निम्नलिखित अवकल समीकरण की कोटि एवं घात ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 1.
प्रश्न 2.
हल :
y का उच्चतम अवकलज
अत: कोटि = 2, घात = 1
प्रश्न 3.
हल :
y का उच्चतम अवकलज
अत: कोटि = 2, घात = 2
प्रश्न 4.
हल :
y का उच्चतम अवकलज
अत: कोटि = 1, घात = 4
प्रश्न 5.
हल :
y का उच्चतम अवकलज
अत: कोटि = 2, घात = 2
प्रश्न 6.
xdx + ydy = 0
हल :
xdx + ydy = 0
y का उच्चतम अवकलज
अत: कोटि = 1, घात = 1
प्रश्न 7.
हल :
y का उच्चतम अवकलज
अत: कोटि = 2, घात = 3
प्रश्न 8.
हल :
y का उच्चतम अवकलज
अत: कोटि = 1, घात = 2
प्रश्न 1.
वक्र कुल y = ax +
हल :
y = a +
समीकरण (iii) है।
समीकरण (ii) से,
समीकरण (iv) व (v) को जोड़कर (i) घटाने पर
यही अभीष्ट समीकरण है।
प्रश्न 2.
वक्र कुल x² + y² = a² के लिए अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
हुल:
x² + y² = a²
यही अभीष्ट अवकल समीकरण है।
प्रश्न 3.
वक्र कुल y = Ae3x + Be5x का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
हुल:
y = Ae3x + Be5x ….(i)
समीकरण (i) का 15 गुना करके समीकरण (ii) में जोड़ने पर,
समीकरण (iv) में से (ii) का 8 गुना घटाने पर,
यहीं अभीष्ट अवकल समीकरण है।
प्रश्न 4.
वक़ कुल y = ex(A cos x + B sin x)
हल :
y = ex(A cos x + B sin x) ……(i)
यही अभीष्ट समीकरण है।
प्रश्न 5.
वक्र कुल y = a cos (x + b), जहाँ a और b स्वेच्छा अचर है, की अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल :
y = a cos(x + b)
यही अभीष्ट समीकरण है।
प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि y² = 4a(x + 1) अवकल समीकरण
का हल है।
हल :
y² = 4a(x + 1) …(i)
प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि y = ae-2x + bex अवकल समीकरण
का हल है।
हल :
y = ae-2x + bex ….(i)
= (8ae-2x + bex) + (-4ae-2x + bex) – 2(2ae-2x + bex)
= (8ae-2x – 4ae-2x – 4ae-2x) + (bex + bex – 2bex)
= 0 + 0 = 0
= R.H.S.
इति सिद्धम्
प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि y =
हल :
समाकलन करने पर,
तुलना करने पर,
y =
इति सिद्धम्
प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि y = a cos (log x) + b sin (log x) अवकल समीकरण
का हल है।
हल :
दिया गया फलन
y = a cos (log x) + b sin (log x) …(1)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
समीकरण (2) का x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर,
अवकल समीकरण
इति सिद्धम्
प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि xy = log y + c अवकल समीकरण
का हुल है।
हल :
दिया गया फलन
xy = log y + c ……..(i)
समीकरण (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
अतः दिया गया फलन xy + log y + c,
अवकल समीकरण
इति सिद्धम्
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निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए
प्रश्न 1.
(ey + 1) cos x dx + ey sin x dy = 0
हल :
दिया गया अवकल समीकरण
(ey + 1) cos x dx + ey sin x dy = 0
दोनों पक्षों को समाकलन करने पर,
या log sin x + log(ey + 1) = log C
या log (sin x(ey + 1)) = log C
या sin (ey + l) = C
ओं अवकलन समीकरण का अभीष्ट हल है।
प्रश्न 2.
(1 + x²) dy = (1 + y²) dx
हुल :
(1 + x²) dy = (1 + y²) dx
⇒ y – x = C(1 + xy)
यही अभीष्ट व्यापक हल है।
प्रश्न 3.
(x + 1)
हल :
(x + 1)
समाकलन करने पर
log y = 2x – 2log (x + 1)+C
log y = 2[x – log (x + 1)] + C
अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
प्रश्न 4.
हल :
दोनों पक्षों को समाकलन करने पर,
जो अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
प्रश्न 5.
(sin x + cos x)dy + (cos x – sin x)dx = 0
हल :
(sin x + cos x)dy + (cos x – sin x)dx = 0
समाकलन करने पर,
⇒ y + log (cos x + sin x) = log C
⇒ log ey + log (cos x + sin x) = log C
⇒ ey + (sin x + cos x) = C
जो अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
प्रश्न 6.
