Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 10 निश्चित समाकल

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 10 निश्चित समाकल Ex 10.1

योगफल की सीमा के रूप में (प्रथम सिद्धान्त सै) निम्न निश्चित समाकलों के मान ज्ञात कीजिए :

प्रश्न 1.

हल :

परिभाषानुसार,

यहाँ a = 3, b = 5,f (x) = x – 2, nh = 5 – 3 = 2

प्रश्न 2.

हल :

परिभाषानुसार,

यहाँ a = a, b = b, nh = b – a

प्रश्न 3.

हल :

यहाँ f(x) = x² + 5x, a = 1,b = 3 nh = 3 – 1 = 2



समी. (i) में I1 व I2 का मान रखने पर,

प्रश्न 4.

हल :
यहाँ f(x) = e^-x, ‘a’ = a, ‘b’ = b तथा nh = b – a

= – (e^-b – e^-a)
= e^-a – e^-b

प्रश्न 5.

हल :

यहाँ f(x) = x + 4, a = 0, b = 2
तथा nh = b – a = 2 – 0 = 2


= (2+0)+8 = 10

प्रश्न 6.

हल :

यहाँ f(x) = 2x² + 5, a = 1, b = 3
तथा nh = b – a = 3 – 1 = 2

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 10 निश्चित समाकल Ex 10.2

निम्न समाकलों के मान ज्ञात कीजिए

प्रश्न 1.

हल :

माना 2x + 1 = t
2dx = dt
जय x = 1 तो t = 3
2dx = dt
जब x = 3 तौ t = 7

प्रश्न 2.

हल :

माना cosx = t
तौ -sinx dx = dt
या sinx dx = -dt
जब x = 0
तौ t = cos 0 = 1

प्रश्न 3.

हल :

माना logx = t
तौ  dx = dt
जब x = 1, तौ t = log 1 = 0
जब x = 3, तौ t = log 3

= sin(log 3)

प्रश्न 4.

हल :

माना √x = t

जब x = 0, तौ t = √0 = 0
जब x = 1, तौ t = √1 = 1

प्रश्न 5.

हल :

प्रश्न 6.

हल :

माना y + c = t
तो y + c = t
dy = dt
जय y = 0 तो t = 0 + c = c
जब y = c तौ t = c + c = 2c

प्रश्न 7.

हल :

प्रश्न 8.

हल :

माना 1 + logx = t
तौ  dx = dt
जब x = 1, तौ t = 1 + log 1 = 1
जब x = 2, तौ t = 1 + log 2

प्रश्न 9.

हल :

प्रश्न 10.

हल :

माना sinx – cosx = t
⇒ (cosx + sinx)dx = dt
⇒ 1-2 sinx cosx = t²
⇒ sin 2x = 1 – t²

प्रश्न 11.

हल :

प्रश्न 12.

हल :

प्रश्न 13.

हल :

प्रश्न 14.

हल :

माना 1 – x² = t
⇒ – 2x dx = dt
⇒ xdx = 
⇒ sin 2x = 1 – t²
जब x = 0 तौ t = 1 – 0 = 1
जब x = 1 तौ t = 1 – 1 = 0

प्रश्न 15.

हल :

प्रश्न 16.

हल :

अंश व हर में cos²x से भाग देने पर

माना 2 tanx = t
⇒ 2 sec²x dx = dt
⇒ sec²x dx = 
जब x = 0 तौ t = 0

प्रश्न 17.

हल :

समी (i) तथा (ii) को जोड़ने पर

प्रश्न 18.

हल :

प्रश्न 19.

हल :

जब x = 0 तौ t = 0
जब x = 1 तौ t = 

= (1-0)-(0-0)
= 1

प्रश्न 20.

हल :

प्रश्न 21.

हल :

= (2 log 2 – 1 log 1) – (2 – 1)
= log 2² – 0 – 1
= log 4 – 1
= log 4 – log e
= log 

प्रश्न 22.

हल :

प्रश्न 23.

हल :

माना cosx = t
तौ -sin x dx = dt
या sinx dx = -dt
जब x = 0, तौ t = 1


t = A(t + 2) + B (t + 1)
= At + 2A + Bt + B
= (A + B)t + 2A + B
तुलना करने पर,
A + B = 1, 2A + B = 0
⇒ A + (A + B) = 0
⇒ A + 1 = 0
⇒ A = – 1
⇒ – 1 + B = 1
⇒ B = 2

= [log (0 + 1) – log (1 + 1)] – 2 [log (0 + 2) – log (1 + 2)]
= log 1 – log 2 – 2 log 2 + 2 log 3
= 0 – log 2 – log 2² + log 3²
= log 9 – log 2 x 4
= log 

प्रश्न 24.

हल :

माना x = 3 sin² θ
∴ dx = 3 sin² dθ
जब x = 0, तौ θ = 
जब x = 0, तौ θ = 0

प्रश्न 25.

हल :

प्रश्न 26.

