Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 4 सारणिक

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 4.1सारणिक

प्रश्न 1.
k के किस मान के लिए सारणिक

शून्य होगा ?
हल :

– 3k – 8 = 0 ⇒ – 3k = 8 ⇒ k =
अत: k = के लिए सारणिक का मान शून्य होगा।

प्रश्न 2.
यदि

हो, तो x:y ज्ञात कीजिए।
हल :
हल :

(4 × x) – (2 × y) = 0
4x – 2y = 0
⇒ 4x = 2y

अत: x:y = 1:2

प्रश्न 3.
यदि

तथा

के मान ज्ञात कीजिए।
हल :

2 × x – 3 × y = 4
2x – 3y = 4 ….(i)

प्रश्न 4.
यदि

हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
हल :

(x – 1) (x – 3) – (x – 2) = 0
x² – 3x – x + 3 – x² + 2x= 0
– 2x + 3 == 0
– 2x = – 3
अतः x = 3/2

प्रश्न 5.
निम्न सारणिकों में प्रथम स्तम्भ के अवयवों की उपसारणिक एवं सहखण्डज लिखकर उसका मान भी ज्ञात कीजिए—

हल :

प्रश्न 6.
सारणिक

का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ द्वितीय पंक्ति में दो शून्य हैं; अत: द्वितीय पंक्ति के सापेक्ष प्रसार करने पर,

= – 5 (0 – 3)
= – 5 × (-3)
= 15

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए

हल :
प्रथम पंक्ति के सापेक्ष प्रसार करने पर,

= 1 + c² + a² – abc + abc + b²
= 1 + a² + b² + c²
= R H.S.
इति सिद्धम्

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 4 . 2

प्रश्न 1.
यदि

हो, तो l : m ज्ञात कीजिए।
हल :

प्रसार करने पर,
l × 3 – 2 × m = 0
3l – 2m = 0
3l = 2m

अतः l : m = 2 : 3

प्रश्न 2.
सारणिक

के द्वितीय पंक्ति के अवयवों की उपसारणिक ज्ञात कीजिए।
हल :
दी गई सारणिक,

प्रश्न 3.
सारणिक

का मान ज्ञात कीजिए।
हल :

प्रश्न 4.
यदि किसी सारणिक के प्रथम व तृतीय स्तम्भों को आपस में बदल दिया जाए तो सारणिक के मान पर क्या प्रभाव पड़ेगा ? लिखिए।
हल :
सारणिक के मान का चिह्न बदल जाएगा।

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि

हल :
L.H.S. =

R2 → R2 – R1 तथा R3 → R3 – R1 से,

R2 व R3 से (x – y) तथा (z – x) उभयनिष्ठ लेने पर,

= (x – y) (z – x) [1(-z + y)]
= (x – y) (z – y) (y – z)
= (x – y) (y – z) (z – x)
= R.H.S.
इति सिद्धम्।

प्रश्न 6.
सारणिक

का मान ज्ञात कीजिए।
हल :

C1 से a², C2 से b² तथा C3 से c² उभयनिष्ठ लेने पर,

= a²b²c²{- a(0 – bc) + a(bc – 0)}
=a²b²c²(+ abc + abc)
= a²b²c² (2abc)
= 2a³b³c³

प्रश्न 7.
निम्न समीकरण को हल कीजिए

हल :
L.H.S.


⇒ 1(- 145 + 143) – 1(-58 + 13x + 104) + 2(- 22 – 5x + 40) = 0
⇒ – 2 + 13x – 46 – 10x + 36 = 0
⇒ 3x – 12 = 0
⇒ x =  = 4.

प्रश्न 8.
बिना विस्तार के सिद्ध कीजिए कि

हल :
माना


इति सिद्धम्।।

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि

हल :


C1 के सापेक्ष विस्तार करने पर,
= (a + b + c) [0 – 0 + 1{(a – c) (b – c) – (a – b) (b – a)}]
= (a + b + c) {(ab – ca – bc + c²) – (ab – a – b² + ab)}
= (a + b + c) (ab – ca – bc + c² – ab + a² + b² – ab)
= (a + b + c) (a² + b² + c² – ab – bc – ca)
= a³ + b³ + c³ – 3abc
= R.H.S.
इति सिद्धम्।।

प्रश्न 10.
सारणिक

का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
सारणिक =

C3 → C2 – 4C1 तथा C3 → C3 – 9C1 से,

= (392 – 400) – 0 + 0
= – 8

प्रश्न 11.
यदि ω इकाई का घनमूल हो, तो सारणिक

का मान ज्ञात कीजिए।
हल :

R1 के सापेक्ष विस्तार करने पर,
= 1(1 – ω²) – 1(1 – ω³) + ω²(ω – ω²)
= 1 – ω² – 1 + ω³ + ω³ – ω⁴
= 1 – ω² – 1 + 1 + 1 – ω³.ω (∵ ω³ = 1)
= 3 – ω² – 1 – ω (∵ ω³ = 1)
= 3 – (1 + ω + ω²)
= 3 – 0 = 3 (∵ 1 + ω + ω² = 0)

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए कि

हल :


