Rbse class 9 math chapter 7 triangles त्रिभुज

Chapter 7 Triangles (त्रिभुज)

प्रश्नावली 7.1

Q1. चतुर्भुज ACBD में, AC = AD है और  AB, ∠A को समद्विभाजित करता है | (see Fig.). दर्शाइए ΔABC ≅ ΔABD है|
हल:

दिया है : AC = AD और AB ∠A को समद्विभाजित करता है|
सिद्ध

करना : Δ ABC ≅ Δ ABD.
प्रमाण :
Δ ABC तथा ΔABD में,
AC = AD [दिया है]
∠CAB = ∠BAD [AB ∠A समद्विभाजित करता है ]
AB = AB [उभयनिष्ठ]
SAS सर्वांगसमता नियम से
Δ ABC ≅ Δ ABD
BC = BD [CPCT]

Q2. ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें AD = BC है और ∠ DAB = ∠ CBA (see Fig.) है| सिद्ध कीजिए कि : 
(i) Δ ABD ≅ Δ BAC
(ii) BD = AC
(iii) ∠ ABD = ∠ BAC        
हल :
दिया है : ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें AD = BC और ∠ DAB = ∠ CBA  है|
सिद्ध करना है :

(i) Δ ABD ≅ Δ BAC
(ii) BD = AC
(iii) ∠ ABD = ∠ BAC
प्रमाण :
(i) Δ ABD तथा Δ BAC में,
AD = BC [दिया है]
∠ DAB = ∠ CBA   [दिया है]
AB = AB [उभयनिष्ठ]
SAS सर्वांगसमता नियम से
Δ ABD ≅ Δ BAC
(ii)  BD = AC [By CPCT]
(iii) ∠ ABD = ∠ BAC [By CPCT]

Q3. एक रेखाखंड AB पर AD और BC दो बराबर लंब रेखाखंड हैं (देखिये आकृति)| दर्शाइए कि CD, AB रेखाखंड को समद्विभाजित करता है|

हल :
दिया है : AD ⊥ AB और BC ⊥ AB है और AD = BC है |
सिद्ध करना है :
AO = BO अर्थात CD, AB रेखाखंड को समद्विभाजित करता है |
प्रमाण :
∆AOD तथा ∆BOC
∠AOD = ∠ BOC (शीर्षाभिमुख कोण)
∠DAO = ∠CBO  (प्रत्येक 90º)
BC = AD (दिया है)
ASA सर्वांगसमता नियम से
∆AOD ≅​ ∆BOC
∴  AO = BO   (By CPCT)
अत: CD, AB रेखाखंड को समद्विभाजित करता है |

Q4. l और m दो समांतर रेखाएँ हैं जिन्हें समांतर रेखाओं p और q का एक अन्य युग्म प्रतिच्छेद करता है| दर्शाइए कि ∆ABC ≅ ∆CDA है|

हल :
दिया है :l || m और p || q है जो एक दुसरे को A, B, C  तथा D पर प्रतिच्छेद करते हैं |
सिद्ध करना है : ∆ABC ≅ ∆CDA
प्रमाण :
l || m …….. (1)  दिया है |
p || q  ………(2)  दिया है |
समी० (1) तथा (2) से
ABCD एक समांतर चतुर्भुज है |
अब, ∆ABC तथा ∆CDA में,
BC = AD  [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजा ]
∠B = ∠D  [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख कोण ]
AC = AC  [दिया है ]
SAS सर्वांगसमता नियम से
∴   ∆ABC ≅ ∆CDA
Proved.

