Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 13 सदिश Ex 13.

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 13 सदिश Ex 13.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित सदिशों के परिमाण का परिकलन कीजिए :

हल :
सदिश का परिमाण

सदिश का परिमाण

सदिश का परिमाण

अत: दिए गए सदिशों के परिमाण क्रमशः √3, √62 तथा 1 हैं।

प्रश्न 2.
समान परिमाण वाले दो विभिन्न सदिश लिखिए।
हल :
माना सदिश

तथा

है

अत: सदिश  तथा   परिमाण वाले दो सदिश हैं।

प्रश्न 3.
समान दिशा वाले दो विभिन्न सदिश लिखिए।
हल :
माना सदिश

अब सदिश  के दिक्-कोसाइन l1, m1, n1 हों तो

तथा यदि सदिश  के दिक्-कोसाइन l2, m2, n2 हों, तो

इस प्रकार हम देखते हैं कि सदिश के दिक्-कोसाइन समान हैं अर्थात्

या सदिश समान दिशा वाले हैं।

अतः सदिश  तथा  समान दिशा वाले दो विभिन्न सदिश हैं।

प्रश्न 4.
यदि सदिश  और  समान हों, तो और। के मान ज्ञात कीजिए।
हुल :
दो सदिश समान होते हैं यदि उनके घटक समान हों।

तब 2 = x तथा 3 = y
∴ x = 2 तथा y = 3.

प्रश्न 5.
एक सदिश का प्रारम्भिक बिन्दु (2, 1) है और अन्तिम विन्दु (-5, 7) है। इस सदिश के अदिश एवं सदिश घटक ज्ञात कीजिए।
हल :
माना सदिश के प्रारम्भिक बिन्दु तथा अंतिम बिन्दु क्रमशः A तशा B हैं।
तन A के निर्देशांक (2, 1)
तथा B के निर्देशांक (-5, 7)

∴  के अदिश घटक -7 तथा 6 हैं।
तथा  के सदिश घटक  तथा  हैं।

प्रश्न 6.
सदिश

और

का योगफल ज्ञात कीजिए।
हल :
सदिश  तथा  का यौगफल

प्रश्न 7.
सदिश

के अनुदिश एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
हल :
सदिश  के अनुदिश मात्रक सदिश


जो  के अनुदिश अभीष्ट मात्रक सदिश है।

प्रश्न 8.
सदिश  के अनुदिश मान्नक सदिश ज्ञात कीजिए जहाँ बिन्दु P और Q क्रमशः (1, 2, 3) और (4, 5, 6) हैं।
हल :
बिन्दु P तथा Q को मिलाने वाला सदिश = 

अब  के अनुदिश मात्रक सदिश

अत:  के अनुदिश मात्रक सदिश

प्रश्न 9.
दिए हुए सदिश

और

के लिए सदिश

के अनुदिश मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
हल :
दिए गए सदिश


जो कि अभीष्ट मात्रक सदिश है।

प्रश्न 10.
सदिश

के अनुदिश एक ऐसा सदिश ज्ञात कीजिए जिसका परिमाण 8 इकाई है।
हल :
माना

सदिश  के अनुदिश मात्रक सदिश

अब  के अनुदिश और 8 परिमाण वाला सदिश = 8 

प्रश्न 11.
दर्शाइए कि सदिश

और

संरेख हैं।
हल :
माना

सदिश  को सदिश  के रूप में निर्दिष्ट किया जा सकता है। अतः सदिश  तथा  सरेख हैं।

इति सिद्धम् ।

प्रश्न 12.
बिन्दुओं

और

को मिलाने वाली रेखा को 2:1 के अनुपात में

• अन्तः,
• बाह्य, विभाजित करने वाले बिन्दु R की स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए।

हल :
माना मूलबिन्दु O है, तब बिन्दुओं P, Q तथा R के स्थिति सदिश  ,  तथा  हैं।

• जब बिन्दु R, बिन्दुओं P तथा Q को मिलाने वाली रेखा को 2 : 1 के अनुपात में अन्तः विभाजित करता है, तब
  
• जब बिन्दु R बिन्दुओं P तथा Q को मिलाने वाली रेखा को 2 : 1 के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है, तब
  
