Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Ex 11

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Ex 11.1

प्रश्न 1.
परवलय y² = 4ax तथा उसके नाभिलम्ब से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
परवलय y² = 4ax तथा उसके नाभिलम्ब से परिबद्ध क्षेत्रफल x-अक्ष के सममित होता है।

अभीष्ट क्षेत्रफल= क्षेत्रफल AOA’ MA
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प्रश्न 2.
वृत्त x² + y² = 4 का चित्र बनाकर इसमें y-अक्ष व x = 1 के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
वृत्त x² + y² = 4 जिसका केन्द्र (0, 0) तथा त्रिज्या 2 है।
x = 1 पर y = √3
अत: अभीष्ट क्षेत्रफल

प्रश्न 3.
वक़ y = sin x तथा x-अक्ष से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जबकि 0≤x≤2π
हुल:
वक़ y = sin x तया x = 0 एवं x = 2π से घिरे क्षेत्रफल को चित्र में छायांकित किया गया है। x के विभिन्न मानों के लिए y = sin x की सारणी नीचे दी गई है।

अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षेत्र OPAO का क्षेत्रफल + क्षेत्र AQBA का शैत्रफल


= – [ – 1 – 1] + [1 – (-1)]
= – ( – 2) + (1 + 1]
= 2 + 2
= 4 वर्ग इकाई

प्रश्न 4.
वक़ y = 2√x तथा x = 0, x = 1 द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
वक्र y = 2√x ⇒ y² = 4x यह एक परवलय है। इससे तथा x = 0, x = 1 द्वारा परिबद्ध क्षेत्र चित्र में छायांकित हैं।

अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षेत्रफल APROA
= 2 x क्षेत्रफल APOA

प्रश्न 5.
y = | x |, x = -3, x = 1 ये x-अक्ष से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
y = | x |, x = – 3, x = 1
अतः y = + x तथा y = – x
इन रेखाओं का ग्राफ इस प्रकार है।

अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षेत्रफल AOLA + क्षेत्रफल POMP

प्रश्न 6.
वक़ x² = 4ay, x-अक्ष तथा रेखा x = 2 से परिंबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
वक्र x² = 4ay एक परवलय है। इसका ग्राफ इस प्रकार है।
अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षे.ABOA

प्रश्न 7.
दीर्घ वृत्त  से परिषद्ध तथा x-अक्ष से ऊपर की ओर स्थित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
दीर्घवृत्त  से परिबद्ध तथा x-अक्ष से ऊपर की ओर स्थित क्षेत्रफल चित्र में छायांकित किया गया है।

अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षे. ABCOA
= 2 x क्षे. ABOA

प्रश्न 8.
दीर्घवृत्त  का सम्पूर्ण क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
दीर्घवृत्त  का सम्पूर्ण क्षेत्रफल चित्र में छायांकित किया गया है।

अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षे. ABCDA
= 4 x क्षे. ABOA

= πab वर्ग इकाई।
(∵ क्षेत्रफल सदैव धनात्मक होता है)

प्रश्न 9.
निर्देशी अक्षों व रेखा  से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
रेखा  का ग्राफ इस प्रकार है

अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षे. ABOA

(∵ क्षेत्रफल सदैव धनात्मक होता है)

प्रश्न 10.
रेखाओं x + 2y = 8, x = 2,x = 4 तथा x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रपल ज्ञात कीजिए।
हल :
रेखा x + 2y = 8
2y = -x + 8
y = 
इस रेखा का ग्राफ इस प्रकार है।

अत: अभीष्ट क्षेत्रफल – क्षेत्रफल ABCDA

प्रश्न 11.
वक़ y = x², कोटियों x = 1, x = 2 एवं x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
परवलय x² = y, x-अक्ष से सममित है।
इसका शीर्ष मूल बिन्दु O(0, 0) है।

रेखाओं x = 1, x = 2, x-अक्ष तथा वक्र x² = y से घिरा क्षेत्रफल चित्र में अयांकित है।
अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षे, ABCDA