Q5. रेखा l कोण A को समद्विभाजित करती है और B रेखा l पर स्थित कोई बिंदु है | BP और BQ कोण A की भुजाओं पर B से डाले गए लम्ब हैं (देखिये आकृति 7.20) दर्शाइए कि :
(i) Δ APB ≅ Δ AQB
(ii) BP = BQ हैं, अर्थात बिंदु B कोण की भुजाओं से समदूरस्थ है 

हल:
दिया है : ∠PAQ को रेखा l समद्विभाजित करती है और BP तथा BQ, AP तथा AQ पर क्रमश: लंब है |
सिद्ध करना है : 
(i) Δ APB ≅ Δ AQB
(ii) BP = BQ
प्रमाण : 
(i) Δ APB तथा Δ AQB में,
∠APB = ∠AQB  (90^० प्रत्येक)
∠PAB = ∠QAB  (दिया है)
AB = AB (उभयनिष्ठ)
ASA सर्वांगसमता नियम से
Δ APB ≅ Δ AQB
∴  (ii) BP = BQ (By CPCT)

Q6. आकृति में, AC = AE, AB = AD और ∠ BAD = ∠ EAC है| दर्शाइए कि BC = DE है| 
हल : 
दिया है : AC = AE, AB = AD और ∠ BAD = ∠ EAC है|

सिद्ध करना है : BC = DE
प्रमाण : 
∠ BAD = ∠ EAC   ……… (1) दिया है
समी० के  दोनों पक्षों में ∠ CAD जोड़ने पर
∠ BAD + ∠ CAD = ∠ EAC + ∠ CAD
या  ∠ BAC = ∠ EAD   ……. (2)
Δ BAC तथा Δ DAE में
AC = AE (दिया है)
AB = AD (दिया है)
∠ BAC = ∠ EAD ……[समी० (2) से]
SAS सर्वांगसमता नियम से
Δ BAC ≅ Δ DAE
∴ BC = DE   (By CPCT)
Proved.

Q7. AB एक रेखाखंड है और P इसका मध्य-बिंदु है | D और E रेखाखंड AB के एक ही ओर स्थित दो बिंदु इस प्रकार हैं कि ∠ BAD = ∠ ABE और ∠ EPA = ∠ DPB है | (देखिए आकृति 7.22) | 

दर्शाइए कि : 
(i) Δ DAP ≅ Δ EBP
(ii) AD = BE
दिया है : AB एक रेखाखंड है और P इसका मध्य-बिंदु है|
∠ BAD = ∠ ABE और ∠ EPA = ∠ DPB है|
सिद्ध करना है : 
(i) Δ DAP ≅ Δ EBP
(ii) AD = BE
प्रमाण : 
∠ EPA = ∠ DPB    …..(1) दिया है |
समी० (1) के दोनों पक्षों में ∠ EPD जोड़ने पर
∠ EPA + ∠ EPD = ∠ DPB + ∠ EPD
या  ∠ DPA = ∠ EPB    ……… (2)
(1) Δ DAP तथा Δ EBP में
AP = BP  ……. (दिया है )
∠ BAD = ∠ ABE  ..(दिया है )
∠ DPA = ∠ EPB    ….[समी० (2) से]
ASA सर्वांगसमता नियम से
Δ DAP ≅ Δ EBP
(ii) AD = BE (BY CPCT)

Q8. संलग्न आकृति में, एक समकोण त्रिभुज ABC में, जिसमें ∠C समकोण है, M कर्ण AB का मध्य-बिन्दु है। C को M से मिलाकर D तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि DM = CM है। बिन्दु D को बिन्दु B से मिला दिया जाता है। दर्शाइए कि
(i) ∆AMC = ∆BMD
(ii) ∠DBC एक समकोण है।
(iii) ∆DBC = ∆ACB
(iv) GM =  AB