हल :
y = e3x + c
जो अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
प्रश्न 7.
sec² x tan ydy + sec² y tan xdx = 0
हल :
sec² x tan ydy + sec² y tan xdx = 0
⇒ sec² x tan ydy = – sec² y tan xdx
⇒ sin y cos y dy + sin x cos x dx = 0
⇒ sin² x + sin²y = 2C1
⇒ sin² x + sin² y = C
प्रश्न 8.
हल :
(sin y + y cos y) dy = x (2 log x + 1) dx
⇒ ∫sin ydy + ∫ycos ydy = 2 ∫xlog xdx + ∫xdx
⇒ -cos y + y sin y – ∫1.sin ydy
⇒ -cos y + y sin y + cos y = x²log x – ∫xdx + ∫xdx
⇒ y sin y = x² log x + C
यहीं अभीष्ट व्यापक हल है।
प्रश्न 9.
(1 + cos x) dy = (1 – cos x) dx
हल :
(1 + cos x) dy = (1 – cos x) dx
समीकरण (1) के दोनों पक्षों को समाकलन करने पर,
यही अवकल समीकरण का व्यापक हुल है।
प्रश्न 10.
हल :
यहीं अवकल समीकरण का व्यापक हल है।
निम्नलिखित अवकलन समीकरण को हल कीजिए :
प्रश्न 1.
हल :
दी गई अवकल समीकरण
समीकरण (1) से
प्रश्न 2.
हल :
⇒ t – log (t + 1) = x + C1
⇒ (x + y + 1) – log (x + y + 1 + 1) = x + C1
⇒ y + 1 – log (x + y + 2) = C1
⇒ log (x + y + 2) = (y + 1) + C1
⇒ log (x + y + 2) = y + (C1 + 1)
⇒ elog(x+y+2) = ey+(C1+1)
⇒ x + y + 2 = ey(e(C1+1))
⇒ x + y + 2 = ey.C
जहाँ C = e(C1+1)
अत: अभीष्ट हल x + y + 2 = Cey है।
प्रश्न 3.
cos (x + y)dy = dx
हल :
माना x + y = v
यही अभीष्ट हल है।
प्रश्न 4.
हल :
माना x + y = v
∴ समाकलन करने पर,
– e– v – x = C1
x + e– (x+y) = C
(∵ v = x+y तथा C = – C1)
यही अभीष्ट हुल हैं।
प्रश्न 5.
(x + y) (dx – dy) = dx + dy
हल :
⇒ (x + y) (dx – dy) = dx + dy
⇒ (x + y)dx – (x + y)dy = dx + dy
⇒ dy + (x + y)dy = (x + y) dx – dx
⇒ [(1 + (x + y)]dy = (x + y – 1) dx
⇒ x + y + log (x + y) = 2x + 2C1
⇒ log (x + y) = 2x – x – y + 2C1
⇒ log (x + y) = x – y + 2C1
⇒ log (x + y) = x – y + C1
जहाँ C = 2C1 है।
अत: अभीष्ट हल x – y + C = log (x + y) है।
प्रश्न 6.
हल :
माना
x + y + 1 = v
यही अभीष्ट हल है।
प्रश्न 7.
हल :
दी गई अवकल समीकरण
समीकरण (1) से
∫sec² u du – ∫sec u tan u du = x + C1
tan u – sec u = x + C1 [u = x + y रखने पर]
tan (x + y) – sec (x + y) = x + C1
या x = tan (x + y) – sec (x + y) + C
जहाँ C = – C1
प्रश्न 8.
हल :
2x + (x – y)² + 2C1 = 0
2x + (x – y)² = – 2C1
अतः अभीष्ट हल 2x + (x – y)² = C है, जहाँ C = -2C1 है।
प्रश्न 9.
हल :
इसी अभ्यास का प्रश्न 3 पर देखें।
प्रश्न 10.
हल :
⇒ 2v + log (v + 2) = x + C
⇒ 2(x – y) + log (x – y + 2) = x + C
यहीं अभीष्ट हल है।
निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए :
प्रश्न 1.
x²ydx – (x3 + y3)dy = 0
हल :
x²ydx – (x3 + y3)dy = 0
जो समघातीय हैं।
∴ y = vx रखने पर,
अब समीकरण (1) तथा (2) से,
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
यही अभीष्ट हल है।
प्रश्न 2.
हल :
अतः f(x,y) शून्य घात का समघातीयफलन है।
y = vx रखने पर, …(ii)
अब समीकरण (i),(ii) तथा (iii) से,
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
यही अभीष्ट हल है।
प्रश्न 3.
