखा का समीकरण

प्रश्न 6.
उस रेखा का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए जो (1,2,3) से जाती है तथा

हल :
माना रेखा बिंदु (x1, y1, z1) से गुजरती है और उसके दिक्अनुपात a, b, c हैं तो रेखा का समीकरण

यहाँ पर रेखा बिंदु (1, 2, 3) से गुजरती है तथा रेखा

के समान्तर है।।
अत: रेखा के दिक्-अनुपात

से -1,7 या -2, 14, 3 होंगे।
अतः वांछित रेखा का समीकरण,

प्रश्न 7.
समान्तर चतुर्भुज ABCD के तीन शीर्षों के निर्देशांक A(4, 5, 10), B(2, 3, 4) और C(1,2,- 1) हैं। AB और BC के सदिश और कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए। D के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
हल :
माना मूलबिन्दु O है।
∴ बिन्दुओं A, B, C तथा D के स्थिति सदिश

(i) यदि भुजा AB पर कोई बिन्दु P(x, y, z) तथा इसका स्थिति सदिश  हो तब भुजा AB का सदिश समीकरण

भुजा AB के कार्तीय समीकरण के लिए,

(ii) भुजा BC के लिए,
रेखा BC बिन्दुओं B(2, 3, 4) तथा C(1, 2, – 1) से जाती है।

जो BC का सदिश समीकरण है।
भुजा BC के कार्तीय समीकरण के लिए,
माना भुजा BC पर कोई बिन्दु Q(x, y, z) है जिसका स्थिति सदिश

भुजा BC को कार्तीय समीकरण है।

(iii) बिन्दु D के निर्देशांक के लिए,
माना D के निर्देशांक (x1, y1, z1) हैं।
∵ ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जिसके विकर्ण AC तथा BD एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। अतः AC तथा BD के मध्य-बिन्दु सम्पाती होंगे।

प्रश्न 8.
एक रेखा का कार्तीय समीकरण 3x + 1 = 6y – 2 = 1 – z है। वह बिन्दु ज्ञात कीजिए जहाँ से यह गुजरती है, साथ ही इसके दिक्-अनुपात तथा सदिश समीकरण भी ज्ञात कीजिए।
हल :
दी गई रेखा का समीकरण
3x + 1 = 6y – 2 = 1 – z

प्रश्न 9.
बिन्दु (1, 2, 3) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो सदिश

के समान्तर हैं।
हल :
∵ रेखा यदि

के समान्तर है।
∴ इसने दिक् अनुपात 3, 2, – 2 होंगे।
चूँकि रेखा 1, 2, 3 से जा रही है। अतः इसका कार्तीय समीकरण

पुनः बिन्दु (1, 2, 3) से जाने वाली रेखा का सदिश समीकरण

प्रश्न 10.
बिन्दु जिसका स्थिति सदिश

है, से गुजरने व सदिश

की दिशा में जाने वाली रेखा का सदिश और कार्तीय रूपों में समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल :
बिन्दु  से गुजरने वाली रेखा का जो सदिश  की दिशा में है, समीकरण,

प्रश्न 11.
उस रेखा का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (-2, 4,-5) से जाती है और

के समान्तर हैं|
हल :
माना रेखा बिन्दु (x1, y1, z1) से गुजरती है और उसके दिक्-अनुपात a, b, c हैं, तो रेखा का समीकरण

यहाँ पर रेखा (-2, 4, 5) से जाती है तथा

के समान्तर है।
अतः रेखा के दिक्-अनुपात : 3, 5, 6.
अभीष्ट रेखा का समीकरण

प्रश्न 12.
एक रेखा का कार्तीय समीकरण

इसका सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल :
कातीय समीकरण

से प्रदर्शित रेखा का सदिश समीकरण

मान रखने पर।

प्रश्न 13.
भूल बिन्दु और (5,-2, 3) से जाने वाली रेखा का सदिश तथा कार्तीय रूपों में समीकरण ज्ञात कीजिए।
हले :
मूल बिन्दु O(0, 0, 0) का स्थिति सदिश  =  तथा बिन्दु (5, – 2, 3) का स्थिति सदिश समीकरण

