Chapter 13 Surface Areas and Volumes.
प्रश्नावली 13.1
जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = [latex]\frac { 22 }{ 7 }[/latex] लीजिए |
प्र. 1. दो घनों, जिनमे से प्रत्येक का आयतन 64 cm3 है, के सलंग्न फलकों को मिलाकर एक ठोसबनाया जाता है| इससे प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए|
प्र. 2. कोई बर्तन एक खोखले अर्धगोले के आकार का है जिसके ऊपर एक खोखला बेलन अध्यारोपित है| अर्धगोले का व्यास 14 cm है और इस बर्तन (पात्र) की कुल ऊँचाई 13 cm है| इस बर्तन का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए|
प्र. 3. एक खिलौना त्रिज्या 3.5 cm वाले एक शंकु के आकार का है,जो उसी त्रिज्या वाले एक अर्ध गोले पर अध्यारोपित है| इस खिलौने की संपूर्ण ऊँचाई 15.5 cm है| इस खिलोने का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए|
प्र. 4. भुजा 7 cm वाले एक घनाकार ब्लाक के ऊपर एक अर्धगोला रखा हुआ है| अर्धगोले का अधिकतम व्यास क्या हो सकता है? इस प्रकार बने ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए|
प्र. 5 एक घनाकार ब्लाक के एक फलक को अन्दर की ओर से काट करएक अर्धगोलाकार गड्ढा इस प्रकार बनाया गया है की अर्धगोले का व्यास घन के एक किनारे के बराबर है| शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए|
प्र. 6. दवा का एक कैप्सूल (capsule) एक बेलन के आकार का है जिसके दोनों सिरों पर एक – एक अर्धगोला लगा हुआ है (देखिए आकृति) | पुरे कैप्सूल की लंबाई 14 mm है और उसका व्यास 5 mm है इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञातकीजिए|
प्र. 7. कोई तंबू एक बेलन के आकार का है जिस पर एक शंकु आध्यारोपित है| यदि बेलनाकार भाग की ऊँचाई और क्रमशः 2.1 m और 4 m है तथा शंकु की तिर्यक ऊँचाई 2.8 m है तो इस तंबू को बनाने में प्रयुक्त कैनवस(canvas) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए | साथ ही, 500 रू प्रति m2 की दर से इसमें प्रयुक्त कैनवस की लागत ज्ञात कीजिए | (ध्यान दीजिए कि तंबू के आधार को कैनवस से नहीं ढका जाता है|)
प्र. 8. ऊँचाई 2.4 cm और व्यास 1.4 cm वाले एक ठोस बेलन मेंसे ऊँचाई और इसी व्यास वाला एक शंक्वाकार खोल (cavity) काट लिया जाता है |शेष बचे ठोस का निकटतम वर्ग सेंटीमीटर तक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए|
प्र. 9. लकड़ी के ठोस बेलन के प्रत्येक सिरे पर एक अर्धगोला खोदकर निकालते हुए, एक वस्तु बनाई गई है, जैसाकि आकृति में दर्शाया गया है| यदि बेलन की ऊँचाई 10 cm है और आधार की त्रिज्या 3.5 cm है तो इस वस्तु का संपूर्णपृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए|