हल :
यह समघात समी. है।
y = vx रखने पर
⇒ -x = – y log x + Cy
⇒ x + Cy = y logx
प्रश्न 4.
हल :
दिया हुआ अवकल समीकरण
यह
अत: F(x, y) शून्य घात का समघातीय फलन है।
इसलिए दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है। माना
समीकरण (2), (3) तथा (4) से,
समीकरण (5) के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
यह अवकल समीकरण (1) का व्यापक हुल है।
प्रश्न 5.
हल:
⇒ या f(λx, λy) = λ0(x, y)
अतः f(x, y) शुन्य घात का समघार्तीय फलन है।
∴ दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है।
समीकरण (1), (2) तथा (3) से,
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
यही अभीष्ट हल है।
प्रश्न 6.
(x² + y²) dx = 2xydy
हल :
(x² + y²) dx = 2xydy
अब समीकरण (1) तथा (2) से,
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
यही अभीष्ट हल है।
प्रश्न 7.
हल :
अत: f(x, y) शून्य घात का समधी फलन है।
∴ दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय हैं।
समीकरण (1), (2) तथा (3) से,
दोनों पक्षों को समाकलन करने पर,
अवकल समीकरण (1) का अभीष्ट हुल है।
प्रश्न 8.
(3xy + y²) dx + (x² + xy) dy = 0
हल :
(3xy + y²) dx + (x² + xy) dy = 0
यह समघात अवकल समीकरण है।
समीकरण (1) में मान रखने पर,
यह दी हुई अवकल समीकरण का अभीष्ट हुल है।
प्रश्न 9.
हल:
यह समधातीय समी. है।
y = vx रखने पर।
यहीं अभीष्ट हल है।
प्रश्न 10.
x(x – y) dy = y(x + y) dx
हल :
x(x – y) dy = y(x + y) dx
इस समीकरण को इस प्रकार भी लिख सकते है।
यह समघातीय समीकरण है।
∴ माना y = vx, तब
निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए
प्रश्न 1.
हल :
h तथा k इस प्रकार हैं कि
3h + 2k – 5 = 0 तथा 2h + 3k – 5 = 0
हल करने पर, h = 1, k = 1
समीकरण (1) में h व k के मान रखने पर,
यह एक समधातीय समीकरण है।
तब Y = vX
⇒ – 2 log X + log c = log (3V² + 4V + 3)
⇒ log {(3V² + 4V + 3)X²} – log C
⇒ x²[3(x²/x²) + 4(Y/X) + 3] = C
⇒ 2Y² + 4XY + 3X² = C
⇒ 3(y – 1)² + 4(y – 1)(x – 1) + 3(x – 1)² = C
⇒ 3x² + 3y² + 4xy – 10x – 10y + 10 = C
⇒ 3(x² + y²) + 4xy – 10(x + y – 1)=C
प्रश्न 2.
हल :
यहाँ
x – y = v रखने पर,
x + C = 2v + log (v + 2)
x + C = 2(x – y) + log (x – y + 2)
x – 2y + log (x – y + 2) = C,
यही अभीष्ट हल है।
प्रश्न 3.
(2x + y + 1) dx + (4x + 2y – 1) dy = 0
हल :
(2x + y + 1) dx + (4x + 2y – 1) dy = 0
समाकलन करने पर,
⇒ 3x + C = 2v + log (v – 1)
⇒ 3x + C = 2(2x + y) + log (2x + y – 1), [∵ v = 2x + y]
⇒ x + 2y + log (2x + y – 1) = C,
यही अभीष्ट हल है।
प्रश्न 4.
हल :
तब माना x + y = v
⇒ 1 + (dy/dx) = (dv/dx)
∴ समाकलन करने पर,
x + C = -2v – 2 log (1 – v)
या x + C + 2(x + y) + 2 log (1 – x – y) = 0 [∵ v = x + y]
या 3x + 2y + 2 log (1 – x – y) + C = 0,
यहीं अभीष्ट हल है।
प्रश्न 5.
हल :
h व k इस प्रकार हैं कि
6h – 2k – 7 = 0 तथा 2h + 3k – 6 = 0
दोनों समीकरणों को हल करने पर,
h =
h व k के मान समी. (1) में रखने पर
यह एक समघातीय समीकरण है तब Y = vX रखने पर,
⇒ 2 log X = – log (3v² + 4v – 6) + log c
⇒ log X² + log (3v² + 4v – 6) = log c
⇒ log X² (3v² + 4v – 6) = log c
⇒ X² (3V² + 4v – 6) = c
⇒ 3Y² – 4XY + 6X²
निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए
प्रश्न 1.