∴ बिन्दुओं में  तथा  से जाने वाली रेखा को सदिश

(ii) रेखा बिन्दु O(0, 0, 0) से होकर जाती है तथा इसके दिक्-अनुपात 5, – 2, 3 हैं।
∴ रेखा का कार्तीय समीकरण

प्रश्न 14.
बिन्दुओं (3, -2, – 5) और (3, -2, 6) से गुजरने वाली रेखा का सदिश तथा कार्तीय रूपों में समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल :
माना रेखा बिन्दु A(3, -2, -5) तथा B(3, -2, 6) से जाती है। तब बिन्दु A(3, -2, -5) का स्थिति सदिश

तथा बिन्दु B(3, -2, 6) की स्थिति सदिश

(i) तब रेखा AB का सदिश समीकरण

(ii) रेखा बिन्दुओं A(3,-2,-5) तब B(3,-2, 6) से जाती है।
अतः रेखा AB का कार्तीय समीकरण

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 14 त्रि – विमीयज्यामिति Ex 14.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित रेखाओं के मध्य का कोण ज्ञात कीजिए :

और

हल :
दिया है : प्रथम रेखा

यदि रेखाओं के बीच का कोण θ हो, तो

प्रश्न 2.
निम्नलिखित रेखाओं के मध्य का कोण ज्ञात कीजिए :

हल :
रेखा

के दिक्-अनुपात 2, 2, 1 हैं और रेखा

के दिक्-अनुपात 4, 1, 8 हैं।
∴ a1 = 2, b1 = 2, c1 = 1
a2 = 4, b2 = 1, c2 = 8
यदि दो रेखाओं के बीच का कोण θ हो, तो

प्रश्न 3.
दर्शाइए कि बिन्दुओं (1,-1, 2), (3, 4,-2) से होकर जाने वाली बिंदुओं (0, 3, 2) और (3, 5, 6) से जाने वाली रेखा पर लम्ब है।
हल :
बिंदु (1,-1, 2) तथा (3,4,-2) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण

बिंदु (0, 3, 2) तथा (3, 5, 6) से जाने वाली रेखा का समीकरण

दोनों रेखाएँ परस्पर लम्ब होगी यदि

अतः रेखाएँ परस्पर लम्ब है।
इति सिद्धम्।

प्रश्न 4.
यदि रेखाएँ

और

परस्पर लंब हो तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
रेखा

के दिक्-अनुपात
l₁ = -3
m₁ = 2k
n₁ = 2
तथा

के दिक्-अनुपात
l₂ = 3k
m₂ = 1
n₂ = – 5
∵ दोनों रेखाएँ परस्पर लम्ब हैं अतः
⇒ l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂ = 0
⇒ – 3 × 3k + 2k × 1 + 2 × – 5 = 0
⇒ – 9k + 2k – 10 = 0
⇒ – 7k – 10 = 0
⇒ k = 

प्रश्न 5.
बिन्दु (1, 2, – 4) से जाने वाली और दोनों रेखाओं

और

पर लम्ब रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल :
माना अभीष्ट रेखा

यही अभीष्ट रेखा का समीकरण है।
इस रेखा का सदिश समीकरण

प्रश्न 6.
उस रेखा का कार्तीय समीकरणे ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (-2, 4,-5) से जाती है और

के समांतर है|
हल :
माना रेखा बिंदु (x₁, y₁, z₁) से गुजरती है तथा उसके दिक् अनुपात a, b, c हैं तो रेखा का समीकरण

यहाँ पर रेखा (-2, 4, -5) से जाती है और

के समान्तर है। अतः रेखा के दिक् अनुपात 3, 5, 6 है।
∴ रेखा का वांछित समीकरण

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 14 त्रि – विमीयज्यामिति Ex 14.4

प्रश्न 1.
दिखाइए कि रेखाएँ

और

परस्पर प्रतिच्छेदी हैं। उनका प्रतिच्छेद बिन्दु ज्ञात कीजिए।
हल :
माना

पर किसी बिंदु के निर्देशांक (2r₁ + 1, 3r₁ + 2, 4r + 3) हैं।
माना

पर किसी बिंदु के निर्देशांक (5r₂ + 4, 2r₂ + 1, r₂) है। दोनों रेखायें परस्पर प्रतिच्छे करती हैं। अतः दोनों बिंदु उभयनिष्ठ होंगे और संपाती होंगे।
∴ 2r₁ + 1 = 5r₂ + 4 … (1)
3r₁ + 2 = 2r₂ + 1 …(2)
4r₁ + 3 = r₂ …(3)
सपी. (1) और (2),
2r₁ – 5r₂ = 3
3r₁ – 2r₂ = – 1
हल करने पर, r₁= – 1,r₂ = – 1
∴ बिदु ( – 1, – 1, – 1)
स्पष्ट है कि दोनों रेवाएँ प्रतिच्छेद करती है और प्रतिच्छेद बिंदु ( – 1, – 1, – 1) है।