  अतः बिन्दु R की स्थिति सदिश
  
  है।

प्रश्न 13.
दो बिन्दुओं P(2, 3, 4) और 2(4, 1 ,-2) को मिलाने वाले सदिश का मध्य-बिन्दु ज्ञात कीजिए।
हल :
मानी मूलबिन्दु O है। तब O के सापेक्ष बिन्दुओं P तथा Q के स्थिति सदिश क्रमशः  तथा  हैं।

अब  का मध्य-बिन्दु R हो, तब

अत: अभीष्ट मध्य-बिन्दु

है।

प्रश्न 14.
दर्शाइए कि बिन्दु A, B और C, जिनके स्थिति सदिश क्रमश :

और

हैं, एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों का निर्माण करते हैं।
हल :
माना मूलबिन्दु O है, तब
प्रश्नानुसार,


अत: ∆ABC एक समकोण त्रिभुज है।
अर्थात् बिन्दु A, B तथा C एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों का निर्माण करते हैं।
इति सिद्धम्

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 13 सदिश Ex 13.2

प्रश्न 1.
यदि दो सदिशों के परिमाण 4 और 5 इकाई हों, तो उनका अदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए जबकि उनके मध्य का कोण हों।
(i) 60°
(ii) 90°
(iii) 30°
हल :
माना दो सदिश  तथा  है तथा उनके बीच का कोण θ हो, तो

(i) जब

अतः सदिशों का अदिश गुणनफल = 10.

(ii) जब

अतः सदिशों का अदिश गुणनफल = 0

(iii) जब

अतः सदिशों का अदिश गुणनफल = 10√3

प्रश्न 2.
 का मान ज्ञात कीजिए जबकि  एवं  क्रमशः है

हल :
(i) दिया है कि

दिए गए सदिशों को हम निम्न प्रकार से भी लिख सकते है।

= (2 x 3) + {5 x (-2)} + (0 x 0)
= 6 – 10 + 0
अतः  = – 4

(ii) दिया है कि

दिए गए सदिशों के हम निम्न प्रकार से भी लिख सकते है।

(iii) दिया है कि

दिए गए सदिशों को हम निम्न प्रकार से भी लिख सकते है।

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि

हल :
यदि  = 0 अथवा है  = 0 तो असमिका

परन्तु यहाँ माना

तब हम जानते हैं कि

[सदिश  तथा सदिश  के बीच का कोण θ]


दोनों पक्षों का वर्ग करने पर।

इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
यदि दो बिन्दुओं P एवं Q के निर्देशांक क्रमशः (3, 4) एवं (12, 9) हो, तो ∠POQ का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ O मूल बिन्दु है।
हल :
बिन्दु P के निर्देशांक = (3, 4)

प्रश्न 5.
λ के किस मान के लिए सदिश  तथा  परस्पर लम्बवत् है

हल :
(i) ∵ सदिश

अतः λ = 3 के लिए दिए गए सदिश परस्पर लम्बवत् है।

(ii) ∵ सदिश

तथा सदिश

परस्पर लम्बवत् है, तब

अतः λ = 3 के लिए दिए गए सदिश परस्पर लम्बवत् है।

प्रश्न 6.
सदिश

का सदिश

पर प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।
हल :
माना

तब सदिश  को  सदिश पर प्रक्षेप

(प्रक्षेप ऋणात्मक नहीं होता इसलिए ऋण चिन्ह छोड़ने पर)
अत: सदिश

का सदिश

पर प्रक्षेप  है।

प्रश्न 7.
यदि

तथा

हो, तो एक सदिश  ज्ञात कीजिए जबकि

एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं को निरूपित करें।
हल :
दिया है :

अतः सदिश  तथा सदिश  परस्पर लम्बवत् है अर्थात् समकोण बनाते है।
अब हमें सदिश  ऐसा ज्ञात करना है जिससे  तथा  समकोण त्रिभुज की भुजाओं को निरूपित करें।
अब यदि  तथा  किसी त्रिभुज की भुजाओं के सदिश है। तो इनमें निम्न सम्बन्ध होगा।

प्रश्न 8.
यदि

तो सिद्ध कीजिए कि  तथा  परस्पर लम्ब सदिश है।
हल :
प्रश्नानुसार,

अत:  और  परस्पर लम्ब सदिश है। इति सिद्धम्

प्रश्न 9.
यदि बिन्दुओं A, B, C तथा D के निर्देशांक क्रमशः (3, 2, 4) (4, 5, -1), (6, 3, 2) तथा (2, 1, 0) हों, तो सिद्ध कीजिए कि रेखाएं  तथा  परस्पर लम्ब है।
हल :
दिया है कि बिन्दुओं A, B, C तथा D के निर्देशांक क्रमशः (3, 2, 4), (4, 5, – 1), (6, 3, 2) तथा (2, 1, 0) है।
तब भूल बिन्दु o के सापेक्ष A, B, C तथा D के स्थिति सदिश क्रमशः