R1 के सापेक्ष विस्तार करने पर,
= 2abc² [0 – 1{ac – b(a – c)} + 1{a(b + c) – ( – c) (b)]
= 2abc² [- ac + ba – bc + ab + ac + bc]
= 2abc² (2ab)
= 4a²b²c²
= R.H.S.
इति सिद्धम्।

प्रश्न 13.
यदि सारणिक

में A1, B1,C1, … आदि क्रमशः अवयव a1,b1,c1,… आदि के सहखण्ड हों, तो सिद्ध कीजिए कि

हल :
दिया है :

इति सिद्धम्।

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 4 विविध

प्रश्न 1.
सारणिक

का मान है
(a) 0
(b) 1
(c) -1
(d) इनमें से कोई नहीं
हल :
(b)

= cos 80° sin 10° – (- cos 10°) sin 80°
= cos 80° sin 10° + cos 10° sin 80°
= sin (10° + 80°)
= sin 90°
= 1

प्रश्न 2.
सारणिक

के प्रथम स्तम्भ के सहखण्ड हैं
(a) – 1, 3
(b) – 1, – 3
(c) – 1, 20
(d) – 1, – 20
हल :
(a)

a₁₁ का सहखण्ड F₁₁ = (-1)² M₁₁
= 1 x (-1) = -1
a₁₂ का सहखण्ड F₂₁ = (-1) M₂₁
= (-1) x 20 = – 20
अतः सारणिक के प्रथम स्तम्भ के सहखण्ड -1, -20 हैं।

प्रश्न 3.
यदि

हो, तो सारणिक

का मान होगा-
(a) – 2∆
(b) 8∆
(c) – 8∆
(d) – 6∆
हल :
(c)

प्रथम, द्वितीय तथा तृतीय पंक्ति से – 2 उभयनिष्ठ लेने पर

प्रश्न 4.
निम्न में से कौन-सा सारणिक, सारणिक

के समान है

हल :

प्रश्न 5.
सारणिक

का मान है
(a) 0
(b) 1
(c) 1/2
(d) – 1/2
हल :
(c)

= cos 50°.cos 10° – sin 50° sin 10°
= cos (50° + 10°)
= cos 60°
= 

प्रश्न 6.
सारणिक

का मान है
(a) ab + bc + ca
(b) 0
(c) 1.
(d) abc
हल :
(b)


= (ab + bc + ca) x 0 (∵ C1 = C3)
= 0

प्रश्न 7.
यदि ω इकाई का एक घनमूल हो, तो सारणिक

का मान है
(a) ω²
(b) ω
(c) 1
(d) 0
हल :
(d)

प्रश्न 8.
यदि

हो तो x का मान है
(a) 6
(c) 8
(b) 7
(d) 0
हल :
(a)

⇒ (4 – 2)² = (3x – 2) – (x + 6)
⇒ (2)² = 3x – 2 – x – 6
⇒ 4 = 2x – 8
⇒ 4 + 8 = 2x
अत: x = 6

प्रश्न 9.
यदि

तथा a₁₁, a₁₂, a₁₃, … के संगत सहखण्ड क्रमशः F₁₁, F₁₂, F₁₃, … हों, तो सत्य कथन है-
(a) a₁₂F₁₂ + a₂₂F₂₂ + a₃₂F₃₂ = 0
(b) a₁₂F₁₂ + a₂₂F₂₂ + a₃₂F₃₂ ≠ ∆
(c) a₁₂F₁₂ + a₂₂F₂₂ + a₃₂F₃₂ = – ∆
(d) a₁₂F₁₂ + a₂₂F₂₂ + a₃₂F₃₂ = – ∆
हल :
(c) a₁₂F₁₂ + a₂₂F₂₂ + a₃₂F₃₂ = ∆

प्रश्न 10.
सारणिक

का मान है
(a) x + y + z
(b) 2(x + y + z)
(c) 1
(d) 0
हल : (d)

R1 → R1 + R2 तथा R3 से 2 उभयनिष्ठ लेने पर,

R1 से (x + y + z) उभयनिष्ठ लेने पर,

∵ R1 तथा R3 सर्वसम हैं; अत: सारणिक का मान शून्य होगा।

प्रश्न 11.
निम्न सारणिक को हल कीजिए

हल :

R1 के सापेक्ष प्रसार करने पर,
⇒ = 1(9x – 48) – 2(36 – 42) + 3(32 – 7x) = 0
⇒ 9x – 48 + 12 + 96 – 21x = 0
⇒ – 12x + 60 = 0
⇒ – 12x = – 60
x = 
अतः x = 5.

प्रश्न 12.
सारणिक

का मान ज्ञात कीजिए।
हल :

R1 के सापेक्ष प्रसार करने पर,
= 1(27 – 1) – 3(9 – 9) + 9(3 – 81)
= 26 – 0 – 702
= – 676

प्रश्न 13.
सारणिक

का मान ज्ञात कीजिए।
हल :

= 1[(1 + c) + (a + b)] – 0 + 0
= 1 + c + a + b
= 1 + a + b + c.

प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए कि

हल :
L.H.S.