प्रश्न 2.
उर्धारित कर निम्न रेखाएँ प्रतिच्छेद है या नहीं

और

हल :
रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, अतः
(i – j) + λ(2i + k) = (2i – j) + µ(i + j – k)
(1 + 2λ)i – (1 – 0.λ)j + λk
= (2 + µ)i – (1 – µ)j – µk
तुलना करने पर,
1 + 2λ = 2 + µ …(1)
1 – 0.λ = 1 – µ …(2)
λ = – µ …(3)
हल करने पर समी. (2) से,
1 – µ = 1
⇒ µ = 0
∴ समी. (3) से, λ = 0
λ और µ के सान समी. (1) में रखने पर
1 + 2 × 0 = 2 + 0
1 ≠ 2
अतः रेखायें प्रतिच्छेदी नहीं है।

प्रश्न 3.
बिन्दु (2,3,4) से रेखा

पर डाले गये लम्ब का पाद ज्ञात कीजिए। साथ ही दिए गए बिन्दु से रेखा की लम्बवत् दूरी भी ज्ञात कीजिए।
हल :
दी गई रेखा का समीकरण

MN पर किसी बिंदु Q के निर्देशांक
Q(-2λ + 4, 6λ + 0, – 3λ + 1)
लम्ब PQ के दिक् अनुपात
a₁, b₁, c₁ = x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁
= – 2λ + 4 – 2, 6λ + 0 – 3, – 3λ + 1 – 4
= – 2λ + 2, 6λ – 3, – 3λ – 3
रेखा MN के दिक् अनुपात
a₂, b₂, c₂ = -2, 6, -3
रेखा (1) व PQ लम्ववत् है।
इसलिए
a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0
(-2λ + 2)(-2) + (6λ – 3)(6) + (-3λ – 3)(-3) = 0
4λ – 4 + 36λ – 18 + 9λ + 9 = 0
49λ = 13
λ = 
λ का मान Q में रखने पर पाद के निर्देशांक

डाले गए लम्ब की लम्बाई PQ

प्रश्न 4.
बिन्दु (2, 3, 2) से जाने वाले रेखा को सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा

के समान्तर है। इन रेखाओं के मध्य दूरी भी ज्ञात कीजिए।
हुल :
रेखा बिंदु (2,3, 2) से गुजरती है।
∴ बिंदु (2, 3, 2) का स्थिति सदिश

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 14 त्रि – विमीयज्यामिति Ex 14.5

प्रश्न 1.
रेखाओं

और

के मध्य की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
हल :

प्रश्न 2.
रेखाओं

के मध्य की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
हल :
रेखाओं

के बीच की न्यूनतम दूरी

प्रश्न 3.
रेखाएँ, जिनके सदिश समीकरण निम्नलिखित है, के मध्य की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए

और

हल :
रेखाएँओं

प्रश्न 4.
रेखाएँ, जिसकी सदिश समीकरण निम्नलिखित हैं, के मध्य की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए

और

हल :
रेखा

प्रश्न 5.
निम्न रेखाओं के मध्य लघुत्तम दूरी ज्ञात कीजिए

तथा लघुतम दूरी वाली रेखा का समीकरण भी ज्ञात कीजिए।
हल :

