Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter आव्यूह

Ex. 3.1

प्रश्न 1.
यदि आव्यूह A = [a_ij]_2×4 हो तो A में अवयवों की संख्या लिखिए।
हल :
m x n क्रम वाले आव्यूह में अवयवों की संख्या mn होती हैं
अतः दिये गये आव्यूह में अवयवों की संख्या = 8 है।

प्रश्न 2.
4 x 4 का इकाई का आव्यूह लिखिए।
हल :
4 x 4 इकाई का आव्यूह

प्रश्न 3.
यदि

तो a का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है,

∴ प्रश्नानुसार दोनों आव्यूह बराबर है अत: संगत अवयव भी बराबर होंगे।
∴ k + 4 = a ……(i)
k – 6 = – 4 ……(ii)
समीकरण (i) से,
k = – 4 + 6
= 2
समीकरण (ii) से,
a = k + 4 = 6
∴ a = 6.

प्रश्न 4.
6 अवयवों वाले आव्यूह के सम्भावित क्रम क्या होंगे ?
हल :
यदि किसी आव्यूह का क्रम m x n है तो उसमें mn अवयव होते हैं, अत: 6 अवयवों वाले सम्भावित क्रम 6 x 1, 1 x 6, 2 x 3 और 3 x 2 होंगे।

प्रश्न 5.
2 x 2 क्रम का आव्यूह A = [a_ij] ज्ञात कीजिए जिसके अवयव

हल :


(iii) a_ij = 2i – 3j
a₁₁ = 2 x 1 – 3 x 1 = 2 – 3 = -1
a₁₂ = 2 x 1 – 3 x 2 = 2 – 6 = -4
a₂₁ = 2 x 2 – 3 x 1 = 4 – 3 = 1
a₂₂ = 2 x 2 – 3 x 2 = 4 – 6 = -2

प्रश्न 6.
एक 2 x 3 क्रम का आव्यूह A = a_ij ज्ञात कीजिए जिसके अवयव a_ij =  |2i – 3j| हैं।
हल :
2 x 3 के आव्यूह में 2 पंक्तियाँ एवं 3 स्तम्भ होते हैं।
अतः i = 1, 2 तथा j = 1, 2, 3

प्रश्न 7.
यदि

हो, तो a वे b का मान ज्ञात कीजिए।
हल :

दिये हुये आव्यूह समान हैं, अत: संगत अवयवों की तुलना करने पर
a + b = 6 …(i)
ab = 8 …(ii)
समी. (i) से b = b – a समी. (ii) में रखने पर,
a(6 – a) = 8
⇒ 6a – a² – 8 = 0
⇒ a² – 2a – 4a + 8 = 0
⇒ a² – 2a – 4a + 8 = 0
⇒ (a – 2)(a – 4) = 0
अतः a = 2, 4
ab = 8 तो b = 4, 2

प्रश्न 8.
यदि

हो, तो x,y,z व p के मान ज्ञात कीजिए।
हल :

संगत अवयवों की तुलना करने पर
2x = 4 ⇒ x = 2
3x + y = 5 ⇒ y = 5 – 3 x 2 = 5 – 6 = -1
-x + z = – 4
⇒ 3y – 2p = – 3 ⇒ 2p = 3y + 3 = 3 x – 1 + 3 = 0
अतः p = 0
x = 2, y = – 1, z = – 2, p = 0.

प्रश्न 9.
a, b व c के किन मानों के लिए आव्यूह A तथा B समान आव्यूह हैं। जहाँ

हल :
दिया है, A = B

संगत अवयवों की तुलना करने पर
a – 2 = b ⇒ a – b = 2 …(i)
3 = c
12c = 6b
⇒ b =  = 6
⇒ b = 6
b + 2 = a
a – b = 2
a = 2 + b = 2 + 6 = 8
अतः a = 8, b = 6, c = 3

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 3.2

प्रश्न 1.
यदि आव्यूह

हो, तो A² ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 2.
यदि

हो, तो (A – 2I). (A – 3I) ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 3.
यदि

हो, तो AB ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है,

प्रश्न 4.
यदि

हो, तो BA ज्ञात कीजिए जहाँ i = √-1
हल :
दिया है,

प्रश्न 5.
यदि

तथा

हो, तो आव्यूह A तथा B ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है,

(i) और (ii) को जोड़ने पर

(i) और (ii) को घटाने पर

प्रश्न 6.
यदि

हो, तो x तथा y ज्ञात कीजिए।
हल :
हल : संगत अवयवों की तुलना करने पर
x + 2 = – 2
∴ x = – 4
– y – x = 5 ⇒ y = – x – 5 = – (-4) – 5
= 4 – 5 = -1
अतः = – 4, y = – 1