प्रश्न 12.
प्रथम चतुर्थाश में स्थित एवं y = 4x², x = 0, y = 1 तथा y = 4 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
y = 4x²
⇒ x² = 
यह एक परवलय का समीकरण है।

अत: x = 0, y = 1, y = 4 तथा वक्र y = 4x² से घिरा त्रर्फल चित्र में याकित है।
अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षे. ABCDA

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Ex 11.2

प्रश्न 1.
वक्रों y² = 2x तथा x² + y² = 8 के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
अभीष्ट क्षेत्रफल चित्र में झांकित किया गया है।

वृत्त का समीकरण
x² + y² = 8 ……….(1)
परवलय का समीकरण
y² = 2x …….(2)
समीकरण (1) तथा (2) को हल करने पर,
x = – 4, 2
x = -4 के लिए) का मान √-8 प्राप्त होता है जो वास्तविक नहीं है। अतः x = 2 के लिए y का मान ± 2 होगा।
बिन्दु A के निर्देशांक (2,0), C के निर्देशांक (2, 2) तथा बिन्दु B के निर्देशांक (2√2, 0) हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल = BCODB का क्षेत्रफल
= 2 x BCOAB का क्षेत्रफल
= 2[OACO का क्षेत्रफल + ABCA का क्षेत्रफल]
= 2[∫|y(परवलय के लिए)| dx + ∫|y (वृत्त के लिए)| dx]

प्रश्न 2.
परबलय 4y = 3x² का रेखा 3x – 2y + 12 = 0 के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
परवलय 4y = 3x² तथा रेखा 2y = 3x + 12 एक-दूसरे को बिन्दुओं A(-2, 3) तथा B(4, 12) पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल चित्र में छायांकित भाग हैं।

अभीष्ट क्षेत्रफल = BOAB का क्षेत्रफल ।
= ∫y ( रेखा के लिए) dx – ∫y (परवलय के लिए) dx

प्रश्न 3.
वक्र  , x = √3y ; तथा x-अक्ष के मध्य घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
वक्र  एक वृत्त है जिसका शीर्ष मूल बिन्दु है तथा त्रिज्या 2 है।
वृत्त  तथा रेखा x = √3y को हल करने पर

⇒ x² = 3(4 – x²)
⇒ x² = 12 – 3x²
⇒ x² + 3x² = 12
⇒ 4x² = 12
⇒ x² =  = 3
⇒ x = √3
अत: x का मान केवल धनात्मक लेने पर निम्न सीमा x = 0 तथा उच्च सीमा x = √3
रेखा x = √3y मूल बिन्दु तथा विन्दु (√3,1) से जाती हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल
= OQP का क्षेत्रफल + QAP का क्षेत्रफल
= ∫y(रेखा के लिए) dx + ∫y(वृत्त के लिए) dx

प्रश्न 4.
वृत्त x² + y² = 16 व रेखा y = x तथा x अक्ष के मध् यवर्ती प्रथम चतुर्थाश में स्थित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
वृत्त x² + y² = 16 का केन्द्र मूल बिन्दु तथा त्रिज्या 4 इकाई हैं।
रेखा y = x मूल बिन्दु से गुजरती है तथा वृत्ते को A बिन्दु पर काटती हैं।
तब x² + y² = 16 एवं y = x को हल करने पर
x = 2√2 प्राप्त होता है।
∴ A के निर्देशांक (2√2, 2√2), P के निर्देशांक (4, 0) तथा B के निर्देशांक (2√2, 0) हैं।

अतः अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षेत्रफल AOBA + क्षेत्रफल ABPA

= 4 + 4π – 4 – 2π
= 2π वर्ग इकाई

प्रश्न 5.
परवलयों y² = 4x तथा x² = 4y के मध्यवर्ती उभयनिष्ठ क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
दिए गए परवलयों के समीकरण
y² = 4x ……(1)
x² = 4y …(2)
को हल करने पर, इनके प्रतिच्छेद बिन्दु (0, 0) तथा (4, 4) प्राप्त होते हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षेत्र OQAPO का क्षेत्रफल
= क्षेत्र OMAPO का क्षेत्रफल – क्षेत्र OMAQO का क्षेत्रफल