अतः रेखा (1) पर कोई बिंदु P(2r₁ + 1, 3r₁ – 1, r₁) तथा
रेखा (2) पर कोई बिंदु Q(3r₂ – 1, r₂ + 2, r₂ + 2)
तब रेखा PQ के दिक्-अनुपात
= 3r₂ – 2r₁ – 2, r₂ – 3r₁ + 3, 2 – r₁
PQ रेखा (1) के लम्बवत् हैं, इसलिए
a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0
2(3r₂ – 2r₁ – 2) + 3(r₂ – 3r₁ + 3) + 1(2 – r₁) = 0
9r₂ – 14r₁ = 7 …(3)
PQ रेखा (2) के लम्बवत् है।।
इसलिए a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0
3(3r₂ – 2r₁ – 2) + 1(r₂ – 3r₁ + 3) + 0(2 – r₁) = 0
10r₂ – 9r₁ – 3 = 0
समी. (3) व (4) को हल करने पर

r₁ व r₂ के ये मान बिन्दु P व Q में रखने पर

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 14 त्रि – विमीयज्यामिति Ex 14.6

प्रश्न 1.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो X-अक्ष के लम्ब है तथा बिन्दु (2, – 1, 3) से गुजरता है।
हल :
बिन्दु (2, – 1, 3) से गुजरने वाले समतल का समीकरण
a(x – 2) + b(y + 1) + c(z – 3) = 0
∵ समतल X अक्ष के लम्बवत है अर्थात्
b = 0, c = 0
अतः a(x – 2) + 0(y + 1) + 0(z – 3) = 0
⇒ a(x – 2) = 0
⇒ x – 2 = 0

प्रश्न 2.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो X-अक्ष तथा बिन्दु (3, 2, 4) से गुजरता है।
हल :
बिन्दु (3, 2, 4) से गुजरने वाले समतल का समीकरण
a(x – 3) + b(y – 2) + c(z – 4) = 0 …(1)
∵समतल X अक्ष से गजरता है अतः
a = 0, d = 0 ⇒ by + cz = 0 …(2)
समी. (1) से a = 0 अतः
⇒ b(y – 2) + c(z – 4) = 0
⇒ by – 2b + cz – 4c = 0
⇒ by + cz – 2b – 4c = 0
⇒ – 2b = c [∵ by + cz = 0 समी. (2) से]
⇒ b = – 2c
∴बिन्दु (3, 2, 4) तथा X अक्ष से गुजरने वाले से समतल का समीकरण
⇒ b(y – 2) + c(z – 4) = 0
⇒ – 2c(y – 2) + c(z – 4) = 0
⇒ – 2y + 4 + z – 4 = 0
⇒ 2y – z = 0

प्रश्न 3.
एक चर समतल बिन्दु (p, q, r) से गुजरता है तथा निर्देशी अक्षों को बिन्दु A, B तथा C पर मिलता है। प्रदर्शित कीजिए कि निर्देशांक समतलों के समान्तर A, B तथा C से गुजरने वाले समतलों के उभयनिष्ठ बिन्दु का बिन्दुपथ

हल :
माना समतल का समीकरण

समतल बिंदु (p, q, r) से गुजरता है।

पुनः समतल (1) निर्देशांक्षों से बिंदुओं A, B तथा C पर मिलता है।
∴ बिंदु A के निर्देशांक (α, 0, 0)
बिंदु B के निर्देशांक (0, β, 0)
तथा बिंदु C के निर्देशांक (0, 0, γ)
बिंदुओं A, B, C से जाने वाले और निर्देशांक्षों के समान्तर समतल का समीकरण
x = α …(3)
y = β ….(4)
z = γ …(5)
∴ प्रतिच्छेद बिंदु का बिंदुपथ समी. (2) से

इति सिद्धम्।

प्रश्न 4.
उस समतल को सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूल बिन्दु से 7 इकाई दूरी पर है तथा i इसके अभिलम्ब की तरफ इकाई सदिश है।
हल :
दिया है अभिलम्ब के अनुदिश इकाई सदिश
 = i
तथा मूल बिंदु से दूरी d = 7 इकाई
अतः समतल को सदिश समीकरण

प्रश्न 5.
उस समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूल बिन्दु से 7 इकाई दूरी पर है तथा सदिश 6i + 3j – 2k इसके अभिलम्ब है।
हल :
सदिश 6i + 3j – 2k के अनुदिश इकाई सदिश

∴ समतल का सदिश समीकरण

प्रश्न 6.
समतल के समीकरण

को अभिलम्बे रूप में परिवर्तित कर इसकी मूल बिन्दु से लम्बे दूरी ज्ञात कीजिए, प्राप्त समतल के अभिलम्ब की दिक्-कोज्याएं भी ज्ञात कीजिए।
या
समतल के समीकरण 3x – 4y + 12z = 5 को अभिलम्ब रूप में परिवर्तित कर इसकी मूल बिन्दु से लम्ब दूरी ज्ञात कीजिए, समतल के अभिलम्ब की दिक्-कोज्याएं भी ज्ञात कीजिए।
हल :
प्रथम विधि :