प्रश्न 7.
आव्यूह A का क्रम 3 x 4 है तथा B इस प्रकार का आव्यूह है कि A^T B एवं AB^T दोनों ही परिभाषित है तो B का क्रम लिखिए।
हल :
∴ A का क्रम 3 x 4 है।
∴ A^T का क्रम 4 x 3 होगा
परन्तु A^TB तथा AB^T परिभाषित है
अत: B का क्रम भी 3 x 4 ही होगा।

प्रश्न 8.
यदि

एक सममित आव्यूह है तो x का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है,

एक सममित आव्यूह है,
अत: a_ij = a_ji, की तुलना करने पर
a₃₂ = a₂₃ ⇒ – x = 4
∴ x = – 4

प्रश्न 9.
एक 3 x 3 क्रम को आव्यूह B = [b_ij] लिखिए जिनके अवयव b_ij = (i) (j) हैं।
हल :
B₁₁ = 1 x 1 = 1
B₁₂ = 1 x 2 = 2
B₁₃ = 1 x 3 = 3
B₂₁ = 2 x 1 = 2.
B₂₂ = 2 x 1 = 4.
B₂₃ = 2 x 3 = 6
B₃₁ = 3 x 1 = 3
B₃₂ = 3 x 2 = 6
B₃₃ = 3 x 3 = 9

प्रश्न 10.
यदि

तथा

तो A + B^T ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है,

प्रश्न 11.
आव्यूह A को सममित व विषम सममित आव्यूह के योग के रूप में व्यक्त कीजिए, जहाँ

है।
हल :

प्रश्न 12.
यदि

हो तो सिद्ध कीजिए ।
(i) (A^T)^T = A
(ii) A + A^T एक सममित आव्यूह है।
(ii) A – A^T एक विषम सममित आव्यूह है।
(iv) AA^T तथा A^TA सममित आव्यूह है।
हल :
(i) (A^T)^T = A

इति सिद्धम्।

(ii) A + A^T एक सममित आव्यूह है।


अत: A + A^T एक सममित आव्यूह है।
इति सिद्धम्।

(iii)

अत: A – A^T सममित आव्यूह है।
इति सिद्धम

(iv)


अत: A^T A सममित आव्यूह है।
इति सिद्धम

प्रश्न 13.
यदि

तथा 3A – 2B + C एक अशून्य आव्यूह है तो आव्यूह C लिखिए।
हल :

अतः 3A – 2B + C = 0
∴ C = 2B – 3A + 0

प्रश्न 14.
एक 2×3 क्रम का आव्यूह B= |b_ij| लिखिए जिसके अवयव है,

हल :
दिया है, B = [b_ij] जिसके अवयव हैं।

प्रश्न 15.
यदि

हों, तो ABC का प्रथम पंक्ति के अवयव ज्ञात कीजिए।
हल :

अतः पहली पंक्ति का अवयव 8 है।

प्रश्न 16.
यदि आव्यूह

हो तो AA^T ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है,

प्रश्न 17.
यदि

तो x का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है,

प्रश्न 18.
यदि

हो तो सिद्ध कीजिए कि
B² – (a + d)B = (bc – ad)I₂, जहाँ

हल :
दिया है,


= (bc – ad)I₂
= R.H.S.
इति सिद्धम्।

प्रश्न 19.
यदि

हो तो (aA + bB) (aA – bB) को आव्यूह के रूप में ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है,

प्रश्न 20.
यदि

हो, तो सिद्ध कीजिए कि
(A – B)² ≠ A² – 2AB + B².
हल :
दिया है,

A² – 2AB + B²
= A . A – 2 . A . B + B . B

समीकरण (i) और (ii) से
(A – B)² ≠ A² – 2AB + B².
इति सिद्धम्।

प्रश्न 21.
यदि

तो k का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ A² = kA – 2I₂
हल : दिया है,

प्रश्न 22.
यदि

तथा i = √-1 निम्नलिखित सम्बन्धों का सत्यापन कीजिए
(i) A² = B² = C² = I₂
(ii) AB = – BA = – C
हल :

प्रश्न 23.
याद

तथा f(A) = A² – 5A + 7I हो, तो f(A) ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है,

प्रश्न 24.
सिद्ध कीजिए कि

जबकि α – β = (2m – 1)  , m∈N
हल :

= cos (α – β) [cos α cos β sin α sin β – cos α cos β sin α sin β]
= cos (α – β) x 0
= 0
= R.H.S.