Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 2

Chapter 2.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित कोणों के मुख्य मान ज्ञात कीजिए:

हल :
(i) sin^-1 (1)
sin^-1 की मुख्य मान शाखा है।
माना sin^-1 (1) = x
⇒ sin x = 1

(ii) cos^-1
cos^-1 की मुख्य मान शाखा [0, π] है।
माना cos^-1 = x

(iii) sec^-1 (-√2)
sec^-1 का मुख्य मान शाखा [0, π] – है।

(iv) cosec^-1 (-1)
cosec^-1 की मुख्य मान शाखा – {0} है।
माना cosec^-1 (-1) = x

(v) cot^-1
cot^-1 का मुख्य मान शाखा [0, π] है।

(vi) tan^-1
tan^-1 की मुख्य मान शाखा है।

प्रश्न 2.

हल :
LHS

इति सिद्धम्।

प्रश्न 3.

हल :
LHS

इति सिद्धम्।

प्रश्न 4.

हल :
LHS



इति सिद्धम्।

प्रश्न 5.
sec² (tan^-12) + cosec² (cot^-13) = 15
हल :
माना tan^-12 = θ ⇒ tan θ = 2
∴ sec² θ = 1 + tan² θ
= 1 + (2)² = 1 + 4 = 5
∴ sec²(tan^-12) = 5 …(i)
माना cot^-13 = Φ
⇒ cot Φ = 3
∴ cosec² Φ = 1 + cot² Φ
= 1 + (3)² = 1 + 9 = 10
∴ cosec²(cot^-13) = 10 …(ii)
(i) और (ii) को जोड़ने पर
sec²(tan^-12) + cosec² (cot^-13) = 5 + 10
sec² (tan^-12) + cosec² (cot^-13) = 15.
इति सिद्धम्

प्रश्न 6.

हल :
(i) 2 tan^-1x = sin^-1  
माना tan^-1 x = θ
∴ x = tan θ


इति सिद्धम्।

प्रश्न 7.

हल :
LHS

= tan^-1 (0)
= tan^-1 (π)
= π
= RHS
इति सिद्धम्।

प्रश्न 8.

हल :
माना tan^-1 x = θ
x = tan θ


इति सिद्धम्।

प्रश्न 9.
यदि cos^-1x + cos^-1y + cos^-1z = π, तो सिद्ध कीजिए कि x² + y² + x² + 2xyz = 1.
हल :
∵ cos^-1x + cos^-1y + cos^-1z = π
⇒ cos^-1x + cos^-1y = π – cos^-1z
⇒ cos^-1 [xy – √1 – x² √1 – y²] = cos^-1(-z)
⇒ [∵ cos^-1x + cos^-1y = cos^-1 [xy – √1 – x² √1 – x²] तथा (cos^-1(-x) = π – cos^-1x)
⇒ xy – √1 – x² √1 – x² = (- z)
⇒ xy + z = √1 – x² √1 – x²
⇒ (xy + z)² = (1 – x²)(1 – y²)
⇒ x²y² + z² + 2xyz = 1 – y² – x² + x²y²
⇒ z² + 2xyz = 1 – y² – x²
⇒ x² + y² + z² + 2xyz = 1
इति सिद्धम्।

प्रश्न 10.
यदि sin^-1 + x + sin^-1 y + sin^-1 z = π, तो सिद्ध कीजिए कि  .
हल :
माना
sin^-1 x = A ∴ x = sin A
sin^-1 y = B ∴ y = sin B
sin^-1 z = C ∴ z = sin C
∴ sin^-1 x + sin^-1 y + sin^-1 z = π
A + B + C = π

⇒  [2 sin (A + B) cos (A – B) + 2 sin C cos C]
⇒ sin (A + B) cos (A – B) + sin C cos C
⇒ sin (π – C) cos (A – B) + sin cos C
⇒ sin C cos (A – B) + sin C cos C
⇒ sin ( [cos (A – B) + cos {π – (A + B)}]
⇒ sin ( [cos (A – B) – cos (A + B)]
⇒ sin ( [2 sin A sin B]
[∵ cos C – cos D = 2sin  sin  ]
= 2 sin A sin B sin C
= 2 xyz
= R.H.S.
इति सिद्धम्

प्रश्न 11.
यदि tan^-1x + tan^-1y + tan^-1z =  , तो सिद्ध कीजिए कि xy + yz + zx = 1.
हल :
प्रश्नानुसार
tan^-1x + tan^-1y + tan^-1z = 