द्वितीय विधि :
दिये गये समीकरण 3x – 4y + 12z = 5 को निरपेक्ष पद से विभाजित करने पर समतल का अभिलम्ब रूप

माना मूल बिंदु से डाले गये लम्बे की लम्बाई p तथा अभिलम्ब की दिक् कोज्याएं (dc’s) l, m, n हैं तो समतल का समीकरण
lx + my + nz = p …(1)
इस समीकरण की तुलना 3x – 4y + 12z = 5 से करने पर

प्रश्न 7.
उस समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूल बिन्दु से 4 इकाई दूरी पर है तथा इसके अभिलम्ब के दिक्-अनुपात 2, -1, 2 हैं।
हल :
समतल के अभिलम्ब पर दिक् अनुपात 2, -1, 2 हैं। अतः कोसाइन

हूँ जहाँ

तथा d = 4 इकाई
∴ समतल का समीकरण

प्रश्न 8.
समतल के समीकरण 2x – 3y + 6z + 14 = 0 से समतल का अभिलम्ब रूप ज्ञात कीजिए।
हल :
दिये गये समतल का समीकरण
2x – 3y + 6z + 14 = 0
समतल पर अभिलम्ब के दिक्-अनुपात 2, -3, 6 हैं।
अतः अभिलम्ब के दिक्-कोसाइन

समीकरण 2x – 3y + 62 + 14 = 0 को 7 से भाग देने पर

प्रश्न 9.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जिस पर मूल बिन्दु से डाले गये लम्ब की लम्बाई 13 है तथा इस लम्ब के दिक् अनुपात 4, – 3, 12 है।
हल :
समतल पर अभिलम्ब के दिक्-अनुपात 4, – 3, 12 हैं अत: अभिलम्ब के दिक् कोसाइन

अतः समतल का समीकरण ax + by + cz = d से जहाँ d = 13 दिया है।

प्रश्न 10.
समतल x + y + z – 3 = 0 का इकाई अभिलम्ब सदिश ज्ञात कीजिए।
हल :
दिये गये समतल x + y + z – 3 = 0 के दिक्-अनुपात 1, 1, 1 हैं। अतः दिक्-कोसाइन

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 14 त्रि – विमीयज्यामिति Ex 14.7

प्रश्न 1.
निम्न समतलों के मध्य कोण ज्ञात कीजिए

हल :
(i) समतल  .(2i – j + 2k) = 6 का अभिलम्ब 2i – j + 2k के अनुदिश और समतल  .(3i + 6j – 2k) = 9 कः अभिलम्ब 3i + 6j – 2k के अनुदिश है।
∴ समतलों के बीच कोण θ अभिलम्बों के बीच के कोण के समान

(ii) समतल  .(2i + 3j – 6k) = 5 का अभिलम्ब 2i + 3j – 6k के अनुदिश और  .(i – 2j + 2k) = 9 का अभिलम्ब i – 2j + 2k के अनुदिश है। अतः

(iii) समतल  .(i + j + 2k) = 5 का अभिलम्ब i + j + 2k के अनुदिश और  .(2i – j + 2k) = 6 का अभिलम्ब 2i – j + 2k के अनुदिश है।

प्रश्न 2.
निम्न समतलों के मध्य कोण ज्ञात कीजिए
(i) x + y + 2z = 9 और 2x – y + z = 15
(ii) 2x – y + z = 4 और x + y + 2z = 3
(iii) x + y – 2z = 3 और 2x – 2y + z = 5
हल :
यदि समतल a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0 हैं तो

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि निम्न समतल परस्पर लम्बवत है
(i) x – 2y + 4z = 10 और 18x + 17y + 4z = 49
(ii)  .(2i – j + k) = 4 और  .( – i – j + k) = 3
हल :
समतल x – 2y + 4z = 10 तथा 18x + 17y + 4z = 49 में
a₁ = 1, b₁ = -2, c₁ = 4 तथा a₂, b₂ = 17, c₂ = 4
(i) समतल लम्बवत् होंगे यदि
a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0
L.H.S.= 1 x 18 + (-2) x 17 +4 x 4
= 18 – 34 + 16
= – 34 + 34
= 0
∴ L.H.S. = R.H.S.

