योगफल की सीमा के रूप में (प्रथम सिद्धान्त सै) निम्न निश्चित समाकलों के मान ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 1.
प्रश्न 2.
हल :
परिभाषानुसार,
यहाँ a = a, b = b, nh = b – a
प्रश्न 3.
हल :
यहाँ f(x) = x² + 5x, a = 1,b = 3 nh = 3 – 1 = 2
समी. (i) में I1 व I2 का मान रखने पर,
प्रश्न 4.
हल :
यहाँ f(x) = e-x, ‘a’ = a, ‘b’ = b तथा nh = b – a
= – (e-b – e-a)
= e-a – e-b
प्रश्न 5.
हल :
यहाँ f(x) = x + 4, a = 0, b = 2
तथा nh = b – a = 2 – 0 = 2
= (2+0)+8 = 10
प्रश्न 6.
हल :
यहाँ f(x) = 2x² + 5, a = 1, b = 3
तथा nh = b – a = 3 – 1 = 2
निम्न समाकलों के मान ज्ञात कीजिए
प्रश्न 1.
हल :
माना 2x + 1 = t
2dx = dt
जय x = 1 तो t = 3
2dx = dt
जब x = 3 तौ t = 7
प्रश्न 2.
हल :
माना cosx = t
तौ -sinx dx = dt
या sinx dx = -dt
जब x = 0
तौ t = cos 0 = 1
प्रश्न 3.
हल :
माना logx = t
तौ
जब x = 1, तौ t = log 1 = 0
जब x = 3, तौ t = log 3
= sin(log 3)
प्रश्न 4.
हल :
माना √x = t
जब x = 0, तौ t = √0 = 0
जब x = 1, तौ t = √1 = 1
प्रश्न 5.
हल :
प्रश्न 6.
हल :
माना y + c = t
तो y + c = t
dy = dt
जय y = 0 तो t = 0 + c = c
जब y = c तौ t = c + c = 2c
प्रश्न 7.
हल :
प्रश्न 8.
हल :
माना 1 + logx = t
तौ
जब x = 1, तौ t = 1 + log 1 = 1
जब x = 2, तौ t = 1 + log 2
प्रश्न 9.
हल :
प्रश्न 10.
हल :
माना sinx – cosx = t
⇒ (cosx + sinx)dx = dt
⇒ 1-2 sinx cosx = t²
⇒ sin 2x = 1 – t²
प्रश्न 11.
हल :
प्रश्न 12.
हल :
प्रश्न 13.
हल :
प्रश्न 14.
हल :
माना 1 – x² = t
⇒ – 2x dx = dt
⇒ xdx =
⇒ sin 2x = 1 – t²
जब x = 0 तौ t = 1 – 0 = 1
जब x = 1 तौ t = 1 – 1 = 0
प्रश्न 15.
हल :
प्रश्न 16.
हल :
अंश व हर में cos²x से भाग देने पर
माना 2 tanx = t
⇒ 2 sec²x dx = dt
⇒ sec²x dx =
जब x = 0 तौ t = 0
प्रश्न 17.
हल :
समी (i) तथा (ii) को जोड़ने पर
प्रश्न 18.
हल :
प्रश्न 19.
हल :
जब x = 0 तौ t = 0
जब x = 1 तौ t =
= (1-0)-(0-0)
= 1
प्रश्न 20.
हल :
प्रश्न 21.
हल :
= (2 log 2 – 1 log 1) – (2 – 1)
= log 2² – 0 – 1
= log 4 – 1
= log 4 – log e
= log
प्रश्न 22.
हल :
प्रश्न 23.
हल :
माना cosx = t
तौ -sin x dx = dt
या sinx dx = -dt
जब x = 0, तौ t = 1
t = A(t + 2) + B (t + 1)
= At + 2A + Bt + B
= (A + B)t + 2A + B
तुलना करने पर,
A + B = 1, 2A + B = 0
⇒ A + (A + B) = 0
⇒ A + 1 = 0
⇒ A = – 1
⇒ – 1 + B = 1
⇒ B = 2
= [log (0 + 1) – log (1 + 1)] – 2 [log (0 + 2) – log (1 + 2)]
= log 1 – log 2 – 2 log 2 + 2 log 3
= 0 – log 2 – log 2² + log 3²
= log 9 – log 2 x 4
= log
प्रश्न 24.
हल :
माना x = 3 sin² θ
∴ dx = 3 sin² dθ
जब x = 0, तौ θ =
जब x = 0, तौ θ = 0
प्रश्न 25.
हल :
प्रश्न 26.