हुल :
समी. (i) को
P = 2, Q = 4x
I.F = e∫2dx = e2x
समी. (i) को e2x से गुणा करने पर
यही अभीष्ट हुल है।
प्रश्न 2.
हल :
दिया हुआ अवकल समीकरण
समीकरण (1) की तुलना
∴P = sec2x, Q = sec2x tan x
∴ I.F. = e∫sec²x dx = etan x
समीकरण (1) को etan x से गुणा करने पर,
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष समाकलन करने पर,
यही अभीष्ट हुल है।
प्रश्न 3.
हल :
समीकरण (1) की तुलना
समीकरण (1) को (1 + x²) से गुणा करने पर,
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष समाकलन करने पर,
यही अभीष्ट हल है।
प्रश्न 4.
हल :
यहाँ P = (2/y),
तब ∫P dy = ∫(2/y) dy = 2 log y
∴ I.F. = e∫p dy = e2 log y
= elog y2
= y2
∴ x(I.F.) = ∫{Q(I.F)}dy + C
i.e., x.y2 = ∫10y².y²dy+C, [∴ Q = 10y²]
= ∫10y4 dy + C = 10.
अतः xy2 = 2y5 + C,
यही अभीष्ट हल है।
प्रश्न 5.
हल :
समीकरण (1) की तुलना
p = cot x, Q = sin x
∴ IF = e∫cot x dx
⇒ I.F. = elog sin x = sin x
समीकरण (i) में sin x की गुणा करने पर,
यही अभीष्ट हल है।
प्रश्न 6.
हल :
समीकरण (1) की तुलना
समीकरण (i) में दोनों और
यहीं अभीष्ट हल है।
प्रश्न 7.
हल :
समीकरण (1) की तुलना
समीकरण (i) को x² से गुणा करने पर,
⇒ I = – x²cos x + 2x sin x + 2 cos x + C …(iii)
समी. (ii) व (iii) से,
x²y = -x²cos x + 2x sin x + 2 cos x + c
x²y = C + (2 – x²) cos x + 2x sin x
यह अभीष्ट हल है।
प्रश्न 8.
हल :
समीकरण (1) की तुलना
समीकरण (1) को x² से गुणा करने पर,
दोनों पक्षों का x के साक्ष समाकलन करने पर,
जो अभीष्ट हल है।
प्रश्न 9.
dx + xdy = e-y sec2y dy
हल :
dx + xdy = e-y sec2y dy
यहाँ P = 1,
तब ∫Pdy = ∫1.dy = y
∴ समाकलन गुणांक = e∫p.dy = ey
∴ x . (I.F) = ∫{Q(I.F.)} dy + C
i.e., xey = ∫e-y sec2 y.ey dy + C [∵ Q = e-y sec2y]
= ∫sec2 y dy + C = tan y + C
अत: xey = tan y + C ही अभीष्ट हल है।
प्रश्न 10.
हल
यही अभीष्ट हुल है।
निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए :
प्रश्न 1.
हल :
यह चर राशि में एक रैखिक समी. है।
यहाँ P = -2x और Q = – 2x³
v = रखने पर
y-2 = 1 + x² + cex²
प्रश्न 2.
हल :
यह चर राशि v में एक रैखिक समी. है।
यहाँ P = ex और Q = e2x
यही अभीष्ट हल है।
प्रश्न 3.
हल :
यह चर राशि v में एक रैखिक समी. है।
यहाँ P = tan x और Q = – Sec x
प्रश्न 4.
हल :
समीकरण को tan x से भाग देने पर
sin y . sin x = – et + c
sin x sin y = – esin x + c
या sin x sin y + esin x = c
प्रश्न 5.
हल :
यह चर राशि v में एक रैखिक समी है।
यहाँ P = 2x और Q = x3
x² = t और 2x dx = dt रखने पर
प्रश्न 6.
हल :
माना। 1/log y = v
– {1(logy)²} . (1/y) . (dy/dx) = dv/dx
यह चर राशि v में एक रैखिक समीकरण है।
यहाँ P = – 1/x और Q = – 1/x²
यही अभीष्ट हल है।
प्रश्न 7.
अवकल समीकरण
यदि x = 1, y = 0 का हल दीजिए।
हल :
अवकल समीकरण का हल
y.(I.F) = ∫Q(I.F.)dx + c
अब x = 1 तथा y = 0 रखने पर।
अतः अवकल समीकरण का हल
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