(ii) हम जानते है कि समतल

तथा

परस्पर लम्बवत् होते है यदि

अतः लम्बवत् होने के लिये
(2i – j + k) . ( – i – j + k) = 0
⇒ 2 x – 1 + (- 1) x (-) + 1 x 1 = 0
⇒ – 2 + 1 + 1 = 0
0 = 0
L.H.S. = R.H.S.
इति सिद्धम्।

प्रश्न 4.
यदि निम्न समतल परस्पर लम्बवत हो, तो λ का मान ज्ञात कीजिए
(i)  .(2i – j + λk) = 5 और  .(3i + 2j + 2k) = 4
(ii) 2x – 4y + 3z = 5 और x + 2y + λz = 5
हल :
(i) समतल

⇒ (2i – j + λk) . (3i + 2j + 2k) = 0
⇒ 2 x 3 + (-1) x 2 + λ x 2 = 0
⇒ 6 – 2 + 2λ = 0
⇒ 4 + 2λ = 0
⇒ λ = – 2

(ii) समतल 2x – 4y + 3z = 5 तथा x + 2y + λz = 5 में
a₁ = 2, b₁ = – 4, c₁ = 3 तथा a₂ = 1, b₂ = 2, c₂ = λ,
परस्पर लम्बवत् होने पर,
a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0
⇒ 2 x 1 + (-4) x 2 + 3 x λ = 0
⇒ 2 – 8 + 3λ = 0
⇒ – 3 + λ = 0
⇒ λ = 
⇒ λ = 2

प्रश्न 5.
रेखा

और समतल 2x + y – 3z + 4 = 0 के मध्य कोण ज्ञात कीजिए।
हल :
समतल 2x + y – 3z + 4 = 0 के अभिलम्ब सदिश  = 2i + j – 3k तथा रेखा

के समान्तर सदिश

यदि समतल और सरल रेखा के बीच कोण θ हो तो

प्रश्न 6.
रेखा

और समतल 3x + 4 + z + 5 = 0 के मध्य कोण ज्ञात कीजिए।
हल :
समतल 3x + 4y + z + 5 = 0 के अभिलम्ब सदिश 3i + 4j + k तथा रेखा

के समान्तर सदिश  = 3i – j + 2k है। यदि समतल और रेखा के मध्य कोण 8 हो तो

प्रश्न 7.
रेखा

और समतल

के मध्य कोण ज्ञात कीजिए।
हल :
हम जानते है कि रेखा

प्रश्न 8.
रेखा

और समतल

के मध्य कोण ज्ञात कीजिए।
हल :
हम जानते हैं कि रेखा

तथा समतल

के मध्य कोण θ का मान

प्रश्न 9.
यदि रेखा

समतल

के समान्तर हो तो m का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
दी गई रेखा

के समान्तर सदिश

और समतल

में अभिलम्ब सदिश

है।
चूँकि दी गई रेखा, समतल के समान्तर है अतः

⇒ (2i + j + 2k).(3i – 2j + mk) = 0
⇒ 2 x 3 + 1 x – 2 x m = 0
⇒ 6 – 2 + 2m = 0
⇒ 4 + 2m = 0
⇒ m = – 2

प्रश्न 10.
यदि रेखा

समतल

के समान्तर हो तो m का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
दी गई रेखा

के समान्तर सदिश

तथा समतल

के अभिलम्ब सदिश

चूँकि दी गई रेखा समतल के समान्तर है अतः

⇒ (2i – mj – 3k).(mi + 3j + k) = 0
⇒ 2 × m + (-m) x 3 + (-3) x 1 = 0
⇒ 2m – 3m – 3 = 0
⇒ – m – 3 = 0
⇒ m = – 3

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 12 अवकल समीकरण Miscellaneous Exercise

प्रश्न 1.