⇒ 1 – xy – yz – zx = 0
⇒ xy + yz + zx = 1
इति सिद्धम्

प्रश्न 12.
यदि

तो सिद्ध कीजिए कि x + y + z = xyz.
हल :
माना x = tanA, y = tanB, z = tanC


⇒ x + y = -2(1 – xy) = -z + xyz
x + y + z = xyz.
इति सिद्धम्

प्रश्न 13.
यदि

तो सिद्ध कीजिए कि x + y + z = xyz.
हल :
प्रश्नानुसार

x + y + z – xyz = 0
x + y + z = xyz
इति सिद्धम्।।

प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए कि
tan^-1 x + cot^-1 (x + 1) = tan^-1 (x² + x + 1)
हल :
LHS
= tan^-1 x + cot^-1 (x + 1)

= tan^-1 (x² + x + 1)
= RHS
इति सिद्धम्।।

प्रश्न 15.
यदि tan^-1x, tan^-1y, tan^-1z, समान्तर श्रेढ़ी में हो, तो सिद्ध कीजिए कि y² (x + z) + 2y(1 – xz) – x – z = 0
हल :
tan^-1x, tan^-1y, tan^-1z, समान्तर श्रेढ़ी में हैं, अतः

⇒ (z + x) (1 – y²) = 2y (1 – zx)
⇒ z + x – y²(x + z) = 2y (1 – xz)
⇒ y²(x + 2) + 2y (1 – xz) – x – z = 0
इति सिद्धम्।।

प्रश्न 16.
यदि x³ + px² + qx + p = 0 के मूल α, β, γ हो, तो सिद्ध कीजिए कि एक विशेष परिस्थिति के अलावा tan^-1 α + tan^-1 β + tan^-1 γ = nπ और वह विशेष स्थिति भी ज्ञात कीजिए जब ऐसा नहीं होता है।
हल :
दिया है :
α, β, γ समीकरण : x³ + px² + qx + p = 0 के मूल हैं; अत:


= tan^-1 (0) [∵ α + β + γ = αβγ = -p]
= nπ
= RHS

प्रश्न 17.

हल :

प्रश्न 18.

हल :

प्रश्न 19.

हल :

⇒ x(3x² – 7x – 6) =0
⇒ x(3x² – 9x + 2x – 6) = 0
⇒ x[3x(x – 3) + 2(x – 3) = 0
⇒ x(x – 3)(3x + 2) = 0
⇒ x = 0, x = 3, x = 

प्रश्न 20.

हल :

प्रश्न 21.

हल :

⇒ 2x – 1 = 2 + x
⇒ 2x – x = 2 + 1
⇒ x = 3

प्रश्न 22.

हल :


⇒ 3 + x = 3x – 1
⇒ 2x = 4
⇒ x = 2

प्रश्न 23.
sin 2 (cos^-1 {cot (2 tan^-1 x)} = 0
हल :
दी गई समीकरण है
sin 2 [cos^-1 {cot (2 tan^-1 x)}] = 0

⇒ 
⇒ (6x² – 1 – x⁴) (x⁴ – 2x² + 1) = 0
⇒ 6x² – 1 – x⁴ = 0 ….(1)
⇒ x⁴ – 2x² + 1 = 0 …(2)
समीकरण (1) से,
⇒ 6x² – 1 – x⁴ = 0
⇒ x⁴ – 6x² + 1 = 0
⇒ x⁴ – 2 x 3x² + (3)² – 8 = 0
⇒ (x² – 3)² = 8
⇒ x² – 3 = ± 2√2
⇒ x² = 3 ± 2√2
⇒ x² = 1 + 2 ± 2√2
⇒ x² = (1)² + (√2)² ± 2√2
⇒ x² = (1±√2)²
⇒ x = ± (1+√2)
समीकरण (2) से
⇒ x⁴ – 2x² + 1 = 0
⇒ (x²)² – 2x² + (1)² = 0
⇒ (x² – 1)² = 0
⇒ x² = 1
⇒ x = ± 1

प्रश्न 24.