प्रश्नावली 13.2 (NCERT Page 271)
(जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = [latex]\frac { 22 }{ 7 }[/latex] लीजिए|)
प्र. 1. एक ठोस एक अर्धगोले पर खड़े एक शंकु के आकार का है जिनकीत्रिज्याएँ 1 cm हैं तथा शंकु की ऊँचाई उसकी त्रिज्या के बराबर है| इस ठोस का आयतन π के पदों में ज्ञात कीजिए|
प्र. 2. एक इंजीनियरिंग के विधार्थी रचेल से एक पतली एल्युमिनियम की शीट का प्रयोग करते हुए एक मॉडल बनाने को कहा गया जो एक ऐसे बेलन के आकार का हो जिसके दोनों सिरों पर दो शंकु जुड़े हुए हों| इसा मॉडल का व्यास 3 cm है औरइसकी लंबाई 12 cm है| यदि प्रत्येक शंकु की ऊँचाई 2 cm हो तो रचेल द्वारा बनाए गए मॉडल में अंतर्विष्ट हवा का आयतन ज्ञात कीजिए|
प्र. 3. एक गुलाबजामुन में उसके आयतन की लगभग 30% चीनी की चाशनी होती है| 45 गुलाबजामुन एक बेलन के आकार का है, जिसके दोनों सिरे अर्धगोलाकार हैं तथा इसकी लंबाई 5 cm और व्यास 2.8 cm है (देखिए आकृति) |
प्र. 4. एक कमलदान घनाभ के आकार की एक लकड़ी से बना हा जिसमें कलम रखने के लिए चार शंक्वाकार गड्ढे बने हुए हैं| घनाभ की विमाएँ 15 cm x 10 cm x 3.5 cm हैं| प्रत्येक गड्ढे की त्रिज्या 0.5 cm है और गहराई 1.4 cm है|पुरे कमलदान में लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए (देखिए आकृति)|
प्र. 5. एक बर्तन एक उल्टे शंकु के आकार का है| इसकी ऊँचाई 8 cm है और इसके ऊपरी सिरे (जो खुला हुआ है) की त्रिज्या 5 cm त्रिज्या है| यह ऊपर तक पानी से भरा हुआ है| जब इस बर्तन में सीसे की कुछ गोलियाँ जिनमे प्रत्येक0.5 cm त्रिज्या वाला एक गोला है, डाली जाती हैं, तो इसमें से भरे हुए पानी का एक चौथाई भाग बाहर निकल जाता है | बर्तन में डाली गई सीसे की गोलियों की संख्या ज्ञात कीजिए|
प्र. 6. ऊँचाई 220 cm और आधार व्यास 24 cm वाले एक बेलन, जिस पर ऊँचाई 60 cm और त्रिज्या 8 cm वाला एक अन्य बेलन आरोपित है, से लोहे का स्तंभ बना है | इस स्तंभ का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, जबकि दिया है 1 cm3लोहे का द्रव्यमान लगभग 8 g होता है | (π = 3.14 लीजिए |)
प्र. 7. एक ठोस में, ऊँचाई 120 cm और त्रिज्या 60 cm वाला एक शंकु सम्मिलित है, जो 60 cm त्रिज्या वाले एक अर्धगोले पर आरोपित है| इस ठोस को पानी से भरे हुए एक लंब वृत्तीय बेलन में इस प्रकार सीधा डाल दिया जाता है कियह बेलन की तली को स्पर्श करे| यदि बेलन की त्रिज्या 60 cm है और ऊँचाई 180 cm है तो बेलन में शेष बचे पानी का आयतन ज्ञात कीजिए|