प्रश्न 6.
वक्र x² + y² = 1 व x + y = 1 के मध्यवर्ती प्रथम चतुर्थाश में स्थित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
दिए वृत्त x² + y² = 1 का केन्द्र भूल विन्दु से गुजरता है तथा त्रिया 1 है। x + y = 1 सरल रेखा का समीकरण है जो कि बिन्दुओं (1, 0) एवं (0, 1) से गुरजती है।

अत: अभीष्ट क्षेत्रफल

प्रश्न 7.
वक्र y² = 4ax, रेखा y = 2a एवं y-अक्ष के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
वक्र y² = 4ax तथा रेखा y = 2a का अनुरेखण करने पर, चित्र में प्रदर्शित झयांकित भाग अभीष्ट क्षेत्रफल को प्रदर्शित करता है।

अत: अभीष्ट क्षेत्रफल

प्रश्न 8.
वृत्त x² + y² = 16 के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो परवलय y² = 6x के बाहर हो।
हल :
दिये गये वृत्त x² + y² = 16 की त्रिज्या 4 इकाई है तथा यह मूल बिन्दु से गुजरता है। माना यह परवलय y² = 6x को P व Q पर प्रतिच्छेदित करता है, तब दोनों समीकरणों को हल करने पर,
x² + 6x = 16 ( ∵ y² = 6x )
x² + 6x – 16 = 0
x + 8x – 2 – 16 = 0
(x + 8) (x – 2) = 0

अत: x = – 8, + 2
यहाँ x का धनात्मक मान ही लेंगे।
अतः सीमा 0 तथा 2 और 2 तथा 4 लेंगे।
क्षेत्रफल POQSP
= 2 x क्षेत्रफल PORSP
= 2[क्षे. PORP + क्षे. PRSP]

प्रश्न 9.
समाकलन विधि का उपयोग करते हुए एक ऐसे त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्षों के निर्देशांक A(2, 0), B(4, 5) एवं C(6, 3) हैं।
हल :
चित्र में ∆ABC को छायांकित किया गया है।
∆ABC की भुजा AB का समीकरण,

या y = – x + 4 + 5
या y = – x + 9
AC का समीकरण,

∆ABC का क्षेत्रफल = ∆APB का क्षेत्रफल + समलम्ब चतुर्भुज BPQC का क्षेत्रफल – ∆AQC का क्षेत्रफल

प्रश्न 10.
समाकलन विधि का उपयोग करते हुए ऐसे त्रिकोणीय क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये जिसकी भुजाओं के समीकरण 3x – 2y + 3 = 0, x + 2y – 7 = 0 एवं x – 2y + 1 = 0 हैं।
हल :
दी गई रेखाएँ
3x – 2y + 3 = 0 …(1)
x + 2y – 7 = 0 …(2)
तथा x – 2y + 1 = 0 …(3)
समीकरण (1) व (2) को हल करने पर,
x = 1, y = 3
समीकरण (2) व (3) को हल करने पर,
x = 3, y = 2
समीकरण (3) व (1) को हल करने पर,
x = – 1, y = 0

अब तीनों रेखाओं का ग्राफ खींचने पर,
अभीष्ट क्षेत्रफल
= क्षे. ABDCA – क्षे. CBDC

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Miscellaneous Exercise

प्रश्न 1.
वक्र y = √x तथा y = x से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल
(a) 1 वर्ग इकाई
(b)  वर्ग इकाई
(c)  वर्ग इकाई
(d)  वर्ग इकाई
हल :
वक्र y = √x एक परवलय है जिसका समीकरण y² = x तथा केन्द्र मूल बिन्दु पर है। कार y = x एक रेखा है जोकि मूल विन्दु से गुजरती है। इनका अनुरेण इस प्रकार है।

दोनों समीकरणों को हल करने पर,
x = 0, x = 1
अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षे. OABCO
= क्षे. OABDO – क्षे. OBDO