हल-
दिया है: ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠C = 90° है तथा कर्ण AB का मध्य-बिन्दु है। M है। रेखाखण्ड CM खींचकर इसे बिन्दु D तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि CM = DM है। बिन्दु D को बिन्दु B से मिलाकर रेखा BD खींची गई है।
सिद्ध करना है :
(i) ∆AMC = ∆BMD
(ii) ∠DBC एक समकोण है।
(iii) ∆DBC = ∆ACB
(iv) GM =    AB
उपपत्ति :
(i) ∆AMC और ∆BMD में, AM = BM (M, AB का मध्य बिन्दु है)
CM = DM (दिया है)
∠AMC = ∠BMD (रेखाखण्डों AB और CD के काटने से बने शीर्षाभिमुख कोण हैं)
∆AMC = ∆BMD (भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता से)
(ii, iii). ∆AMC = ∆BMD
AC = BD तथा AM = DM और CM = BM (सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ)
AM = DM ……(1)
BM = CM …… (2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर।
AM + BM = CM + DM
AB = CD [AB = AM + BM तथा CM + DM = CD]
अब, ∆ACB और ∆DBC में,
AC = BD (∆AMC और ∆BMD की सर्वांगसमता से)
AB =CD (ऊपर सिद्ध किया जा चुका है)
BC = BC (उभयनिष्ठ)
∆ACB = ∆DBC (भुजा-भुजा-भुजा सर्वांगसमता से)
अब ∆ACB = ∆DBC
∠DBC = ∠ACB (एकान्तर कोण)
परन्तु दिया है कि ∠ACB या ∠C = 90°
∠DBC = 90°
अतः ∠DBC एक समकोण है।
(iv) दिया है कि M, AB का मध्य-बिन्दु है।
AM = BM और AM + BM = AB
अब AM + BM = AB
AM + AM = AB (BM के स्थान पर AM रखने पर)
2 AM = AB …….(3)
परन्तु ∆ACB = ∆DCB
AB = CD
  AB =    CD
AM = CM … (4)
समीकरण (3) व (4) से
2CM = AB
CM =    AB
इति सिद्धम.

प्रश्नावली 7.2

Q1. एक समबाहु त्रिभुज ABC में जिसमें AB = AC है, ∠B और ∠C के समद्विभाजक परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं| A और O को जोडिए | दर्शाइए कि :
(i) OB = OC
(ii) AO कोण ∠ A को समद्विभाजित करता है | 

हल: 
दिया है: समद्विबाहु त्रिभुज ABC में, जिसमें AB = AC,  और ∠ B और ∠ C कोण समद्विभाजक O पर मिलते हैं |
सिद्ध करना है :
(i) OB = OC
(ii) AO कोण ∠ A को समद्विभाजित करता है |
प्रमाण: ΔABC में हमें प्राप्त है:
AB = AC
∠ B = ∠ C [ बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं | ]
अथवा     ∠ B =    ∠C
इसलिए, ∠OBC = ∠OCB […1]
ΔABO and ΔACO में
AB = AC [दिया है ]
∠OBC = ∠OCB [समी0 1 से ]
AO = AO [उभयनिष्ठ]
SAS सर्वांगसमता नियम से
ΔABO ≅  ΔACO
OB = OC [ By CPCT ]
∠BAO = ∠CAO [ By CPCT ]
अत: AO कोण ∠A को समद्विभाजित करता है |

Q2. Δ ABC में, AD भुजा BC का लम्ब सम्द्विभाजक है (देखिये आकृति). दर्शाइए कि Δ ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें AB = AC है|.

हल:
दिया है : Δ ABC में, AD, BC का लंब सम्द्विभाजक है |.
सिद्ध करना है : Δ ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है.
प्रमाण: Δ ABD तथा Δ ACD में,
DB = DC    [चूँकि D BC को समद्विभाजित करता है ]
∠ BDA = ∠CDA [90^० प्रत्येक].
AD = AD [उभयनिष्ठ’]
SAS सर्वांगसमता नियम से
Δ ABD ≅ Δ ACD
AB =AC [by CPCT]
अत:, Δ ABC समद्विबाहु त्रिभुज है

Q3. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें बराबर भुजाओं BE और CF पर क्रमशः शीर्षलम्ब AC और AB खींचे गए हैं (देखिए आकृति। दर्शाइए कि ये शीर्षलम्ब बराबर हैं।
हल : 
दिया है : ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें BE ⊥ AC और CF ⊥ AB जहाँ AB = AC है |

सिद्ध करना है : BE = CF.
प्रमाण :  यहाँ, BE ⊥ AC और CF ⊥ AB  (दिया है )
ΔABE और Δ ACF में
∠ AEB = ∠ AFC  (90^० प्रत्येक)
∠ A = ∠ A (उभयनिष्ठ)
AB = AC (दिया है )
ASA सर्वांगसमता कसौटी नियम से
ΔABE  ≅  Δ ACF
∴ BE = CF [ By CPCT ]
Proved.