यदि रेखाएँ [/latex] तथा  तथा [/latex] तथा  परस्पर लम्ब है, तो

अतः रेखाएँ [/latex] तथा  तथा [/latex] तथा  परस्पर लम्ब है। इति सिद्धम्

प्रश्न 10.
किसी सदिश  के लिए सिद्ध कीजिए कि

हल :
माना

अब a1, a2 तथा a3 के मान समीकरण (1) में रखने पर,
अतः

इति सिद्धम्

प्रश्न 11.
सदिश विधि से सिद्ध कीजिए कि समान्तर चतुर्भुज के विकर्णो के वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
हल :
माना OACB एक समान्तर चतुर्भुज है। O को मूलबिन्दु लेने पर A और B के स्थिति सदिश  और  हैं।
माना


∴ विकर्षों के वर्गों का योग = भुजाओं के वर्गों का योग।
अतः समान्तर चतुर्भुज के विकर्णो के वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
इति

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 13 सदिश Ex 13.3

प्रश्न 1.
सदिशों

तथा

का सदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए।
हल :
माना

अतः सदिशों

तथा

को सदिश गुणनफल

है।

प्रश्न 2.
सदिशों

तथा

के लम्ब इकाई सदिश ज्ञात कीजिए।
हल :
माना

अब  तथा  के लम्ब इकाई सदिश

अतः सदिशों

तथा

के लम्ब इकाई सदिश का मान

है।

प्रश्न 3.
सदिश  और  के लिए सिद्ध कीजिए कि

हल :
माना सदिशों में  तथा  के बीच का कोण θ है,

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए :

हल :
प्रश्नानुसार,

इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
यदि  इस प्रकार के इकाई सदिश हैं कि  तथा  और  के मध्य का कोण  है, तब सिद्ध कीजिए कि

हल :
दिया है :

प्रश्न 6.

का मान ज्ञात कीजिए, यदि

तथा

हल :
हम जानते हैं कि यदि  तथा  दो सदिश है तथा उनके बीच का कोण θ हो, तो

प्रश्न 7.
सदिशों

तथा

के लम्बवत् 9 इकाई परिमाण वाला सदिश ज्ञात कीजिए।

पर लम्बवत् है, वह

है।
हल :

वह सदिश जिसका परिमाण 9 है तथा जो  तथा  दोनों के लम्बवत् हैं।

प्रश्न 8.
प्रदर्शित कीजिए कि

इसकी ज्यामितीय व्याख्या भी कीजिए।
हल :
बायाँ पक्ष (L.H.S.)

ज्यामितीय व्याख्या : माना ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। माना मूलबिन्दु A के सापेक्ष बिन्दुओं B तथा D के स्थिति सदिश


भुजाएँ लेकर बनाए गए समान्तर चतुर्भुज का सदिश क्षेत्रफल = 2(समान्तर चतुर्भुज ABCD को सदिश क्षेत्रफल) इस प्रकार हम इस निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि उस समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल जिसकी आसन्न भुजाएँ एक दिए हुए समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण हैं, दिए हुए समान्तर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का दो गुना होता है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 9.
किसी भी सदिश  के लिए सिद्ध कीजिए कि .

हल :

प्रश्न 10.
यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ सदिश

तथा

से निरूपित हों, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
त्रिभुज का सदिश क्षेत्रफल

अतः त्रिभुज के क्षेत्रफल का परिमाण

अत:त्रिभुज का क्षेत्रफल =  वर्ग इकाई।

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 13 सदिश Ex 13.4

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि

हल :

प्रश्न 2.
यदि

तथा

हो तो

का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि सदिश

तथा

समतलीय है।
हल :
माना

प्रश्न 4.
λ के किस मान के लिये, निम्नलिखित सदिश समतलीय होंगे

हल :
(i) दिया है :

अतः λ = 4 के लिए दिए गए सदिश समतलीय होंगे।

(ii) दिया है :