अत: विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 2.
y² = x तथा x² = y से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है :
(a)  वर्ग इकाई
(b) 1 वर्ग इकाई
(c)  वर्ग इकाई
(d) 2 वर्ग इकाई
हल :
दिए गए परवलय के समीकरण
y² = x …….(1)
x² = y …….(1)
को हल करने पर, इनके प्रतिच्छेद बिन्दु (0, 0) तथा (4, 4) प्राप्त होते हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षेत्र OQAPO का क्षेत्रफल
= क्षेत्र OMAPO का क्षेत्रफल – क्षेत्र OMAQO का क्षेत्रफल

(परवलय y² = x के लिए) (परवलय x² = y के लिए)

अत: विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 3.
परवलय x² = 4y तथा इसकी नाभिलम्ब से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है
(a)  वर्ग इकाई
(b)  वर्ग इकाई
(c)  वर्ग इकाई
(d)  वर्ग इकाई
हल :
परवलय x² = 4y का अनुरेखण इस प्रकार है :
यहाँ a = 1
अतः नाभिलम्ब y-अक्ष को (0, 1) पर प्रतिच्छेदित करता है।
अभिलम्ब के समीकरण y = 1 तथा परवलय के समीकरण x² = 4y को हल करने पर, x = ±2

अभीष्ट क्षेत्रफल = से AOCBA
= 2[क्षे. OQCBO – क्षे. OQCO]

अत: विकल्प (d) सही है।

प्रश्न 4.
y = sin x,

तथा x-अक्ष से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल हैं
(a) 1 वर्ग इकाई
(b) 2 वर्ग इकाई
(c)  वर्ग इकाई
(d) 4 वर्ग इकाई
हल :
वक्र y = sin x तथा x = π/2 एवं x = 3π/2 से धिरे क्षेत्रफल को चित्र में स्त्रयांकित किया गया है। x के विभिन्न मानों के लिए y = sin x की साराणी नीचे दी गई है।


अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षे. PABP का क्षेत्रफल + क्षे. QBCQ का क्षेत्रफल

= -( -1 – 0) + [0 – (-1)]
= +1+1
= 2 वर्ग इकाई
अत: विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 5.
y² = 2x तथा वृत्त x² + y² = 8 से परिबद्ध का क्षेत्रफल

हल :
दिए गए समीकरण परवलय y² = 2x जिसका केन्द्र (0, 0) तथा वृत्त जिसका केन्द्र (0, 0) व प्रिया 2√2 इकाई है, को प्रदर्शित करते हैं। इनका ग्राफ (अनुरेखण) इस प्रकार है तथा इनसे परिबद्ध क्षेत्र छायांकित किया गया है।

समीकरण y² = 2x तथा x² + y² = 8 को इल करने पर,
x = – 4, 2
अतः x = 2 प्रथम चतुर्थाश में लेते हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षेत्रफल OAPBO
– 2 x क्षे. OMPBO
= 2 x ( क्षेत्रफल OMBO + क्षेत्रफल PMBP)

अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 6.
परवलय y² = x तथा रेखा x + y = 2 के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
परवलय y² = x तथा x + y = 2 का अनुरेखण करने पर अभीष्ट क्षेत्रफल को अयांकित भाग चित्रानुसार प्रदर्शित करता है।

दोनों समीकरणों को हल करने पर,
(-x + 2)² = x
⇒ x² + 4 – 4x – x = 0
⇒ x² – 5x + 4 = 0
⇒ x² – 4x – x + 4 = 0
⇒ x(x – 4) – 1(x – 4) = 0
⇒ (x – 4) (x – 1) = 0
अत: x = 1, 4
x = 1 पर y = 1 तथा x = 4 पर y = -2 प्राप्त होते हैं।
अत: प्रतिच्छेदन विन्दु (-2, 4) हैं।
अत: अभीष्ट्र क्षेत्रफल