Q4. ABC एक त्रिभुज है जिसमें AC और AB पर खींचे गए शीर्षलंब BE और CF बराबर हैं  (देखिए आकृति). दर्शाइए कि 
(i) Δ ABE ≅ Δ ACF
(ii) AB = AC, अर्थात, ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है|

हल : 
दिया है : ABC एक त्रिभुज है जिसमें
BE ⊥ AC और CF ⊥ AB है और BE = CF है |
सिद्ध करना है : 
(i) Δ ABE ≅ Δ ACF
(ii) AB = AC,अर्थात, ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है |
प्रमाण : 
(i) Δ ABE तथा Δ ACF में
BE = CF (दिया है )
∠ AEB = ∠ AFC (90^० प्रत्येक )
∠ A = ∠ A (उभयनिष्ठ)
ASA सर्वांगसमता नियम के उपयोग से
Δ ABE ≅ Δ ACF [सत्यापित -I ]
(ii) AB = AC  [By CPCT]
इसलिए, ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है |

Q5. ABC और DBC सामान आधार BC पर स्थित दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं (देखिए आकृति). दर्शाइए कि ∠ ABD = ∠ ACD है|
हल : 

दिया है : ABC और DBC सामान आधार BC पर बने दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं |
सिद्ध करना है : ∠ ABD = ∠ ACD
प्रमाण: ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है |
AB = AC (दिया है )
∴ ∠ ABC = ∠ ACB  ………. (1)
(बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)
इसीप्रकार,
BCD भी एक समद्विबाहु त्रिभुज है |
BD = CD (दिया है)
∴ ∠ DBC = ∠ DCB ………. (2)
(बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)
समीकरण (1) तथा (2) को जोड़ने पर
∠ ABC + ∠ DBC = ∠ ACB + ∠ DCB
Or, ∠ ABD = ∠ ACD
Proved.

Q6. ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है| भुजा BA बिंदु D तक इस प्रकार बढाया गया है कि AD = AB है (देखिए आकृति)|  दर्शाइए कि ∠ BCD एक समकोण है | 

हल : 
दिया है : ΔABC समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है |
भुजा BA को बिंदु D तक बढाई गयी है जिससे AD = AB है |
सिद्ध करना है : ∠ BCD= 90^०
प्रमाण: 
AB = AC ………….. (1)  (दिया है)
और  AB = AD ………….. (2)  (दिया है)

समीकरण (1) तथा (2) से हमें प्राप्त होता है |
AC = AD ……………(3)
∴ ∠3 = ∠4 …….. (4) (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण ..)
अब, AB = AC [समी० (1) से]
∴ ∠1 = ∠2 …. (5) (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण ..)
ΔABC में
बहिष्कोण ∠5 = ∠1 + ∠2 (बहिष्कोण अत:अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है )
अथवा, ∠5 = ∠2 + ∠2 [ समी० (5) से]
अथवाr, ∠5 = 2∠2  ……. (6)
इसीप्रकार,
बहिष्कोण ∠6 = ∠3 + ∠4
अथवा,  ∠6 = 2∠3 [समी०  (7) से
समीकरण (6) तथा (7) को जोड़ने पर]
∠5 + ∠6  = 2∠2 + 2∠3
∠5 + ∠6  = 2(∠2 + ∠3)
अथवा,  180^० = 2(∠2 + ∠3) [ ∵ ∠BAC + ∠DAC  = 180^० ]
अथवा,  ∠BCD = 90^०
Proved.

