Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths Chapter 12 वृत्त Ex 12.4

Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths Chapter 12 वृत्त Ex 12.4

प्रश्न 1.
एक चक्रीय चतुर्भुज का एक कोण दिया गया है। सम्मुख कोण ज्ञात कीजिए।
(i) 70°
(ii) 135°
(iii)  

(iv) समकोण
(v) 165°
हल:
(i) हम जानते हैं कि चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग = 180° होता है।
इसलिये दूसरा सम्मुख कोण = 180° – 70°
= 110° उत्तर
(ii) दूसरा सम्मुख कोण = 180° – 135°
= 45°
(iii) दूसरा सम्मुख कोण = 180° –

(iv) एक कोण का मान समकोण

इसलिये दूसरा सम्मुख कोण = 180° – 54°
= 126°
(v) दूसरा सम्मुख कोण = 180° – 165°
= 15°

प्रश्न 2.
चक्रीय चतुर्भुज का सम्मुख कोण ज्ञात कीजिए यदि उसमें से एक कोण
(i) दूसरे का    हो
(ii) दूसरे का    हो।
हल:
(i) माना एक कोण = x है

अतः चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण 140°, 40° होंगे।
हल:
(ii) माना एक कोण = x है।

इसका दूसरा सम्मुख कोण = 180° – 48°
= 132°
अतः चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण 48°, 132°

प्रश्न 3.
आकृति में, चक्रीय चतुर्भुज ABCD के चारों कोण ज्ञात कीजिए।

हल:
चूँकि ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।

प्रश्न 4.
आकृति में, कुछ कोणों को a, b, c और d से चिह्नित किया गया है। इन कोणों के माप ज्ञात कीजिए।

हल:
दिये गये चित्र में ABEF एक चक्रीय चतुर्भुज है। इस कारण से
∠BAF + ∠BEF = 180°

हम जानते हैं कि चक्रीय चतुर्भुज के बहिष्कोण उसके अन्तराभिमुख कोण के बराबर होते हैं।

प्रश्न 5.
यदि चक्रीय चतुर्भुज ABCD में, AD || BC हो, तो सिद्ध कीजिए कि ∠A = ∠D
हल:
दिया हुआ है-
ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसमें AD || BC

सिद्ध करना है-
∠A = ∠D
रचना-
A व B को क्रमशः C व D से मिलाओ।
उपपत्ति-
यदि ∠BCA= x, तब ∠BDA = x
एक ही खण्ड के कोण हैं। आगे
BC || AD
∴ ∠CAD = ∠BCA = x एकान्तर कोण है।
या ∠ CAD = ∠BDA …………….(1)
∠CAB = ∠BDC …………..(2)
एक ही खण्ड के कोण हैं। समीकरण (1) तथा (2) को जोड़ने पर
∠CAD + ∠CAB = ∠BDA + ∠BDC
अर्थात् ∠A = ∠D इतिसिद्धम्

प्रश्न 6.
ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। AB और DC बढ़ाये जाने पर E पर मिलती है। सिद्ध कीजिए कि AEBC और AEDA समरूप हैं।
हल;
दिया है-
एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD। भुजाएं AB और DC बढ़ाने पर E पर मिलती हैं।

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि एक चक्रीय चतुर्भुज के कोणों के समद्विभाजकों द्वारा बनाया चतुर्भुज भी चक्रीय चतुर्भुज होता है।
हल:
दिया है-
एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD के कोणों के समद्विभाजक AP, BP, CQ व DQ एक चतुर्भुज PRQS एक चक्रीय बनाते हैं।
सिद्ध करना है-
PRQS एक चक्रीय चतुर्भुज है।
उपपत्ति-
∵ ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।


अतः मान रखने पर
= 360 – 90 – 90 = 180°
∴ चतुर्भुज PRQS के सम्मुख कोण संपूरक हैं।
∴ PRQS एक चक्रीय चतुर्भुज है।