अतः अभीष्ट क्षेत्रफल =  वर्ग इकाई ।

प्रश्न 7.
प्रथम चतुर्थांश में वक़ों y² = 2ax – x² व y² = ax के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
वक़ों y² = 2ax – x² तथा y² = ax का अनुरेखण करने पर छायांकित भाग अभीष्ट क्षेत्रफल को प्रदर्शित करता है।

दोनों समीकरणों को हल करने पर,
x = 0, a
अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षे. OPMO
= क्षे. OMPQO – क्षे. POQP

(परवलय y² = 2ax – x² से) (परवलय y² = ax से)

प्रश्न 8.
परबलव y = x² तथा y = | x | के प्रयवी क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
वक्र y = x² एक परवलय है किसका शौर्ष (0, 0) तथा यह y-अक्ष के सममित है।
समीकरण y = |x| दो रेखाओं को निपत करता है।
जब x>0, तब y = x
जब x<0, तब y = – x
रेखा y = x तथा परवलय y = x² के प्रतिच्छेद बिन्दु O(0, 0) तथा A(1, 1)
रेखा y = -x तथा परवलय y = x² के प्रतिध्द विन्दु O(0, 0) तथा B(- 1, 1) हैं।
रेखाओं y = x तथा y = -x और परवयं y = x² से घिरे क्षेत्र को पत्र में छायांकित किया गया है।

अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षेत्र BLOMA का क्षेत्रफल
= 2 x OMA का क्षेत्रफल
= 2 [∆OQA का क्षेत्रफल – क्षेत्र OMAQO का क्षेत्रफल]

प्रश्न 9.
वृत्त x² + y² = 16 तथा परवलय y² = 6x के मध्यवर्ती उभयनिष्ठ क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
वृत्त x² + y² = 16 का केन्द्र मूल विन्दु तथा त्रिज्या 4 इकाई है। परवलय y² = 6x का शीर्ष मूल बिन्दु है। इन वक्रों का उभयनिष्ठ धोत्र चित्र में रेखांकित किया गया है। दोनों वक़ बिन्दुओं P तथा Q पर एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं। इन बिन्दुओं के निर्देशांकों को वक़ों के समीकरणों को हल करके प्राप्त किया जा सकता है।

वक़ के समीकरण x² + y² = 16 …(1)
y² = 6x …..(2)
समीकरण (2) से y² = 6x समीकरण (1) में रखने पर,
x² + 6x = 16
या x² + 6x – 16 = 0
या x² + 8x – 2x – 16 = 0
या (x + 8) – 2(x + 8) = 0
या (x + 8) (x – 2) = 0
या x + 8 = 0 या x – 2 = 0
x = – 8 या x = 2
जब x = – 8 तब समीकरण (2) से,
y² = 6 x (-8) = – 48
∵ y = ± √-48 जो कि वास्तविक नहीं है।
जब x = 2 तब समीकरण (2) से,
y² = 6 x 2 = 12
∴ y = ± 2√3
अतः बिन्दुओं P तथा Q के निर्देशांक क्रमशः (2,2√3) तुषा (2, – 2√3) हैं।
दोनों वक्र x-अक्ष के सममित हैं।
∴ अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षेत्र OQAPO का क्षेत्रफल
= 2 x ODAPO का क्षेत्रफल
= 2[क्षेत्र ODPO का क्षेत्रफल + क्षेत्र DAPD का क्षेत्रफल]
= 2 ∫| (y परवलय के लिए) | dx + ∫| (y वृत्त के लिए) | dx

प्रश्न 10.
वक़ x² + y² = 1 तथा x + y ≥ 1 से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
वृत्त का समीकरण x² + y² = 1 तथा रेखा x + y ≥ 1 से परिबद्ध क्षेत्र चित्र में अयांकित किया गया है।

अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षेत्रफल APBQA

प्रश्न 11.
समाकलन का उपयोग करते हुए एक ऐसे त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (-1, 0), (1, 3) एवं (3, 2) हैं।
हुन :
त्रिभुज का आलेख चित्र में प्रदर्शित है। अभीष्ट क्षेत्रफल छायांकित किया गया है।