Q7. ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠ A = 90° और AB = AC. तो ∠ B और ∠ C ज्ञात कीजिए | 
हल  

दिया है : ABCएक समकोण त्रिभुज है जिसमें
∠ A = 90° और AB = AC है |
ज्ञात करना है : ∠B and ∠C
AB = AC (दिया है)
∴ ∠B = ∠C …………(1)
(बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण)
त्रिभुज ABC में,
∠A + ∠B + ∠C = 180^० (त्रिभुज के तीनों कोणों का योग)
90° + ∠B + ∠B = 180^० समीकरण (1) के प्रयोग से
2 ∠B = 180^० – 90°
2 ∠B = 90°
∠B =  45°
∴ ∠B = 45° and ∠C =  45°

Q8. दर्शाइए कि समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° का होता है|
हल : 

दिया है : ABC एक समबाहु त्रिभुज है जिसमें
AB = BC = AC
सिद्ध करना है : 
∠A = ∠B = ∠C = 60°
प्रमाण :
AB = AC (दिया है )
∠B = ∠C ……… (1)   [बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण]
AB = BC (दिया है)
∠A = ∠C  ………. (2)   [बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण]
AC = BC (दिया है)
∠A = ∠B ………… (3)   [बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण]
समीकरण (1), (2) और (3) से हमें प्राप्त होता है |
∠A = ∠B = ∠C  ………….. (4)
त्रिभुज ABC में
∠A + ∠B + ∠C = 180°
∠A + ∠A + ∠A = 180°
3 ∠A = 180°
∠A = 60°
∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°

प्रश्नावली 7.3

Q1. ΔABC और ΔDBC एक ही आधार BC पर बने दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि A और D भुजा BC के एक ही ओर स्थित हैं (देखिए आकृति)| यदि AD बढ़ाने पर BC को P पर प्रतिच्छेद करे, तो दर्शाइए कि

(i)  ΔABD  ≅ ΔACD
(ii)  ΔABP  ≅ ΔACP
(iii)  AP कोण A और कोण D दोनों को समद्विभाजित करता है |
(iv) AP रेखाखंड BC का लम्ब समद्विभाजक है |
हल :
दिया है : ΔABC और ΔDBC दो समबाहु त्रिभुज हैं और AD को बढ़ाने पर BC को P पर प्रतिच्छेद करता है |

सिद्ध करना है :
(i)  ΔABD ≅ ΔACD
(ii)  ΔABP ≅ ΔACP
(iii)  AP कोण A और कोण D दोनों को समद्विभाजित करता है |
(iv) AP रेखाखंड BC का लम्ब समद्विभाजक है |
प्रमाण : ABC आधार BC पर बना समद्विबाहु त्रिभुज है |
इसलिए, AB = AC …….. (i)
इसी प्रकार, DBC भी एक समद्विबाहु त्रिभुज है |


समीकरण (iii) और (iv) से स्पष्ट है कि AP कोण A और कोण D दोनों को समद्विभाजित करता है|
Proved (III).

चूँकि ∠DPB = 90° हैं और BP = CP समी० (vi) से यह सिद्ध होता है कि AP रेखाखंड BC का लम्ब समद्विभाजक है|
Proved (IV).

Q2. AD एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC का एक शीर्षलम्ब है, जिसमें AB = AC है। दर्शाइए कि

(i) AD रेखाखंड BC को समद्विभाजित करता है।
(ii) AD कोण A को समद्विभाजित करता है।
हल :
दिया है : AD एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC का एक शीर्षलम्ब है, जिसमें AB = AC है।
सिद्ध करना है :
(i) AD रेखाखंड BC को समद्विभाजित करता है।
(ii) AD कोण A को समद्विभाजित करता है।
प्रमाण : ​

समीकरण (i) से सिद्ध होता है कि AD रेखाखंड BC को समद्विभाजित करता है।
और समीकरण (ii) से यह सिद्ध होता है कि AD कोण A को समद्विभाजित करता है।

Q3. एक त्रिभुज ABC की दो भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AM क्रमशः एक दूसरे त्रिभुज की भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PN के बराबर हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि


