Ncert solutions for class 11 maths Chapter 8 Binomial Theorem (द्विपद प्रमेय)

Chapter 8 Binomial Theorem (द्विपद प्रमेय).

प्रश्नावली 8.1

प्रश्न 1 से 5 तक प्रत्येक व्यंजक को प्रसार ज्ञात कीजिए:
प्रश्न 1.
(1 – 2x)⁵

प्रश्न 3.
(2x – 3)⁶

प्रश्न : द्विपद प्रमेय का प्रयोग करके निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए (प्रश्न 6 से 9 तक)

प्रश्न 6.
(96)³

प्रश्न 7.
(102)⁵

प्रश्न 8.
(101)⁴

प्रश्न 9.
(99)⁵

प्रश्न 10.
द्विपद प्रमेय का प्रयोग करते हुए बताइए कौन-सी संख्या बड़ी है-
(1.1)¹⁰⁰⁰⁰ या 1000

प्रश्न 11.
(a + b)⁴ – (a – b)⁴ का विस्तार कीजिए। इसका प्रयोग करके (√3 + √2)⁴ – (√3 – √2)⁴ का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 12.
(x + 1)⁶ + (x – 1)⁶ का मान ज्ञात कीजिए। इसका प्रयोग करके या अन्यथा (√2 + 1)⁶ + (√2 – 1)⁶ का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 13.
दिखाइए कि 9ⁿ⁺¹ – 8n – 9, 64 से विभाज्य है जहाँ n एक धन पूर्णाक है।

प्रश्नावली 8.2

प्रश्न 1 और 2 में गुणांक ज्ञात कीजिए:

प्रश्न 1.
(x + 3)8 में x⁵ का।

प्रश्न 2.
(a – 2b)¹² में a⁵b⁷ का।

प्रश्न 3 व 4 के प्रसार में व्यापक पद लिखिए।

प्रश्न 3.
(x² – y)⁶.

प्रश्न 4.
(x² + yx)¹², x ≠ 0.

प्रश्न 5.
(x – 2y)¹² के प्रसार में चौथा पद ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 9.
(1 + a)^m+n के प्रसार में सिद्ध कीजिए कि a^m तथा aⁿ के गुणांक बराबर हैं। 

प्रश्न 10.
(x + 1)ⁿ के प्रसार में (r – 1) वाँ, r वाँ और (r + 1) वें पदों के गुणांक में 1 : 3 : 5 का अनुपात हो तो n तथा r का मान ज्ञात करो।

प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए कि (1 + x)²ⁿ के प्रसार में xn का गुणांक, (1 + x)^2n-1 के प्रसार में xⁿ के गुणांक का दुगुना होता है।

प्रश्न 12.
m का धनात्मक मान ज्ञात वीजिए जिसके लिए (1 + x)^mके प्रसार में x² का गुणांक 6 हो।

अभ्यास 8 पर विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
यदि (a + b)ⁿ के प्रसार में प्रथम तीन पद क्रमशः 729, 7290 तथा 30375 हों तो a, b तथा n ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 2.
यदि (3 + ax)⁹ के प्रसार में x² और x³ के गुणांक समान हों, तो a का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 3.
द्विपद प्रमेय का प्रयोग करते हुए गुणनफल (1 + 2x)⁶ (1 – x)⁷ में x⁵ का गुणांक ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 4.
यदि a और b भिन्न-भिन्न पूर्णाक हों, तो सिद्ध कीजिए कि aⁿ – bⁿ का एक गुणनखंड (a – b) है, जबकि n एक धन पूर्णाक है।

प्रश्न 5.
(√3 + √2)⁶ – (√3 – √2)⁶ का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 7.
(0.99)⁵ प्रसार के पहले 3 पदों का प्रयोग करते हुए इसका निकटतम मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 10.
(3x² – 2ax + 3a²)³ का द्विपद प्रमेय से प्रसार ज्ञात कीजिए।