अतः λ = 1 के लिए दिए गए सदिश समतलीय होंगे।

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित चारों बिन्दु उत्तर समतलीय है।
(i) A(-1, 4, -3), B(3, 2, -5), C(-3, 8, -5), D(-3, 2, 1)
(ii) A(0, -1, 0), B(2, 1, – 1), C(1, 1, 1), D(3, 3, 0)
हल :
(i) दिए गए बिन्दु A(-1, 4, – 3), B(3, 2, -5), C(-3, 8, -5) तथा D(-3, 2, 1) है।

यदि ये चारों बिन्दु समतलीय है तो सदिश  समतलीय होंगे। पुन: समतलीयता के प्रतिबन्ध से

अतः दिए गए चारों बिन्दु समतलीय है।

(ii) दिए गए बिन्दु A(0, – 1, 0), B(2, 1,- 1), C(1, 1, 1) तथा D(3, 3, 0) है। तब 24 = 01-3+0*

यदि ये चारों बिन्दु समतलीय है तो सदिश  समतलीय होंगे। पुनः समतलीयता के प्रतिबन्ध से,

अतः दिए गए चारों बिन्दु समतलीय है। इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि

तथा

एक समकोण त्रिभुज की सदिश भुजाएं हैं|
हल :
दी गई भुजाएँ।

अतः दी गई सदिश भुजाएँ एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ है।
इति सिद्धम्।

प्रश्न 7.
उस समान्तर षट्फलक का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी तीन संगामी कोरे निम्नलिखित सदिशों द्वारा निरूपित हैं :


हल :
(i) दिए गए समान्तर षट्फलक की भुजाएँ।

समान्तर घट्फलक का आयतन

अतः समान्तर षट्फलक का आयतन
= 30 घन मात्रक

(ii) दिए दिए समान्तर षट्फलक की भुजाएँ।

समान्तर घट्फलक का आयतन

चूँकि आयतन सदैव धनात्मक होता है।
अतः दिए गए समान्तर षट्फलक का आयतन
= 14 घन इकाई।

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 13 सदिश Ex 13.5

प्रश्न 1.

का मान ज्ञात कीजिए यदि

हल :
(i) दिया है :

हम जानते हैं कि

(ii) दिया है :

हम जानते हैं कि

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि

यदि

हल :
(i) दिया है।

(ii) दिया है :

प्रश्न 3.
सूत्र

को सत्यापन कीजिए, जबकि

हल :
(i) दिया है :

(ii) दिया है :

प्रश्न 4.
किसी सदिश  के लिए सिद्ध कीजिए कि

हल :
हम जानते हैं कि


उक्त तीनों को जोड़ने पर,

समीकरण (2) में l, m, n के उक्त मान रखने पर,

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि

हल :
L.H.S.

इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि

समतलीय हैं, यदि और केवल यदि

समतलीय हैं।
हल :
हम जानते हैं कि


अतः

समतलीय हैं, यदि और केवल यदि

समतलीय हैं।
इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि

हल :
L.H.S.

= R.H.S.
इति सिद्धम्

प्रश्न 8.
दो सदिशों में  तथा  के परिमाण क्रमशः √3 एवं 2 हैं और  है, तो  तथा  के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल :
मोना  तथा  के बीच का कोण θ है, तब

अत: सदिश  तथा  के बीच का कोण  है।

प्रश्न 9.
सदिशों

और

के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल :
माना

तथा  और  के बीच का कोण θ है,

अतः सदिशों के बीच का कोण  है।

प्रश्न 10.
सदिश  पर सदिश  का प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।
हल :
हम जानते हैं कि सदिश  का सदिश  पर प्रक्षेप

अत: सदिश  पर सदिश  का प्रक्षेप 0 है।

प्रश्न 11.
सदिश

का सदिश

पर प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।
हल :

प्रश्न 12.

का मान ज्ञात कीजिए।
हल :

प्रश्न 13.
दो सदिशों में  और  के परिमाण ज्ञात कीजिए, यदि इनके परिमाण समान हैं और इनके बीच का कोण 60° है तथा इनका अदिश गुणनफल  है।
हल :
प्रश्नानुसार,

अत: सदिशों  तथा  का परिमाण 1 है।

प्रश्न 14.
यदि एक मात्रक सदिश  के लिए

हो, तो |  | ज्ञात कीजिए।
हल :
प्रश्नानुसार,

प्रश्न 15.
यदि

इस प्रकार हैं कि  पर लम्ब है, तो λ को मान ज्ञात कीजिए।
हल :
प्रश्नानुसार,