These Solutions are part of NCERT Solutions for Class 10 Maths in Hindi Medium. Here we have given NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 2 Polynomials.
Chapter 2. बहुपद
Q1. किसी बहुपद p(x) के लिए, y = p(x) का ग्राफ नीचे आकृति 2.10 में दिया गया है | प्रत्येक स्थिति में, p(x) के शुन्यकों की संख्या ज्ञात कीजिए |
Solution (i):
p(x) के शुन्यकों की संख्या = 0; (क्योंकि ग्राफ रेखा x अक्ष को नहीं काटती है )
Solution (ii):
p(x) के शुन्यकों की संख्या = 1; (क्योंकि ग्राफ x अक्ष को 1 बार काटती है )
Solution (iii):
p(x) के शुन्यकों की संख्या = 3;
Solution (iv):
p(x) के शुन्यकों की संख्या = 2;
Solution (v):
p(x) के शुन्यकों की संख्या = 4;
Solution (vi):
p(x) के शुन्यकों की संख्या = 3;
Q1. निम्न द्विघात बहुपदों के शुन्यक ज्ञात कीजिए और शुन्यकों तथा गुणांकों के बीच संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए |
(i) x2 – 2x – 8
a = 1, b = – 2, और c = – 8
Q2. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शुन्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमश: दी गई संख्याएँ हैं :
Q1. विभाजन एल्गोरिथम का प्रयोग करके, निम्न में p(x) को g(x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए :
(i) p(x) = x3 – 3x2 + 5x – 3, g(x) = x2 – 2
(ii) p(x) = x4 – 3x2 + 4x + 5, g(x) = x2 + 1 – x
(iii) p(x) = x4 – 5x + 6, g(x) = 2 – x2
हल : (i) p(x) = x3 – 3x2 + 5x – 3, g(x) = x2 – 2
भागफल q(x) = x – 3 और शेषफल = 7x – 9 है |
हल : (ii) p(x) = x4 – 3x2 + 4x + 5, g(x) = x2 + 1 – x
भागफल q(x) = x2 + x – 3 और शेषफल = 8 है |
हल : (iii) p(x) = x4 – 5x + 6, g(x) = 2 – x2
भागफल q(x) = – x2 – 2 और शेषफल = – 5x + 10 है |
Q2. पहले बहुपद से दुसरे बहुपद को भाग करके, जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद द्वितीय का एक गुणनखंड है :
(i) t2 – 3, 2t4 + 3t3 – 2t2 – 9t – 12
(ii) x2 + 3x + 1, 3x4 + 5x3 – 7x2 + 2x + 2
(iii) x3 – 3x + 1, x5 – 4x3 + x2 + 3x + 1
हल : (i) t2 – 3, 2t4 + 3t3 – 2t2 – 9t – 12
चूँकि शेषफल r(x) = 0 है |
अत: t2 – 3, 2t4 + 3t3 – 2t2 – 9t – 12 का एक गुणनखंड है |
हल : (ii) x2 + 3x + 1, 3x4 + 5x3 – 7x2 + 2x + 2
चूँकि शेषफल r(x) = 0 है |
अत: x2 + 3x + 1, 3x4 + 5x3 – 7x2 + 2x + 2 का एक गुणनखंड है |
हल : (iii) x3 – 3x + 1, x5 – 4x3 + x2 + 3x + 1
चूँकि शेषफल r(x) = 2 है |
अत: x3 – 3x + 1, x5 – 4x3 + x2 + 3x + 1 का एक गुणनखंड नहीं है |
हल :
दिया है : p(x) = 3x4 + 6x3 – 2x2 – 10x – 5
अब 3x2 – 5 से 3x4 + 6x3 – 2x2 – 10x – 5 में भाग देने पर
अत: p(x) = (3x2 – 5) (x2 + 2x + 1)
अब, x2 + 2x + 1 को गुणनखंड कर शुन्यक ज्ञात करने पर –
Q4. यदि x3 – 3x2 + x + 2 को एक बहुपद g(x) से भाग देने पर, भागफल और शेषफल क्रमश: x – 2 और – 2x + 4 हैं तो g(x) ज्ञात कीजिए ।
हल :
दिया है : भाज्य p(x) = x3 – 3x2 + x + 2
भागफल q(x) = x – 2,
शेषफल r(x) = – 2x + 4
भाजक g(x) = ?
भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल
p(x) = g(x) × q(x) + r(x)
x3 – 3x2 + x + 2 = g(x) (x – 2) + (- 2x + 4)
x3 – 3x2 + x + 2 + 2x – 4 = g(x) (x – 2)
g(x) (x – 2) = x3 – 3x2 + 3x – 2
अत: भाजक g(x) = x2 – x + 1 है |
Q5. बहुपदों p(x), g(x), q(x) और r(x) के ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्गोरिथम को संतुष्ट करते हों तथा
(i) घात p(x) = घात q(x) हो
(ii) घात q(x) = घात r(x) हो
(iii) घात r(x) = 0 हो
हल :
युक्लिड विभाजन एल्गोरिथम से
p(x) = g(x) × q(x) + r(x) जहाँ q(x) ¹ 0 हो
(i) घात p(x) = घात q(x) हो
भाज्य p(x) और भागफल q(x) की घात सामान तभी हो सकता है जब भाजक g(x)की घात 0 अर्थात कोई संख्या हो |
उदाहरण : माना p(x) = 2x2 – 6x + 3
और माना g(x) = 2
भाग देने पर
p(x) = 2x2 – 6x + 2 + 1
= 2(x2 – 3x + 1) + 1
अब 2(x2 – 3x + 1) + 1 को p(x) = g(x) × q(x) + r(x) से तुलना करने पर हम पाते हैं :
अत: q(x) = x2 – 3x + 1 और r(x) = 1
इससे घात p(x) = घात q(x) प्राप्त होता है |
(ii) घात q(x) = घात r(x) हो
हल : यह स्थिति तब आती है जब p(x) और g(x) का घात सामान हो जैसे –
माना p(x) = 2x2 + 6x + 7 और g(x) = x2 + 3x + 2
भाग देने पर : q(x) = 2 और r(x) = 3
अत: घात q(x) = घात r(x) है |
(iii) घात r(x) = 0 हो
हल : r(x) = 0 तब होता है जब p(x), g(x) से पूर्णत: विभाजित हो :
माना p(x) = x2 – 1 और g(x) = x + 1
विभाजित करने पर
q(x) = x – 1 और r(x) = 0 प्राप्त होता है |
Q1. सत्यापित कीजिए कि निम्न त्रिघात बहुपदों के साथ दी गई संख्याएँ उसकी शून्यक हैं। प्रत्येक स्थिति में शून्यकों और गुणांकों के बीच के संबंध् को भी सत्यापित कीजिए:
(i) 2x3 + x2 – 5x + 2; α = ½, β = 1 और γ = – 2;
हल :
दिया है : शुन्यक α = ½, β = 1 और γ = – 2 है |
और गुणांक a = 2, b = 1, c = – 5 और d = 2
शुन्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की जाँच :
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