प्र. 8. एक गोलाकार काँच के बर्तन की एक बेलन के आकार की गर्दन है जिसकी लंबाई 8 cm है और व्यास 2 cm है जबकि गोलाकार भाग का व्यास 8.5 cm है| इसमें भरे जा सकने वाली पानी की मात्रा माप कर, एक बच्चे ने यह ज्ञात कियाकि इस बर्तन का आयतन 345 cm3 है| जाँच कीजिए कि बच्चे का उत्तर सही है या नहीं, यह मानते हुए की उपरोक्त मापन आंतरिक मापन है और π = 3.14
प्रश्नावली 13.3 (NCERT Page 276)
(जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = [latex]\frac { 22 }{ 7 }[/latex] लीजिए |)
प्र. 1. त्रिज्या 4.2 cm वाले धातु के एक गोले को पिघलाकर त्रिज्या 6 cm वाले एक बेलन के रूप में ढाला जाता है| बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए|
प्र. 2. क्रमशः 6 cm, 8 cm और 10 cm त्रिज्याओं वाले धातु के ठोस गोलोंको पिघलाकर एक बड़ा ठोस गोला बनाया जाता है| इस गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए|
प्र. 3. व्यास 7 m वाला 20 m गहरा एक कुआँ खोदा जाता है और खोदने से निकलीहुई मिट्टी को समान रूप से फैलाकर 22 m x 14 m वाला एक चबूतरा बनाया गया है| इस चबूतरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए|
प्र. 4. व्यास 3 m वाला 14 m गहरा की गहराई तक खोदा जाता है | इससे निकली हुई मिट्टी को कुँए के चारों ओर 4 m चौड़ी एक वृत्ताकार वलय (ring) बनाते हुए, समान रूप से फैलाकर एक प्रकार का बाँध बनाया जाता है | इस बाँध की ऊँचाई ज्ञात कीजिए |
प्र. 5. व्यास 12 cm और ऊँचाई 15 cm वाले एक लंब वृत्तीय बेलन के आकार का बर्तन आइसक्रीम से पूरा भरा हुआ है| इस आइसक्रीम को ऊँचाई 12 cm और व्यास 6 cm वाले शकुओं में भरा जाना है, जिनका ऊपरी सिरा अर्धगोलाकार होगा|उन शंकुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जो इस आइसक्रीम से भरे जा सकते हैं|
प्र. 6. विमाओं 5.5 cm x 10 cm x 3.5 cm वाला एक घनाभ बनाने के लिए, 1.75 cm व्यास और 2 mm मोटाईवाले कितने चाँदी के सिक्कों को पिघलाना पड़ेगा ?
प्र. 7. 32 cm ऊँची और आधार त्रिज्या 18 cm वाली एक बेलनाकार बाल्टी रेत से भरी हुई है | इस बाल्टी को भूमि पर खाली किया जाता है और इस रेते की एक शंक्वाकार ढेरी बनाई जाती है | यदि शंक्वाकार ढेरी की ऊँचाई 24 cm है,तो इस ढेरी की त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए |
प्र. 8. 6 m चौड़ी और 1.5 m गहरी एक नहर में पानी 10 km/h की चालसे बह रहा है| 30 मिनट में, यह नहर कितने क्षेत्रफल की सिंचाई कर पाएगी, जबकि सिंचाई के ल;इए 8 cm गहरे पानी की आवश्यकता होती है|
प्र. 9. एक किसान अपने खेत में बनी 10 m व्यास वाली और 2 mगहरी एक बेलनाकार टंकी को आंतरिक व्यास 20 cm वाले एक पाइप द्वारा एक नहर से जोड़ता है| यदि पाइप में पानी 3 km/h की चाल से बह रहा है, तो कितने समय बाद टंकी पूरी भर जाएगी ?