हल :
= [log (x +1)] – [log (x + 2)]
= [log (2 + 1) – log (1 + 1]] – [log (2 + 2) – log (1 + 2)]
= log 3 – log 2 – log 4 + log 3
= 2 log 3 – (log 2 + log 4)
= 2 log 3 – log 8
निम्नलिखित समाकलों के मान ज्ञात कीजिए
प्रश्न 1.
हल :
माना
प्रश्न 2.
हल :
माना
प्रश्न 3.
हल :
माना
= 28 + 6 + 28
= 62
प्रश्न 4.
हल :
माना
= 0 + (2 – 1) + (6 – 4)
= 0 + 1 + 2
= 3
प्रश्न 5.
हल :
माना
यहाँ f(x) = x5 cos2 x
अब f(x) = (-x)5 cos2 (-x)
= -x5 cos2 x
= -f(x)
अतः यह एक विषम फलन है।
प्रश्न 6.
हल :
माना
[∵ sin x एक विषम फलन है तथा cos x एक सम फलन हैं
∴ sin (-x) = -sin x
cos(-x) = cos x]
= -f(x)
अत: यह एक विषम फलन है।
प्रश्न 7.
हल :
माना
समी करण (i) व (ii) को जोड़ने पर
प्रश्न 8.
हल :
माना
समी करण (i) व (ii) को जोड़ने पर
प्रश्न 9.
हल :
माना
समी करण (i) व (ii) को जोड़ने पर
प्रश्न 10.
हल :
माना
प्रश्न 11.
हल :
माना
प्रश्न 12.
हल :
माना
समी करण (i) व (ii) को जोड़ने पर
प्रश्न 13.
हल :
माना
समी करण (i) व (ii) को जोड़ने पर
प्रश्न 14.
हल :
माना
प्रश्न 15.
हल :
माना
जहाँ t = tan x तथा dt = sec² dx
जब x = 0,तो t = tanθ = 0
प्रश्न 16.
हल :
माना
(i) तथा (ii) को जोड़ने
(iv) तथा (v) को जोड़ने
जब x = 0 तब t = 0, जब x =
I1 का मान समीकरण (iii) में रखने पर
प्रश्न 17.
हल :
माना
समी करण (i) व (ii) को जोड़ने पर
प्रश्न 18.
हल :
माना
(1) तथा (2) को जोड़ने पर
= π[tan π – tan 0] – π[sec π – sec 0]
= π × 0 – π(-1-1) = 2π
2I = 2π
∴ I = π
प्रश्न 19.
हल :
माना
समी (ii) व (iii) से मान समी (i) में रखने पर
प्रश्न 20.
हल :
माना
प्रश्न 21.
हल :
माना
प्रश्न 22.
हल :
माना
समी करण (i) व (ii) को जोड़ने पर
निम्नलिखित का समाकल कीजिए
प्रश्न 1.
का मान है
हल :
माना
अत: विक (d) सही है।
प्रश्न 2.
का मान है
हल :
माना
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर।
अत: विक (c) सही है।
प्रश्न 3.
का मान है
हल :
अत: विक (b) सही है।
प्रश्न 4.
यदि
हो, तो A(3) का मान होगा
(a) 9
(b) 27
(c) 3
(d) 81
हल :
= 3 x 3 = 9
अत: विकल्प (a) सही है।
प्रश्न 5.
हल :
माना
x + 3 = (A + B)x + 2A
तुलना से, A + B = 1, 2A = 3
⇒ A + B = 1, A = 3/2
B = 1 – 3/2 = – 1/2
प्रश्न 6.
हल :
माना
प्रश्न 7.
हल :
माना
= eπ/2 x 1 = 0
= eπ/2
प्रश्न 8.
हल :
प्रश्न 9.
हल :
समीकरण (i) (ii) व (iii) को जोड़ने पर।
प्रश्न 10.
हल :
माना
प्रश्न 11.
हल :
माना
प्रश्न 12.
हल :
माना
प्रश्न 13.
हल :
माना cosx ⇒ – sinx dx = dt
sinx dx = -dt
जब x = 0,तो t = 1 तथा जब x = π तो t = -1
I1 और I2 का मान समीकरण (1) में रखन पर
प्रश्न 14.
हल :
माना
माना
I = ∫t sec² t dt
I= t tan t – ∫1.tan t dt
= t tan t – log sec t + c
I = sin x tan (sin) – log sec(sin x) + c
प्रश्न 15.
हल :
माना
प्रश्न में limit 0 से 1 रखते है, तब
प्रश्न 16.
हल :
माना
प्रश्न 17.
हल :
माना
अतः के निष्कासन नियम से
(cos² x का अंश-हर में भाग देने पर)
जहाँ माना tan x = t ⇒ sec² x dx = dt
x = 0 तो t = 0, x =
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