हल :
दिया है : त्रिभुज ABC की दो भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AM क्रमशः एक दूसरे त्रिभुज की भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PN के बराबर हैं |

Q4. BE और CF एक त्रिभुज ABC के दो बराबर शीर्षलंब हैं| RHS सर्वागसमता नियम का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज हैं |
हल :
दिया है : त्रिभुज ABC में दो बराबर शीर्षलंब BE और CF हैं |
अत: BE = CF है, BE ⊥ AC और CF ⊥ AB है |

Q5. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है | AP ⊥ BC खींच कर दर्शाइए कि ∠B = ∠C है | 
हल :
दिया है : ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है | जिसमें AP ⊥ BC हैं |

प्रश्नावली 7.4

Q1. दर्शाइए कि समकोण त्रिभुज में कर्ण सबसे लंबी भुजा होती है |
हल :

दिया है : ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका
कोण B समकोण है और AC कर्ण है |
सिद्ध करना है : 

प्रमाण : Δ ABC का ∠B समकोण है |
अत: ∠A और ∠C न्यूनकोण है |
इसलिए, ∠B > ∠C  [क्योंकि B समकोण है और C न्यूनकोण है ]
∴ AC > AB  (i) (बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है)
पुन: ∠B समकोण है और ∠A न्यूनकोण है |
इसलिए, ∠B > ∠A  [क्योंकि B समकोण है और C न्यूनकोण है ]
∴ AC > BC  (ii) (बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है)
समी० (i) तथा (ii) से कर्ण AC सबसे बड़ी  भुजा है |
Proved.

Q2. आकृति 7.48 में, ΔABC की भुजाओं AB और AC को क्रमश: बिन्दुओं P तथा Q तक बढाया गया है| साथ ही, ∠PBC < ∠QCB है| दर्शाइए कि AC > AB है|
हल :

दिया है : ΔABC की भुजाओं AB और AC को क्रमश: बिन्दुओं P तथा Q तक बढाया गया है जिसमें, ∠PBC < ∠QCB है |
सिद्ध करना है : AC > AB
प्रमाण : AB और AC को क्रमश: बिन्दुओं P तथा Q तक बढाया गया है,
इसलिए, ∠ABC + ∠PBC = 180° …… (1) रैखिक युग्म
और    ∠ACB + ∠QCB = 180° …… (2) रैखिक युग्म
समीकरण (1) तथा (2) से
∠ABC + ∠PBC = ∠ACB + ∠QCB (चूँकि दोनों समी० का मान समान है)
जबकि ∠PBC < ∠QCB (दिया है)
अत: स्पष्ट है कि
∠ABC > ∠ACB
Proved.

Q3. आकृति 7.49 में, ∠B < ∠A और ∠C < ∠D है | दर्शाइए कि AD < BC है |
हल :

दिया है : Δ AOB और Δ COD में ∠B < ∠A और ∠C < ∠D है |
सिद्ध करना है : AD < BC
प्रमाण : Δ AOB में,
∠B < ∠A  (दिया है)
∴  AO < BO  …. (1)   (बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है)
अब, Δ COD में,
∠C < ∠D  (दिया है)
∴  DO < CO  …. (2)   (बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है)
समीकरण (1) तथा (2) को जोड़ने पर
AO + DO < BO + CO
या AD < BC
Proved.

Q4. AB और CD क्रमश: एक चतुर्भुज ABCD की सबसे छोटी और सबसे बड़ी भुजा हैं (देखिये आकृति)| दर्शाइए कि  ∠A > ∠C और ∠B > ∠D है|
हल :

दिया है : AB और CD क्रमश: एक चतुर्भुज ABCD की
सबसे छोटी और सबसे बड़ी भुजा हैं |
सिद्ध करना है :
(i) ∠A > ∠C
(ii) ∠B > ∠D
रचना : A को C से और B को D से मिलाया|
प्रमाण : (i) ΔABC में,