अभीष्ट क्षेत्रफल = ∆ABC का क्षेत्रफल
= ∆ABP का क्षेत्रफल + समलम्ब चतुर्भुज BPQC का क्षेत्रफल – ∆AQC का क्षेत्रफल …(1)
रेखा (भुजा) AB का समीकरण


रेखा (भुजा) BC का समीकरण

रेखा ( भुजा) CA का समीकरण

अब ∆ABP का क्षेत्रफल = ∫(y रेखा AB के लिए) dx

समलम्ब चतुर्भुज BPQC का क्षेत्रफल
= ∫ (y रेखा BC के लिए) dx


त्रिभुज AQC का क्षेत्रफल
= ∫ (y रेखा AC के लिए) dx

अब समीकरण (1) में ∆ABP के क्षेत्रफल, समलम्ब चतुर्भुज BPAQ के क्षेत्रफल तथा ∆AQC के क्षेत्रफल के मान रखने पर,
अभीष्ट ∆ABC का क्षेत्रफल
= 3 + 5 = 4 = 4 वर्ग इकाई
∴ ∆ABC का क्षेत्रफल = 4 वर्ग इकाई।

प्रश्न 12.
रेखा y = 3x + 2, x-अक्ष एवं कोटियों x = -1 तथा x = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हुल :
रेखा y = 3x + 2, x-अक्ष तथा कोटियों x = -1 व x = 1 से घिरा क्षेत्र छायांकित करके चित्र में प्रदर्शित है।

अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षे. ACBA + क्षे. CDEC

प्रश्न 13.
y² = 2x, y = 4x – 1 व y ≥ 0 के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
परवलय y² = 2x, रेखा y = 4x – 1 तथा y ≥ 0 के मध्यवर्ती क्षेत्र को चित्र में यांकित किया गया है।

समी. y² = 2x तथा y = 4x -1 को हल करने पर
बिन्दु (0, -1) तथा (  , 1) प्राप्त होते हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षे. OABCO
= क्षे. OAMO – क्षे. NAMN

प्रश्न 14.
वक्र y² = 4x, y-अक्ष एवं रेखा y = 3 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है।
हल :
वक्र y² = 4x एक परवलय है जिसका शीर्ष मूल बिन्दु है और यह x-अक्ष के सममित है।
वक्र y² = 4x, y-अक्ष तथा रेखा y = 3 से घिरा क्षेत्र चित्र में रेखांकित भाग से दिखाया गया है जो कि AOBA है।

∴ अभीष्ट क्षेत्रफल AOBA

प्रश्न 15.
दो वृत्तों x² + y² = 4 तथा (x – 2)² + y² = 4 के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हुल :
दिए गए वृत्तों के समीकरण
x² + y² = 4 …(1)
तथा (x – 2)² + y² = 4 …(2)
समीकरण (1) से प्रदर्शित वृत्त का केन्द्र मूलबिन्दु (0, 0) तथा त्रिज्या 2 इकाई है। समीकरण (2) से प्रदर्शित वृत्त का केन्द्र (2, 0) x-अक्ष पर है तथा इसकी त्रिज्या भी 2 इकाई है। दोनों वृक्षों के मध्यवर्ती क्षेत्र को चित्र में अयांकित किया गया है।

समीकरण (1) तथा (2) को हल करने पर,
वृत्त के प्राप्त प्रतिच्छेद बिन्दु P(1,√3) तथा Q(1, -√3) हैं।
दोनों वृत्त x-अक्ष के सममित हैं।
∴ अभीष्ट क्षेत्रफल
= 2(क्षे. OPACO) = 2 [क्षे. OPCO + क्षे. CPAC]
= 2[क्षेत्र OPCO (वृत्त (x – 2)² + y² = 4 का भाग) + क्षेत्र CPAC (वृत्त x² + y² = 4 का भाग)
∴ अभीष्ट क्षेत्रफल
= 2∫y dx (वृत्त (x – 2)² + y² = 4 के लिए) + ∫y dx (वृत्त x² + y² = 4 के लिए)