हल :

= [log (x +1)] – [log (x + 2)]
= [log (2 + 1) – log (1 + 1]] – [log (2 + 2) – log (1 + 2)]
= log 3 – log 2 – log 4 + log 3
= 2 log 3 – (log 2 + log 4)
= 2 log 3 – log 8

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 10 निश्चित समाकल Ex 10.3

निम्नलिखित समाकलों के मान ज्ञात कीजिए

प्रश्न 1.

हल :
माना

प्रश्न 2.

हल :
माना

प्रश्न 3.

हल :
माना

= 28 + 6 + 28
= 62

प्रश्न 4.

हल :
माना

= 0 + (2 – 1) + (6 – 4)
= 0 + 1 + 2
= 3

प्रश्न 5.

हल :
माना

यहाँ f(x) = x⁵ cos² x
अब f(x) = (-x)⁵ cos² (-x)
= -x⁵ cos² x
= -f(x)
अतः यह एक विषम फलन है।

प्रश्न 6.

हल :
माना


[∵ sin x एक विषम फलन है तथा cos x एक सम फलन हैं
∴ sin (-x) = -sin x
cos(-x) = cos x]
= -f(x)
अत: यह एक विषम फलन है।

प्रश्न 7.

हल :
माना

समी करण (i) व (ii) को जोड़ने पर

प्रश्न 8.

हल :
माना

समी करण (i) व (ii) को जोड़ने पर

प्रश्न 9.

हल :
माना

समी करण (i) व (ii) को जोड़ने पर

प्रश्न 10.

हल :
माना

प्रश्न 11.

हल :
माना

प्रश्न 12.

हल :
माना


समी करण (i) व (ii) को जोड़ने पर

प्रश्न 13.

हल :
माना

समी करण (i) व (ii) को जोड़ने पर

प्रश्न 14.

हल :
माना

प्रश्न 15.

हल :
माना

जहाँ t = tan x तथा dt = sec² dx
जब x = 0,तो t = tanθ = 0

प्रश्न 16.

हल :
माना

(i) तथा (ii) को जोड़ने

(iv) तथा (v) को जोड़ने


जब x = 0 तब t = 0, जब x =  तब t = π

I1 का मान समीकरण (iii) में रखने पर

प्रश्न 17.

हल :
माना

समी करण (i) व (ii) को जोड़ने पर

प्रश्न 18.

हल :
माना

(1) तथा (2) को जोड़ने पर

= π[tan π – tan 0] – π[sec π – sec 0]
= π × 0 – π(-1-1) = 2π
2I = 2π
∴ I = π

प्रश्न 19.

हल :
माना


समी (ii) व (iii) से मान समी (i) में रखने पर

प्रश्न 20.

हल :
माना

प्रश्न 21.

हल :
माना

प्रश्न 22.

हल :
माना

समी करण (i) व (ii) को जोड़ने पर

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 10 निश्चित समाकल Miscellaneous Exercise

निम्नलिखित का समाकल कीजिए

प्रश्न 1.

का मान है

हल :
माना

अत: विक (d) सही है।

प्रश्न 2.

का मान है

हल :
माना

समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर।


अत: विक (c) सही है।

प्रश्न 3.

का मान है

हल :
अत: विक (b) सही है।

प्रश्न 4.
यदि

हो, तो A(3) का मान होगा
(a) 9
(b) 27
(c) 3
(d) 81
हल :

= 3 x 3 = 9
अत: विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 5.

हल :
माना

x + 3 = (A + B)x + 2A
तुलना से, A + B = 1, 2A = 3
⇒ A + B = 1, A = 3/2
B = 1 – 3/2 = – 1/2

प्रश्न 6.

हल :
माना

प्रश्न 7.

हल :
माना

= e^π/2 x 1 = 0
= e^π/2

प्रश्न 8.

हल :

प्रश्न 9.

हल :

समीकरण (i) (ii) व (iii) को जोड़ने पर।

प्रश्न 10.

हल :
माना

प्रश्न 11.

हल :
माना

प्रश्न 12.

हल :
माना

प्रश्न 13.

हल :

  एक विषम फलन है    और एक सम फलन है।

माना cosx ⇒ – sinx dx = dt
sinx dx = -dt
जब x = 0,तो t = 1 तथा जब x = π तो t = -1

I1 और I2 का मान समीकरण (1) में रखन पर

प्रश्न 14.

हल :
माना

माना

I = ∫t sec² t dt
I= t tan t – ∫1.tan t dt
= t tan t – log sec t + c
I = sin x tan (sin) – log sec(sin x) + c

प्रश्न 15.

हल :
माना


प्रश्न में limit 0 से 1 रखते है, तब

प्रश्न 16.

हल :
माना

प्रश्न 17.

हल :
माना

अतः के निष्कासन नियम से

(cos² x का अंश-हर में भाग देने पर)
जहाँ माना tan x = t ⇒ sec² x dx = dt
x = 0 तो t = 0, x =  तो t = ∞