AB सबसे छोटी भुजा है, (दिया है)
अत:, BC > AB
∴ ∠2 > ∠5 …… (1) (बड़े भुजा की सम्मुख कोण बड़ी होती है)
अब, ΔACD में,
CD सबसे बड़ी भुजा है, (दिया है)
अत:, CD > AD
∴ ∠1 > ∠6 …… (2) (बड़े भुजा की सम्मुख कोण बड़ी होती है)
समी० (1) तथा (2) को जोड़ने पर
∠1 + ∠2 > ∠5 + ∠6
या  ∠A > ∠C
Proved.
(ii) इसी प्रकार ΔABD में,
AD > AB (क्योंकि AB सबसे छोटी भुजा है)
∴ ∠3 > ∠8  …… (3)
और ΔBCD में,
CD > BC (क्योंकि CD सबसे बड़ी भुजा है)
∴ ∠4 > ∠7 …… (4)
समी० (3) तथा (4) को जोड़ने पर
∠3 + ∠4 > ∠7 + ∠8
या ∠B > ∠D
Proved.

Q5. आकृति में PR > PQ  है और PS कोण QPR समद्विभाजित करता है | सिद्ध कीजिए कि  ∠PSR > ∠PSQ  है |
हल :

दिया है : PR > PQ और PS कोण QPR समद्विभाजित करता है |
सिद्ध करना है : ∠PSR > ∠PSQ
प्रमाण : PS कोण QPR समद्विभाजित करता है | (दिया है )
∴ ∠QPS = ∠RPS …… (1)
और,  PR > PQ   (दिया है)
∴∠PQS > ∠PRS .……(2)
ΔPQS में,
∠QPS + ∠PQS + ∠PSQ = 180° ….. (3) (Δ के तीनों कोणों का योग)
इसीप्रकार, ΔPRS में,
∠PRS + ∠RPS + ∠PSR = 180° …. (4) (Δ के तीनों कोणों का योग)
समीकरण (3) और (4) से हम पाते है कि ..
∠QPS + ∠PQS + ∠PSQ = ∠PRS + ∠RPS + ∠PSR

या ∠PQS + ∠PSQ = ∠PRS + ∠PSR
जबकि ∠PQS > ∠PRS   समी० (2) से
अत: स्पष्ट है कि ∠PSQ < ∠PSR
Proved.

Q6. दर्शाइए कि एक रेखा पर एक दिए हुए बिंदु से, जो उस रेखा पर स्थित नहीं है, जितने रेखाखंड खींचे जा सकते हैं उनमें लम्ब रेखाखंड सबसे छोटा होता है।

हल :
दिया है : m एक रेखा है और O एक बिंदु है
जो m पर स्थित नहीं है| OP ⊥ m
सिद्ध करना है : OP < OQ < OR < OS
प्रमाण : OP ⊥ m दिया है |
∴ ∠OPQ = 90° और ∠OQP, ∠ORP, ∠OSP न्यूनकोण हैं |
अत: ∠OQP < ∠OPQ
∴   OP < OQ ….. (1)  (बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है)
इसीप्रकार, ∠ORP < ∠OPQ
∴   OP < OR ….. (2) (बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है)
समी० (1) तथा (2) से
OP < OQ < OR
OP जो लंब है सबसे छोटी भुजा है|

प्रश्नावली 7.5 (ऐच्छिक)

Q1. ABC एक त्रिभुज है। इसके अभ्यन्तर में एक ऐसा बिन्दु ज्ञात कीजिए जो ∆ABC के तीनों शीर्षों से समदूरस्थ है।

हल-
एक ∆ABC के अभ्यन्तर में एक ऐसा बिन्दु P ज्ञात करना है जो त्रिभुज के तीनों शीर्षों A, B व C से समान दूरी पर हो।
रचना विधि : रचना के पद निम्न हैं-

1. सर्वप्रथम दिया हुआ त्रिभुज ABC बनाइए।
2. अब, AB तथा BC के लम्ब समद्विभाजक खींचिए जो परस्पर बिन्दु P पर काटें।
3. रेखाखण्ड PA, PB और PC खींचिए।
   अतः P अभीष्ट बिन्दु है जो तीनों शीर्षों से समदूरस्थ है।