C1, C2, व C3 से क्रमशः a, b तथा c उभयनिष्ठ लेने पर,

R1, R2, तथा R3, से क्रमशः a, b तथा c उभयनिष्ठ लेने पर,

C1 से (3 – 1) उभयनिष्ठ लेने पर,
= a²b²c² – 1(1 – 1) – 1(-1 – 1) + 1(1 + 1)]
= a²b²c (0 + 2 + 2)
= 4a²b²c²
= R.H.S.
इति सिद्धम्।

प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिए कि निम्न समीकरण का एक मूल x = 2 है तथा इसके शेष मूल भी ज्ञात कीजिए–

हल :
L.H.S.

समीकरण का मूल x = 2 सारणिक में रखने पर,

∵ R1 = R2
∴ सारणिक का मान शून्य होगा।
∴ स्पष्ट है कि x = 2 दिए समीकरण का एक मूल है।


C के सापेक्ष प्रसार करने पर,
(x – 1) [(- 3x + 6) (x + 3) – (2x + 6) (x – 2)] = 0
(x – 1) [-3(x – 2) (x + 3) – 2(x + 3) (x – 2)] = 0
– 5(x – 1) (x – 2) (x + 3) = 0
x = 1, 2, – 3
अत: समीकरण के शेष मूल 1,-3 हैं।

प्रश्न 16.
सिद्ध कीजिए

हल :

C1 → C1 + C2 से,
= (a + b) (b + c)
C2, के सापेक्ष प्रसार करने पर
= (a + b) (b + c) [-2 {(-1) (a + b + c) + b}]
= 2(a + b) (b + c) (c + a) = R.H.S.
इति सिद्धम्।

प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए कि

हल :

R1 के सापेक्ष विस्तार करने पर,
= (a + b + c) [( – b – c – a) ( – c – a – b) – 0]
= (a + b + c) (b + c + a) (c + a + b)
= (a + b + c)³
= R.H.S.
इति सिद्धम्।

प्रश्न 18.
सिद्ध कीजिए कि

हल :

C1 के सापेक्ष विस्तार करने पर,
= (x + y + z) [0 – 0 + (x – z) (x – z)]
= (x + y + z) (x – z)² = R.H.S.
इति सिद्धम्।

प्रश्न 19.
सिद्ध कीजिए कि

हल :


R1 के सापेक्ष प्रसार करने पर,
= (a – b) (b – c) [(b² + c² + bc) – (a² + b² + ab)]
= (a – b) (b – c) (b² + c² + bc – a² – b² – ab)
= (a – b) (b – c) [bc + c² – a² – ab]
= (a – b) (b – c) [bc – ab + c² – a²]
= (a – b) (b – c) [b(c – a) + (c² – a²)]
= (a – b) (b – c) (c – a) (b + c + a)
= R.H.S.
इति सिद्धम्।

प्रश्न 20.
सिद्ध कीजिए कि

हल :


= 4abc
= RHS
इति सिद्धम्।

प्रश्न 21.
यदि a + b + c = 0 हो, तो निम्न समीकरण को हल कीजिए

हल :
समीकरण

R1, के सापेक्ष विस्तार करने पर,
(-x) [(c – a) (a – c + x) – (b – c + x) (b – x – a)] = 0 la- * c b |
(-x) [(ac – c² + cx – a² + ac – ax) – (b² – bx – ab – bc + cx + ac – xb – x² – ax)]
(-x) [x² – (a² + b² – ab – bc – bc – ca)]= 0
यदि – x = 0, तो x = 0
अब यदि x² – (a² + b² + c² + c² – ab – ca) = 0

प्रश्न 22.
सिद्ध कीजिए कि

हल :


अब C के सापेक्ष प्रसार करने पर,
= 3(a + b) [2b² + b²]
= 3(a + b) x 3b²
= 9(a + b)b²
= RH.S.
इति सिद्धम्।

प्रश्न 23.
यदि p + q + r = 0 हो, तो सिद्ध कीजिए कि

हल :

= pa(qra² – p²bc) – qb(q²ca – prb²) + rc(pqc² – r²ab)
= pqra³ – p³abc – q³abc + pqrb³ + pqrc³ – r³abc
= a³pqr – p³abc – q³abc + b³pqr + c³pqr – r³abc
= pqr(a³ + b³ + c³) – abc(p³ + q³ + r³)
= pqr(a³ + b³ + c³) – abc(3pqr)
(∵ p + q+ r = 0 ⇒ p³ + q³ + r³ = 3pqr)
= pqr[a³ + b³ + c³ – 3abc] …(i)

= pqr[a(a² – bc) – b(ca – b²) + c(c² – ab)]
= pqr[a – abc – abc + b³ + c³ – abc]
= pqr[a³ + b³ + c³ – 3abc]
समीकरण (i) व (i) से,

इति सिद्धम्।

प्रश्न 24.
सिद्ध कीजिए कि ।

हल :

R1 के सापेक्ष प्रसार करने पर,
= (5x + 4) [(x – 4)² – 0]
= (5x + 4) (x – 4)²
= R.H.S.
इति सिद्धम्।।