हल :

प्रश्न 25.
sin^-1x – sin^-1y =  ; cos^-1x – cos^-1y = 
हल :
प्रश्नानुसार,
sin^-1x – sin^-1y =  …(i)
cos^-1x – cos^-1y =  ….(ii)

प्रश्न 25.
sin^-1x – sin^-1y =  ; cos^-1x – cos^-1y = 
हल :
प्रश्नानुसार,
sin^-1x – sin^-1y =  …(i)
cos^-1x – cos^-1y =  ….(ii)

Chapter 2 विविध

प्रश्न 1.
tan^-1 (-1) का मुख्य मान है
(a) 45°
(b) 135°
(c) – 45°
(d) – 60°
हल :
∵ tan^-1 (-x) = – tan^-1 x
∴ tan^-1 (-1) = – tan^-1 (1)
माना tan^-1 1 = θ
∴ tan θ = 1
tan θ = tan 45°
∴ θ = 45°
∴ tan^-1 (-1) = – 45°
अत: सही विकल्प (c) है।

प्रश्न 2.
2 tan^-1 (1/2) बराबर है

हल :

अत: सही विकल्प (a) है।

प्रश्न 3.
यदि tan^-1 (3/4) = θ, तो sin θ का मान है

हल :
प्रश्नानूसार,

अतः सही उत्तर का विकल्प (b) है।

प्रश्न 4.
cot [tan^-1 α + cot^-1 α] का मान है
(a) 1
(b) ∞
(c) 0
(d) इनमें से कोई नहीं
हल :
cos (tan^-1 α + cot^-1 α).
= cot  (∵ tan^-1 x + cot^-1 x =  )
= 0
अत: सही उत्तर का विकल्प (c) है।

प्रश्न 5.
यदि  तो का व्यापक मान है

हल :
दिया है,

अत: सही उत्तर का विकल्प (d) है।

प्रश्न 6.
2 tan (tan^-1 x + tan^-1 x³) का मान है
(a) 
(b) 1 + x²
(c) 2x
(d) इनमें से कोई नहीं
हल :

अतः सही विकल्प (a) है।

प्रश्न 7.
यदि tan^-1 (3x) + tan^-1 (2x) =  . तो x का मान

हल :
tan^-1 (3x) + tan^-1 (2x) = 

⇒ 
⇒ 1 – 6x² = 5x
⇒ 6x² + 5x – 1 = 0
⇒ 6x² + 6x – x – 1 = 0
⇒ 6x(x + 1) – 1(x + 1) = 0
⇒ (x + 1) (6x – 1) = 0
⇒ x = – 1,x = 
अतः सही विकल्प (a) है।

प्रश्न 8.

का मान है

हल :

अतः सही विकल्प (c) है।

प्रश्न 9.
यदि tan^-1 (1) + cos^-1  = sin^-1 x, तो x का मान है
(a) -1
(b) 0
(c) 1
(d) 
हल :

अतः सही विकल्प (c) है।

प्रश्न 10.
यदि cot^-1 x + tan^-1  तो x का मान है
(a) 1
(b) 3
(c) 
(d) इनमें से कोई नहीं
हल :


अत: सही विकल्प (c) है।

प्रश्न 11.
यदि 4 sin^-1 x + cos^-1 x = π, तो x का मान कीजिए।
हल :
4 sin^-1 x + cos^-1 x = π

प्रश्न 12.

का मान कीजिए।
हल :

प्रश्न 13.
यदि

तो x का मान कीजिए।
हल :

प्रश्न 14.

का मान कीजिए।
हल :

प्रश्न 15.
यदि

तो x का मान कीजिए।
हल :

प्रश्न 16.
सिद्ध कीजिए कि :

हल :

प्रश्न 17.
यदि tan^-1 x + tan^-1 y + tan^-1 z = π, तो सिद्ध कीजिए : x + y + z = xyz
हल :
tan^-1 x + tan^-1 y + tan^-1 z = π

x + y + z – xyz = 0 × (1 – xy – yz + xyz)
x + y + z – xyz = 0
अत: x + y + z = xyz
इति सिद्धम्।

प्रश्न 18.
सिद्ध कीजिए कि :
tan^-1 [  tan 2A] + tan^-1 (cot A) + tan^-1 (cot A) = 0.
हल :
tan^-1 [  tan 2A] + tan^-1 (cot A) + tan^-1 (cot A) = 0.

प्रश्न 19.
सिद्ध कीजिए कि :
tan^-1 x = 2 tan^-1 [cosec (tan^-1 x) – tan (cot^-1 x)]
हल :
माना tan^-1 θ

= tan^-1 x
= RHS
इति सिद्धम्।

प्रश्न 20.
यदि  और  तो सिद्ध कीजिए Φ – θ का मान 30° है।
हल :


tan (Φ – θ) = tan 30°
∴ Φ – θ = 30°
इति सिद्धम्।

प्रश्न 21.
सिद्ध कीजिए कि :

हल :
LHS
= 2 tan^-1 [tan (45° – α) tan β/2]