Q2. किसी त्रिभुज के अभ्यन्तर में एक ऐसा बिन्दु ज्ञात कीजिए जो त्रिभुज की सभी भुजाओं से समदूरस्थ है।

हल-
माना ABC एक त्रिभुज है जिसके अभ्यन्तर में एक ऐसा बिन्दु P ज्ञात करना है जो त्रिभुज की तीनों भुजाओं AB, BC और CA से समदूरस्थ हो।
रचना विधि : रचना के पद निम्न हैं-

1. सर्वप्रथम दिया हुआ ∆ABC बनाइए।
2. ∠B और ∠C के समद्विभाजक खींचिए जो परस्पर बिन्दु P पर काटें।
3. रेखाखण्ड PB तथा PC खींचिए।
   अतः P अभीष्ट बिन्दु है जो तीनों भुजाओं से समदूरस्थ है।

Q3. एक बड़े पार्क में लोग तीन बिन्दुओं (स्थानों) पर केन्द्रित हैं
A : जहाँ बच्चों के लिए फिसल पट्टी और झूले हैं।
B : जिसके पास मानव निर्मित एक झील है।
C : जो एक बड़े पार्किंग स्थल और बाहर निकलने के रास्ते के निकट है।
एक आइसक्रीम का स्टॉल कहाँ लगाना चाहिए ताकि वहाँ लोगों की अधिकतम संख्या पहुँच सके?
[संकेत : स्टॉल को A, B और C से समदूरस्थ होना चाहिए।]

हल-
A, B और C तीन बिन्दु स्थान हैं। आइसक्रीम का स्टॉल लगाने के लिए लोगों की उस पर अधिकतम पहुँच होने के लिए यह आवश्यक है कि स्टॉल तीनों स्थानों से समदूरस्थ हो।
अत: आइसक्रीम स्टॉल लगाने के लिए हमें एक ऐसे स्थान (बिन्दु) P का चयन करना है जो पार्क के तीनों स्थानों से समान दूरी पर हो।
ज्ञात करने की विधिः
1. बिन्दु A से बिन्दु B को, बिन्दु B से बिन्दु C को और बिन्दु C से बिन्दु A को ऋजु रेखाओं द्वारा मिलाकर ∆ABC बनाइए।
2. किन्हीं दो भुजाओं (AB व BC) के लम्ब समद्विभाजक खींचिए जो परस्पर बिन्दु P पर काटें।
आइसक्रीम स्टॉल के चयन के लिए उपयुक्त स्थान बिन्दु P होगा जो तीनों स्थानों से समदूरस्थ है।

Q4. संलग्न आकृति में षड्भुजीय और तारे के आकार की रंगोलियों को 1 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुजों से भरकर पूरा कीजिए। प्रत्येक स्थिति में त्रिभुजों की संख्या गिनिए। किसमें अधिक त्रिभुज हैं?

हल-
चित्रों से स्पष्ट है कि विकर्णो को मिलाने पर षड्भुजीय आकृति को 6 समबाहु त्रिभुजों में और तारे के आकार की आकृति को 12 समबाहु त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है जबकि समबाहु त्रिभुजों में प्रत्येक भुजा 5 सेमी है।

पुनः षड्भुजीय आकृति के एक समबाहु त्रिभुज जिसकी भुजा 5 सेमी है, को 1 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुजों में विभाजित कर स्पष्ट किया गया है कि 5 सेमी भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज को 1 सेमी भुजा वाले 25 त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है।
तब स्थिति 1 : षड्भुजीय रंगोली इसको 1 सेमी भुजा वाले 6 x 25 = 150 समबाहु त्रिभुजों में बाँटा जा सकता है।
स्थिति 2 : तारे के आकार की रंगोली
5 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुजों की संख्या = 12
आकृति में 1 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुजों की संख्या = 12 x 25 = 300
स्पष्ट है कि तारे के आकार वाली आकृति में त्रिभुजों की संख्या अधिक है।