का हुल है
(a) y = cot^-1x + C
(b) y = tan^-1x + C
(c) y = sin^-1x + C,
(d) y = cos^-1x + C
हल :

दोनों तरफ समाकलन करने पर,

अतः उत्तर (b) सही है।

प्रश्न 2.
समीकरण

का हल है

हल :
समीकरण

समाकलन करने पर,


अतः उत्तर (a) सही है।

प्रश्न 3.
समीकरण

का हल है
(a) log sin y + sin + C
(b) log sin x sin y = C
(c) sin y + log sin x + C
(d) sin x sin y + C
हल :
समीकरण

दोनों तरफ समाकलन करने पर,

अब उत्तर (a) सही है।

प्रश्न 4.
समीकरण

का हल है
(a) y = log (e^x + e^-x) + C
(b) y = log (e^x – e^-x) + C
(c) y = log (e^x + 1) + C
(d) y = log (1 – e^-x) + C
हल :

समाकलन करने पर,
⇒ y = log (e^x – e^-x) + C
अत: उत्तर (b) सही है।

प्रश्न 5.
समीकरण

का हल है
(a) e^y = e^x + C
(b) e^y = e^-x + C
(c) e^-y = e^-x + C
(d) e^-y = e^x + C
हल :

समाकलन करने पर,

अत: उत्तर (a) सही है।

प्रश्न 6.
समीकरण

का हल है

हल :

समाकलन करने पर,

अत: उत्तर (b) सही है।

प्रश्न 7.
समीकरण

का हल है
(a) x + tan y = C
(b) tan y = x + C
(c) sin y + x = C
(d) sin y – x = C
हल :

समाकलन करने पर,
tan y = x + C
अत: उत्तर (b) सही है।

प्रश्न 8.
समीकरण

का हल है

हल :

⇒ dy = e^y(e^x + x²)dx
⇒ e^-y dy = e^x dx + x² dx
समाकलन करने पर,

अत: उत्तर (b) सही है।

प्रश्न 9.
अवकल समीकरण

में निम्न में से किस प्रतिस्थापन द्वारा रैखिक समीकरण में परिवर्तित होगी ?

हल :
उत्तर (c) सही है।

प्रश्न 10.
अवकल समीकरण

में निम्न में से किस प्रतिस्थापन द्वारा अवकल समीकरण में परिवर्तित होगी
(a) 
(b) y^-2 = v
(c) y^-3 = v
(d) y³ = v
हल :
उत्तर (b) सही है।

प्रश्न 11.
अवकल समीकरण

का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल :

समाकलन करने पर,

यही अभीष्ट व्यापक हुल है।।

प्रश्न 12.
अवकल समीकरण

समाकलन गुणांक ज्ञात कीजिए।
हल :

P = tan x, Q = sin x
समाकलन गुणांक (I.F.) = e^{∫p dx}
= e^{∫tan x dx}
= e^{log sec x}
= sec x

प्रश्न 13.
अवकल समीकरण

का सभाकलन गुणांक ज्ञात कीजिए।
हल:

इसकी तुलना समी.  से करने पर,

समाकलन गुणांक (I.F.) = e^{∫p dx}

प्रश्न 14.
अवकल समीकरण

किस रूप की है ?
हुल :
चरों को पृथक-पृथक परिवर्तित करने वाली समीकरण के रूप की है।

प्रश्न 15.
अवकल समीकरण

किस रूप की है ?
हल :
रैखिक समीकरण।

प्रश्न 16.
अवकल समीकरण

का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल :

∴ x = X + h तथा y = Y + k

h व k इस प्रकार है कि
4h + 3k + 1 = 0
तथा 3h + 2k + 1 = 0
हल करने पर, h = – 1, k = 1
h वे k हैं के मान समी (i) में रखने पर,

यह एक समघातीय समी. है।

समी. (i) व (i) से,

समाकलन करने पर


इसमें Y = y – 1 तथा X = x + 1 रखने पर

यहीं अभीष्ट हल है।

प्रश्न 17.

हल :

समाकलन करने पर,

यही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 18.

हल :

यह समघातीय समी. है। …(1)

समाकलन करने पर

यही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 19.

हल :

यह आश्रित चर v के साथ रैखिक समी. हैं।

अतः e^y = e^x + 1 + Ce⁽_e^x) ही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 20.

हल :

माना tan y = v, तब sec²y (dy/dx) = dv/dx, समी. (1) से,
 , यह आश्रित चर v के साथ रैखिक समी. है।
यहाँ P = 2x और Q = x³