प्रश्नावली 13.4 (NCERT Page 282)
(जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = [latex]\frac { 22 }{ 7 }[/latex] लीजिए|)
प्र. 1. पानी पीने वाला एक गिलास 14 cm ऊँचाई वाले एक शंकु के छिन्नक केआकार का है| दोनों वृत्ताकार सिरों के व्यास 4 cm और 2 cm हैं| इस गिलास की धारिता ज्ञात कीजिए|
प्र. 2. एक शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई 4 cm है तथा इसकेवृत्तीय सिरों के परिमाप (परिधियाँ) 18 cm और 6 cm हैं| इस छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |
प्र. 3. एक तुर्की टोपी शंकु के एक छिन्नक के आकर की है (देखिये आकृति)| यदि इसके खुले सिरे की त्रिज्या 10 cm है, ऊपरी सिरे की त्रिज्या 4 cm है टोपी की तिर्यक ऊँचाई 15 cm है तो इसके बनाने में प्रयुक्त पदार्थ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए|
प्र. 4. धातु की चादर से बना और ऊपर से खुला एक बर्तन शंकु के छिन्नक के आकार का है, जिसकी ऊँचाई 16 cm है तथा निचले और ऊपरी सिरों की त्रिज्याएँ क्रमशः 8 cm और 20 cm हैं | 20 रू प्रति लीटर की दर से, इस बर्तनको पूरा भर सकने वाले दूध का मूल्य ज्ञात कीजिए | साथ ही, इस बर्तन को बनाने के लिए प्रयुक्त धातु की चादर का मूल्य 8 रू प्रति 100 cm2 की दर से ज्ञात कीजिए| (π = 3.14 लीजिए |)
प्र. 5. 20 cm ऊँचाई और शीर्ष कोण (vertical angle ) 60o एक शंकु को उसकी ऊँचाई के बीचोंबीच से होकर जाते हुए एक ताल से दो भागों में काटा गया है, जबकि ताल शंकु के आधार के समांतर है| यदि इस प्राप्त शंकु के छिन्नकको व्यास [latex]\frac { 1 }{ 16 }[/latex] cm वाले एक तार के रूप में बदल दिया जाता है तो की लंबाई ज्ञात कीजिए|
प्रश्नावली 13.5 (NCERT Page 283)
प्र. 1. व्यास 3 mm वाले ताँबे के तार को 12 cm लंबे और 10 cm व्यास वाले एक बेलन पर इस प्रकार लपेटा जाता है वह बेलन के वक्र पृष्ठ को पूर्णतया ढक लेता है | तार की लंबाई और द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, यह मानते हुए कि ताँबे काघनत्व 8.88 g प्रति cm3 है |
प्र. 2. एक समकोण त्रिभुज, जिसकी भुजाएँ 3 cm और 4 cm हैं (कर्ण के अतिरिक्त ), को उसके कर्ण के परितः घुमाया जाता है| इस प्रकार प्राप्त द्वी -शंकु (double cone) के आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए|
प्र. 3. एक टंकी, जिसके आंतरिक मापन 150 cm x 120 cm x 110 cm हैं, में 129600 cm3 पानी में कुछ छिद्र वाली ईंटे तब तक डाली जाती हैं, जब तक कि ताकि पूरी ऊपर तक भर न जाए | प्रत्येक ईंट अपने आयतन का [latex]\frac { 1 }{ 17 }[/latex] पानी सोख लेतीहै| यदि प्रत्येक ईंट की माप 22.5 cm x 7.5 cm x 6.5 cm हैं, तो टंकी में कुल कितनी ईंटे डाली जा सकती हैं, ताकि उसमें से पानी बाहर न बहे ?
प्र. 4. किसी महीने के 15 दिनों में, एक नदी की घाटी में 10 cm वर्षा हुई | यदि इस घाटी का क्षेत्रफल 97280 km2 है, तो दर्शाइए कि कुल वर्षा लगभग तीन नदियों के सामान्य पानी के योग के समतुल्य थी, जबकि प्रत्येक नदी1072 km लंबी, 75 m चौड़ी और 3 m गहरी है |
प्र. 5. टीन की बनी हुई एक तेल की कुप्पी 10 cm लंबे एक बेलन में एक शंकु के छिन्नक को जोड़ने से बनी है| यदि इसकी कुल ऊँचाई 22 cm है, बेलनाकार भाग का व्यास 8 cm है और कुप्पी के ऊपरी सिरे का व्यास 18 cm है, तो इसके बनाने में लगी टीन की चादर का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (देखिए आकृति 13.25) |
प्र. 6. शंकु के एक छिन्नक के लिए, पूर्व स्पष्ट किए संकेतों काप्रयोग करते हुए, वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल के उन सूत्रों को सिद्ध कीजिए, जो अनुच्छेद 13.5 में दिए गए हैं|
प्र. 7. शंकु के एक छिन्नक के लिए, पूर्व स्पष्ट किए संकेतों काप्रयोग करते हुए, आयतन का वह सूत्र कीजिए, जो अनुच्छेद 13.5 में दिया गया है |
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